江西省南昌市2012-2013学年高二数学12月月考试题 理 新人教A版

新建二中2012—2013学年度上学期12月份考试试卷
高二数学（理科）
考试范围：直线与圆、圆锥曲线、简易逻辑、导数、定积分、复数、推理与证明
时 量：120分钟 总 分：150分
一、选择题（每小题5分，共10小题，计50分）
1．=+++3
2
1i i i （ ） A ．1 B ．0 C ．i D ．1-
2．
⎰
-20
)sin 2(π
dx x x 的值是（ ） A ．
142
-π B ．142
--
π C ．
182
-π D ．18
2
+-
π
3．命题“存在R x ∈，使得012
<++x x ”的否定是（ ）
A ．“任意R x ∈，均有012<++x x ”
B ．“任意R x ∈，均有012
≥++x x ”
C ． “存在R x ∈，使得012≥++x x ”
D ．“不存在R x ∈，使得012
≥++x x ” 4．若x x x f 2)(3+=，则曲线y =()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为（ ）
A ．025=--y x
B ．025=+-y x
C ．025=-+y x
D ．023=-+y x 5．已知圆C 与直线0=-y x 及4=-y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为
（ ） A ．2
2
(1)(1)2x y ++-= B ．2
2
(1)(1)2x y -++=
C ．2
2
(1)(1)2x y -+-= D ．2
2
(1)(1)2x y +++=
6．若函数b x ax x x f +--=24)(23在x ＝1处有极值，则a 的值等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
7．若复数i z 2
321+-
= （i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则在复平面内，复数z z +2对应的点的坐标为（ ） A ．)1,0( B ．)3,1(- C ．)3,1(-- D ．)0,1(-
8．下列命题中,真命题是（ ）
A ．2121,,z z C z z +∈为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数
B ．“0x >”是“0x ≠”的必要不充分条件
C ．0a b +=的充要条件是1a
b
=-
D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件
9．设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）
A ．1
B ．
21 C ．25 D
．2
10．已知0>a ，过点)0,(a M 任作一条直线交抛物线)0(22
>=p px y 于B A ,两点，若
2
21
1MB
MA +为定值，则=a （ ） A ．p B ．p 2 C ．p 2 D ．p 2 二、填空题（每小题5分，共5小题，计25分） 11．复数103i
i
+的虚部是 . 12．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x x
x f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理
可得：当n N +
∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .
13．
=-⎰
20
22dx x x .
14．设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1
()f x x
'=，()()()g x f x f x '=+．则()g x 的最小值是 .
15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左右焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，且21PF PF ⋅的
最大值的取值范围是[]
2
2
3,2c c ，其中22b a c -=.则椭圆的离心率的取值范围
是 .
三、解答题（12分+12分+12分+12分+13分+14分=75分）
16．（本小题12分）已知21,F F 分别是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C
的左、右焦点，
2=，离心率 12
e =，过椭圆右焦点2F 的直线 l 与椭圆C 交于N M , 两点．
（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线 l 的倾斜角为4
π
，求线段MN 中点的坐标．
17．（本小题12分）求函数x
xe x f =)(的单调区间和极值.
18．（本小题12分）已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[]2,1单调递减，命题:q 任意R x ∈，使得04
3
)1(2
>---+m x m x .若“p ⌝且q ⌝”为真，求实数m 的取值范围.
19．（本小题12分）已知函数x
x
x f ln 1)(+=. （1）若函数)(x f 在区间)2
1
,2(+
a a 上存在极值，其中0>a ，求实数a 的取值范围. （2）设)0()2ln(1)()(>-+-+=
b x bx x xf x g ，若)(x g 在(]01，上的最大值为12
，求实数b 的值．
20．（本小题13分）已知双曲线:C )0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线方程为x y 3±=，O 为
坐标原点，点(5,3)M 在双曲线上. （1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线l 与双曲线交于Q P ,两点，且0=⋅OQ OP ，求2
2OQ OP +的最小值.
21．（本小题14分）已知函数)(ln 1)(R a x ax x a
x f ∈+--=
. （1）当0=a 时，求()f x 在2
1
=x 处切线的斜率；
（2）当2
1
0≤≤a 时，讨论()f x 的单调性；
（3）设32)(2
+-=bx x x g .当4
1=a 时，若对于任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x 使
)()(21x g x f ≥成立，求实数b 的取值范围.
新建二中2012—2013学年度上学期12月份考试试卷高二数学（理科）参考答案
1-10 BABAB CCDDA 11． 3 12．
1+nx x 13．2π 14． 1 15．]2
2
,33[
16．解：（1
）22==c ∴1=c ，2
1
==a c e ，得2=a ，3=b ，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +
= …… 4分 （2）由题意直线l ：1-=x y ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，线段MN 的中点为),(00y x G .
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+11342
2x y y x 得08872
=--x x ，…… 8分 7821=+x x ∴7
42210=+=x x x 73
100-=-=x y …… 10分
故线段MN 的中点为)73
,74(-…………12分
17．解： 函数x xe x f =)(的定义域为R x
x xe e x f +=')( ………4分 令0)(='x f 解得1-=x ，………6分
由表可知函数x
xe x f =)(的单调递减区间为)1,(--∞，单调递增区间为),1(+∞- (9)
分
当1-=x 时，函数x
xe x f =)(的极小值为e
f 1
)1(-=-.………12分
18．解：对于p ：023)(2
≤-='mx x x f 在[]2,1∈x 恒成立，即x m 2
3
≥
在[]2,1∈x 恒成立，x 2
3
在[]2,1∈x 的最大值是3，∴3≥m ①………3分 对于q ： 03)1(2<-+-=∆m m 022<--⇒m m 21<<-⇒m 1-<m ②………6分 “p ⌝且q ⌝”为真∴p 假q 假………8分
由①②知的取值范围为：1-≤m 或32<≤m .………12分
19．解：（1） 函数)(x f 的定义域为{}0/>x x ， 2ln )(x
x
x f -='，………2分
令0ln )(2=-='x
x
x f 解得1=x ，
当10<<x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当1>x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减， (4)
分
∴)(x f 在1=x 处取极大值， 从而
2
112+<<a a ，解得221
<<a ………6分
（2）)2ln(ln )2ln(1)()(x x bx x bx x xf x g -++=---+=………8分
0>b ，当(01]x ∈，
时，0)
2()
1(2)(>--+='x x x b x g ，即)(x g 在(01]，
上单调递增， 故)(x g 在(01]，
上的最大值为b g =)1(，因此2
1
=b . ………12分 20．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为x y 3±=2
2
3a b =∴ 双曲线的方程可设为
22233a y x =-
点M 在双曲线上，可解得42
=a ∴双曲线C 的方程为
112
42
2=-y x ………6分 （2）设直线PQ 的方程为m kx y +=，点),(),,(2211y x Q y x P 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为0122)3(222=----m kmx x k
∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----=∆≠-0
)12)(3(4)2(0
32
222
m k km k ① 2
221221312
,32k
m x x k km x x ---=-=+………8分 由002121=⋅+⋅⇒=⋅y y x x OQ OP 即0)()1(2
21212
=++++m x x km x x k
∴032312)1(22
222
=+-+---+m k
km km k m k 化简得662
2+=k m ………10分
22
2
212
212
2
2
2
)3(38424]4))[(1(-+=-++==+k k x x x x k PQ OQ OP
当0=k 时，24)3(384242
22
2
≥-+
=k k
PQ 成立，且满足①
又因为当直线PQ 垂直x 轴时，242
>PQ ，所以2
2
OQ OP +的最小值是24. ………13分
21．解：（1） 0=a ∴x x x f ln 1)(+=
x
x x f 1
1)(2+-=' 则()f x 在21=x 处切线的斜率2)2
1
(-='=f k ………4分
（2）函数()f x 的定义域为),0(+∞∈x 2
21)(x a
x ax x f -+--='
①当0=a 时，x
x x f 1
1)(2+-=' 令0)(='x f 解得1=x ，
∴)1,0(∈x 0)(<'x f ；),1(+∞∈x 0)(>'x f
函数)(x f 的单调递增区间为),1(+∞，单调递减区间为)1,0(………6分
②当210<<a 时，01)(2
2=-+--='x
a
x ax x f 解得11=x 或112-=a x 且21x x < 列表
由表可知函数)(x f 的单调递减区间为)1,0(；单调递增区间为)11
,
1(-a
，单调递减区间为),11
(+∞-a
； ③当21=a 时，02)1()(22
≤--
='x x x f 函数)(x f 的单调递减区间为),0(+∞.………10分 (3) )21,0(41∈=a ，04)
3)(1()(2
=---='x
x x x f 解得11=x 或32=x )2,0(∈x )(x f 的单调递减区间为)1,0(；单调递增区间为)2,1(，∴)(x f 的最小值为2
1
)1(=f
原命题等价于)(x g 在]2,1[∈x 的最小值不大于)(x f 在)2,0(上的最小值2
1， 又32)(2+-=bx x x g ]2,1[∈x
∴①当1<b 时，)(x g 的最小值为224)1(>-=b g ，不合；
②当]2,1[∈b 时，)(x g 的最小值为213)(2
≤
-=b b g ，解得2210≤≤b ； ③当),2(+∞∈b 时，)(x g 的最小值为2
1
47)2(≤-=b g ，解得2>b ，
综上，b 的取值范围),2
10
[+∞． ………14分。