安徽省桐城中学高二数学下学期第一次月考试题 理

安徽省桐城中学2015—2016学年度第二学期高二年级第一次月考
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列求导结果正确的是（ ）
A ．x x 21)1(2
-='- B ．(cos30)sin 30'=-
C ．x x 21])2[ln(=
' D ．x x 2
3)(3=' 2.已知函数f （x ）的导函数为f′（x ），且满足f （x ）=2xf′（e ）+lnx ，则f′（e ）=（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．﹣e ﹣1
D ．﹣e
3.已知函数f （x ）和g （x ）在区间[a ，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）在a 到b 之间的平均变化率大于g （x ）在a 到b 之间的平均变化率 B ．f （x ）在a 到b 之间的平均变化率小于g （x ）在a 到b 之间的平均变化率
C ．对于任意x 0∈（a ，b ），函数f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率总大于函数g （x ）在x=x 0处的瞬时变化率
D ．存在x 0∈（a ，b ），使得函数f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率小于函数g （x ）在x=x 0处的瞬时变化率
4．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝
⎛⎭⎪⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( )
A ．－1
B ．45°
C ．－45° 5．如图是函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是( A ．在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B ．在区间(1,3)内f(x)是减函数 C ．在区间(4,5)内f(x)是增函数
D ．在x ＝2时，f(x)取极小值
6．已知函数f (x )＝ax 3
－x 2
＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数围为( )
A ．a >13
B ．a ≥13
C ．a <13且a ≠0
D ．a ≤1
3
且a ≠0
7.函数1
(10)
()cos (0)
2
x x f x x x π
+-≤<⎧⎪
=⎨
≤≤
⎪⎩
的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为
（ ） A 、
32 B 、1 C 、2 D 、12
8．若关于x 的不等式x 3
－3x 2
－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7] 9. 函数2
22y x ln x =-的的单调递增区间是 ( )
A ．1
(0,)2 B ． C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-和1(0,)2
10.2
2
3
)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值10，则f(2)为 （ ）
A.11
B.18
C.11或18
D.17或18
11.设f′（x ）为函数f （x ）的导函数，已知x 2
f′（x ）+xf （x ）=lnx ，f （e ）=，则下列结论正确的是（ ）
A ．f （x ）在（0，+∞）单调递增
B ．f （x ）在（0，+∞）单调递减
C ．f （x ）在（0，+∞）上有极大值
D ．f （x ）在（0，+∞）上有极小值
12．已知函数),,(3
1)(23
R x n m n mx x x f ∈++-
=图像上任意两点()11,A x y 、()22,B x y ()12x x >，满足2
22
12121)()(x x x x x f x f -+-<-，则实数m 的取值范围是（ ）
A.[0,2]
B.)0,(-∞
C.(0,2)
D.],2[+∞
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一质点按规律s ＝2t 3
运动，则其在t ＝1时的瞬时速度为 m/s ．
14.求值：
2
)x dx =⎰
.15.过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相
切，则直线l 的方程为__________________________ 16.设函数a x x x f -++=
2)1ln()(（a R ∈）
．若存在000))((]1,0[x x f f x =∈使得，则a 的取值范围是 _________________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （10分）已知函数()(1)ln f x ax x x =+-。

（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数2
()()ln x
g x f x x ax e =+-+，当1a <-时，求()g x 的极值。

18.(12分)若函数f (x )＝ax 3
－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43
.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．
19 （12分）已知2
()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-。

（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的最小值；
（2）对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
20. （12分）已知函数∈+--
=a x a x
a
x x f ,ln )1()(R . （1）若)(x f 在定义域内为增函数，求a 的值. （2）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.
21. （12分）设f （x ）=xlnx ，g （x ）=x 2
﹣1． （1）求证：当1≥x 时， f （x ）≤
2
1
g （x ） （2）若当x≥1时，f （x ）﹣mg （x ）≤0恒成立，求实数m 的取值范围．
22. （12分）已知4
)(x
e x
f x
-
=，其中e 为自然对数的底数 （1）设)(')(x xf x g =（其中)('x f 为)(x f 的导函数），判断)(x g 在),0(+∞上的单调性 （2）若1)(ln )(+-=x af x x F 无零点，试确定a 的范围
安徽省桐城中学2015--2016高二（下）第一次月考数学（理）答题卷一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 6 14.22-π 15.x y 2=或_x y 4
1
-= 16.]12ln ,0[+ 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17 （本小题满分10分）
解：（1）当1a =，2
()(1)ln ln f x x x x x x x =+-=+-, (1)11ln12f =+-=
∴切点坐标为(1,2)，1
'()21f x x x
=+-
，'(1)2112k f ∴==+-=。

根据直线的点斜式方程，切线方程为22(1)y x -=-，
∴()f x 在(1,(1))f 处的切线方程20x y -=。

（2）依题意得：2
2
()ln ln x
x
g x ax ax x x ax e ax e =+-+-+=+
'()x g x a e =+，x e a >-；因为11>-∴-<a a
解得ln()x a >-，()f x ∴在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(0,ln())a -上单调递减。

∴ln()()ln())ln()ln()a g x a a a e a a a --=-+=-+-极小值=g(，()g x 无极大值。

18 （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f′（x ）=3ax 2
﹣b 由题意；
，解得
，
∴所求的解析式为
（Ⅱ）由（1）可得f′（x ）=x 2
﹣4=（x ﹣2）（x+2）
令f′（x ）=0，得x=2或x=﹣2，
∴当x ＜﹣2时，f′（x ）＞0，当﹣2＜x ＜2时，f′（x ）＜0，当x ＞2时，f′（x ）＞0 因此，当x=﹣2时，f （x ）有极大值，
当x=2时，f （x ）有极小值，
∴函数的图象大致如图． 由图可知：．
19.解：
（1）1'()ln 1,'()0,f x x f x x e
=+>>
()f x ∴在1(,)e +∞上单调递增，1
'()0,0f x x e <<<
()f x ∴在1(0,)e 上单调递减，()f x ∴在1
x e =处取最小值，
min 1111
()()ln f x f e e e e
∴===-。

（2）3ln 22
-+-≥ax x x x 恒成立x
x x a 3ln 2++≤⇔恒成立
记)0(3
ln 2)(>++=x x
x x x h
)('),,1(,0)('),1,0()
1)(3(32)('2
22>+∞∈<∈∴-+=
-+=∴x h x x h x x x x x x x x h )(x h ∴在↑+∞↓),1(,)1,0( 4
4)1()(min ≤∴==∴a h x h
20（本小题满分12分）
解：（1）)0()
)(1()1()('2
22>--=++-=x x
a x x x a x a x x f 又)(x f 在定义域内为增函数
0)(',0≥>∀∴x f x
1=∴a
（2）由0)('=x f 得1=x 或a x =
1)≤a i
0)('],,1[≥∈x f e x )(x f ∴在↑],1[e 321)1()(min =∴-=-==∴a a f x f （舍） e a ii <<1)
0)('),(,0)('),,1(>∈<∈x f e a x x f a x )(x f ∴在↑↓],(,],1[e a a
e a a a a a
f x f =∴-=+--==∴2ln )1(1)()(min （舍） e a iii ≥)
0)('],,1[≤∈x f e x )(x f ∴在↓],1[e
e a a e
a
e e
f x f =∴-=+--
==∴2)1()()(min 综上，e a = 21（本小题满分12分） 解：（1）记)1)((2
1
)()(≥-
=x x g x f x h )
1(01
)(''1ln )('≥≤=∴-+=∴x x
x h x
x x h )('x h ∴在↓+∞),1( 0)1(')('=≤∴h x h )(x h ∴在↓+∞),1(
0)1()(=≤∴h x h 即当1≥x 时， f （x ）≤
2
1
g （x ） （2）2
1)≥
m i 由（1）知1≥x 时， f （x ）≤
2
1
g （x ）)(x mg ≤ 满足题意 2
10)<
<m ii
x≥1时，f （x ）﹣mg （x ）≤0恒成立等价于x≥1时，0)1(ln ≤--x
x m x 恒成立
记2
2)(')1)(1(ln )(x m
x mx x F x x x m x x F -+-=⇒≥--= 令0)('=x F 得m
m x m m x 2411,24112
221--=-+=
易知0121>>>x x
0)('),,1(1>∈∴x F x x ，0)('),,(1<+∞∈∴x F x x
)(x F ∴在↓+∞↑),(,),1(11x x
0)1()()(1max =>=∴F x F x F 不合题意 0)≤m iii
1>x 时，0)()(>-x mg x f 不合题意 综上，2
1
≥
m 22（本小题满分12分）
解：（1）)4
1()(')(,41)('-==-=x x e x x xf x g e x f 04
34114141)1()(',0>=->->-+=>∴x
x e e x x g x
)(x g ∴在↑+∞),0(
（2）x
x g a a x af x
x F ))(1
(
)('1
)('-=-=
又,0)0(=g )(x g 在↑+∞),0( ∴存在唯一
),0(0+∞∈x 使0
)('0=x F 且
)('),,0(0>∈x F x x ，
0)('),,(0<+∞∈x F x x
)(x F ∴在↓+∞↑),(,),0(00x x
1)(ln )()(000max +-==∴x af x x F x F 其中)
(1
0x g a =
又
-∞→+→)(,0x F x
∴1)(ln )(+-=x af x x F 无零点等价于0)(0<x F
记1)
()
(ln )(+-
=x g x f x x G )
()
(')()('2x g x g x f x G =
∴
易知0>x 时，0)(>x f ，0)('>∴x G )(x G ∴在↑+∞),0(，且0)1(=G
100<<∴x
又4
110)(10-<<∴=e a x g a 4
11->
∴e a。