[经济学]第七讲 新古典经济增长模型全面版

规划问题。
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把约束条件代入目标函数中，我们有：
v(kt
)
max kt 1
u
wt
(1 rt )kt
(1 n)kt1
v(kt1 )
(7.19)
（7.19）式右边最大化问题的一阶条件是：
(1 n)uwt (1 rt )kt (1 n)kt1 v(kt1 ) 0 (7.20)
定，而人均变量的增长率则为零。
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三、分散经济下的最优
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• 虽然我们借助计划者最优问题可以求得最 优的均衡资本数量，但是，为了决定竞争 均衡的价格，我们还是需要通过分别分析 消费者和企业的最优化问题，从而得到一 些求解的有用信息。
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消费者的最优化行为
消费者储存资本并进行投资（也即，它们的财富是以资本 的形式表示的），在每一时期里，消费者都会把资本租给企 业并向企业出售自己的劳动。因为劳动并不会给消费者带 来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终 是 1 单位。这样，现在，经济的资源约束条件成为：
Nt ct Kt1 wt Nt (1 rt )Kt （7.16） 这里， wt 表示工资率， rt 代表资本的租金率。
)
max kt1
u
f (kt ) (1 )kt
(1 n)kt1
v(kt1)
(7.8)
（7.8）式右边最大化问题的一阶条件是：
(1 n)u f (kt ) (1 )kt (1 n)kt1 v(kt1) 0 (7.9)
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让（7.8）式两边对 kt 求偏导，并应用包洛定理可以得到：
max
xt ,kt1
t 0
t 0
(1 a)
t
xt
（7.31）
s.t.
xt
(1 n)(1
a)k t 1
k
t
(1 )kt
（7.32）
这个最优化问题能够被重新表述为一个以 kt 为状态变
量， xt 和 kt1 为选择变量的动态规划问题。
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也就是说，给定值函数 v(kt ) ，贝尔曼方程就是：
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v(kt
)
max
ct ,kt1
u(ct
)
v(kt 1 )
(7.6)
s.t. ct (1 n)kt1 (1 )kt f (kt )
(7.7)
这是一个以 kt 为状态变量， ct 和 kt1 为选择变量的动
态规划问题。把约束条件代入目标函数中，我们有：
v(kt
此，我们如果给出效用函数和生产函数的具体形式，
我们也能借助该式求解出 k 的具体解析解。
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在这里，我们之所以特别关注平衡增长路径是因为，
在给定任何初始资本存量 K0 0 时，经济将一定趋同 于平衡增长路径。因为在平衡增长路径上，c ，k 和
y 都是常数，因而，总资本存量 Kt ，总消费 Ntct 和总 产出Yt ，所有的都将以相同的速率 n 增长。因此，总 变量的长期增长率将完全由外生的人口增长率所决
（7.25）
相应于上述利润最大化的一阶条件分别为：
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rt f (kt )
wt f (kt ) kt f (kt )
(7.26)
(7.27)
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竞争均衡价格
当效用函数的具体形式给出以后，在 k0 给定的情况 下，我们可以利用（7.23）式的欧拉方程推导出人均
资本的最优决策规则 kt1 g(kt ) ，利用这一决策规则
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第一节 离散时间的新古典增 长模型
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一、决策环境：偏好、技术、 人口、禀赋与资源约束
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基本环境
• 经济由许多本质上相同的、生活无限期的 消费者和大量本质相同的企业所组成，经 济活动进行无限期。消费者通过寻求最优 的消费序列和资本序列来实现自己的效用 最大化。
其中，a 是常数， A0 给定。生产函数是标准的新古
典生产函数。
同样的，出于简化分析的目的，我们也对有关变量做一
些适当的处理。我们把所有涉及总量的变量都利用有效
劳动进行标准化处理，例如，定义
yt
Yt At Nt
为人均有效
劳动的产量， xt
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ct At
为人均有效劳动的消费，等等。
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在作了这样处理之后，社会计划者的最优化问题就 成为：
Yt F (Kt , Nt )
（7.2）
其中，Yt 是总产出， Kt 是总资本存量， Nt 是经济
活动中的总人口（也就是消费者的人数）。
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同时，我们也假定生产函数是一个严格准凹、二
次可微、一次齐次、对每一个变量都是严格递增
的函数。因此，我们可以使用密集形式的生产函
数来重新表述（7.2）式：
可以求得竞争均衡下的资本储存序列
kt
t 1
。然后，
再 利 用 约 束 条 件 （ 7.18 ） 式 求 出 最 优 消 费 的 序 列
ct
t 0
。一旦我们就的资本和消费的序列解，那么，
求解竞争均衡的价格序列解就非常容易了。
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我们可以利用企业和消费者实现最大化时必须 满足的一阶条件来做到这一点。要求解实际均衡的工 资序列和资本租金率序列，只要代均衡数量进（7.26） 式和（7.27）式就可以了。
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yt f (kt )
(7.3)
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人口
经济在初始时有 N0 个本质上相同的消费者 （初始人口），并假设人口（也即劳动供给）以外
生速率 N n 增长，这样有：
Nt1 (1 n)Nt (1 n)t1 N0
（7.4）
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禀赋
在每一期，消费者拥有一单位的时间禀赋，这一 单位时间禀赋将作为劳动无弹性地提供出来。同 时，消费者也拥有 K0 单位的初始资本，这些资本 即可以用于生产也可以用于消费，即消费品与资 本品是可以一对一进行转换的。
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当我们对有关总量的变量作了人均化处理以后，
可以看到，消费者为了追求效用最大化，实际上就相
当于在求解如下一个最优化问题：
v(kt
)

max
ct ,kt1
u(ct
)
v(kt 1
)
s.t.
ct (1 n)kt1 wt (1 rt )kt
(7.17) (7.18)
这是一个以 kt 为状态变量， ct 和 kt1 为选择变量的动态
第七讲 新古典经济增长模型
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• 早期的经济增长理论研究工作，特别是在Solow （1956）那里，是借助一个没有跨期最优行为的模 型来进行的。也就是说，行为人被假定以一个外生 给定的固定比率把自己的收入储蓄起来。后来， Cass(1965)和Koopmans(1965)发展出第一个最优 化经济增长模型（实际就是考虑微观基础的增长模 型），因为它们的模型通常假设存在一个社会计划 者，由社会计划者选择一个最优的增长路径。
v(kt ) u f (kt ) (1 )kt (1 n)kt1 f (kt ) (1 ) (7.10)
我们把上面这个等式往前挪一期，就为：
v(kt1 ) u f (kt1 ) (1 )kt1 (1 n)kt2 f (kt1 ) (1 )(7.11)
现在，用（7.11）式代替掉（7.9）式中的 v(kt1) ，得到：
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四、一个具体例子
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现在我们给出代表性消费者的具体效用函数形
式为：
u(ct
)
ct
（7.28）
生产函数的具体形式为：
Yt
K
t
(
At
N
t
)1
（7.29）
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这里， At 是劳动深化型的技术进步率，满足：
At (1 a)t A0
（7.30）
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• 就对长期经济增长的有关论断而言，其实， 最优增长模型所得到的结论并没有超越索 洛模型的结论，但是，最优增长模型通过 把行为人的最优化行为引入模型，一个最 大的优点是我们可以借助这些模型去得到 很多规范性的结论（例如，我们可以对福 利问题发表评论）。
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• 在这里，我们将给出一个非常简单的增长 模型，通过这一简单模型的介绍来揭示一 些这类模型的最重要的特征。本讲的另一 个主要目的是要介绍并展示一下离散时间 的动态规划模型是怎样被运用的，这种运 用对于求解许多动态问题是非常有帮助的。
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偏好
消费者的偏好如下：
tu(ct )
t0
（7.1）
其中，0 1是贴现因子， ct 是人均消费。期效
用函数 u () 是一个连续可微，严格递增，严格凹的
函数。它满足稻田条件，即 lim u(c) ，lim u(c) 0 。
c0
c
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技术
生产技术由下式给出：
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资源约束
经济的资源约束为： Ntct Kt1 (1 )Kt Yt （7.5）
这里，0 1代表资本存量的折旧率。
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二、计划经济下的最优
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• 因为帕雷托最优和竞争均衡是相同的，因 此，我们可以通求解社会计划者的最优问 题来求解经济的竞争均衡解。社会计划者 的问题是在（）-（）式的约束下最大化（） 式。现在，借助动态规划的方法，我们可 以方便地处理这个问题。
v(kt
)
ma
xt ,kt1
xxt
(1 a) v(kt1)
(7.33)
s.t.
xt
(1
n)(1 a)kt1
k
t
(1 )kt
（7.34）
在这里，需要注意的是，我们需要关于该问题的贴现因
子要小于 1，也即要求 (1 a) 1 。
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代约束条件进目标函数，消掉 xt ，有：
rt f (kt )
（7.24）
现在，让我们转到企业问题上，看看上述等式是否
20会21/7成/26 立。
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企业的最优化行为
企业的问题比较简单，只需要最大化每期的利
润就可，企业的利润函数为：
F (Kt , Nt ) wt Nt (1 rt )Kt (1 )Kt
F (K t , Nt ) wt Nt rt Kt K t
(1 n)u(ct ) u(ct1 ) f (kt1 ) (1 ) 0
(7.12)
(7.12)式就是相应于计划最优问题的欧拉方程。
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现在，我们来定义“平衡增长路径”，在 平衡增长路径上，经济处于稳定状态，此时， ct c ， kt k ，且 c 和 k 是常数。这样，利用 （7.12）式，我们知道稳定状态下的资本存量 一定要满足下式：
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现在，用（7.22）式代替掉（7.20）式中的 v(kt1) ， 得到：
(1 n)u(ct ) u(ct1 )(1 rt1 ) 0
(7.23)
方程(7.23)就是实现消费最优的欧拉方程。把这一
方程和计划最优的欧拉方程进行比较，可以发现，
只要下式成立，消费的变动路径将是完全相同的：
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为了简化我们的分析，我们先对有关变量做一些适
当的处理将。我们把所有涉及总量的变量都利用劳动进
行处理从而转化为人均变量，例如，定义
yt
Yt Nt
为人均
产量， ct
Ct Nt
为人均消费，等等。在作了这样处理之后，
我们再把（7.2）－（7.5）式，并都转换成人均的形式，
社会计划者的最优化问题就成为：
让（7.19）式两边对 k t 求偏导，并应用包洛定理，
可以得到：
v(kt ) uwt (1 rt )kt (1 n)kt1 (1 rt )
(7.21)
我们把上面这个等式往前挪一期，就为：
v(kt1 ) u wt1 (1 rt1 )kt1 (1 n)kt2 (1 rt1 ) (7.22)
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需要注意的是，当消费者在求解他（她）的最优化
问题时，我们假设他（她）是知道整个价格序列
wt
,
rt
t 0
的。也就是说，我们分析的是一种“理性预
期”或者“完全预见”的竞争均衡。在这种均衡中，
在每一期里，消费者都要对未来的价格作一个预
测，并基于这个预测的价格来最优化自己的行为，
而在均衡时，这些预测都是对的。
f (k ) (1 n) (1 )
(7.13)
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如果我们利用定义 1 以及如下的一个近
1
似，即：
(1 n)(1 ) 1 n （7.14）
则（7.13）式可以进一步简化为：
f (k ) n
（7.15）
因为在平衡增长路径上，(7.15)式必须得到满足，因