湖北省枣阳市白水高中2022-2023学年高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
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【详解】解：函数 ( 且 )由函数 ( 且 )向上平移1个单位得到，函数 ( 且 )过定点 ，
所以函数 过定点 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为
故答案为： ；
14、
【解析】根据扇形面积与周长公式代入列式，联立可求解半径.
【详解】根据扇形面积公式得 ，周长公式得 ，联立可得 .
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h（单位： ）与时间t（单位： ）满足关系式 （取 ， 为上抛物体的初始速度）.一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手臂竖直上抛的瞬时速度 ，则在不计空气阻力的情况下，排球在垫出点2m以上的位置大约停留（）
8、B
【解析】由题意，求 长，即可求 外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥 的外接球的表面积.
【详解】由题意 中， ， ，
则 是等腰直角三角形， 平面 可得 ， ，
平面 ， ，则 的中点为球心
设 外接圆半径为 ，则 ，
设球心到平面 的距离为 ，则
，由勾股定理得 ，
则三棱锥 的外接球的表面积
（2）求 在区间 上的最大值和最小值，以及取最值时x的值
20．
（1）求函数 的解析式；
（2）试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当 时，函数 恒成立，求实数m的取值范围
21．已知 ，求 的值.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
（2）由 ，得 ，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值
【小问1详解】
解：因为 ，
，
令 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ；
【小问2详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 ，即 时， 有最大值 ，
当 ，即 时， 有最小值
20、（1） ；（2）单调递减；（3）
【解析】（1）函数为奇函数，则 ，再用待定系数法即可求出；（2）作差法：任意的两个实数 ，证明出 ；（3）要使 则
故答案为：
15、 ##
【解析】用辅助角公式将函数整理成 的形式，即可求出最小值
【详解】 ， ，所以 最小值为
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）理由见解析，函数模型为 ；（2）六月份.
【解析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选 符合要求，根据数据 时 ， 时 代入即可得解；
1、D
【解析】将 ， 代入 ，得出时间t，再求间隔时间即可.
【详解】解：将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
所以排球在垫出点2m以上的位置大约停留 .
故选：D
2、D
【解析】根据三角函数定义求解即可.
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：D
3、C
【解析】利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】 .
由图可知，当直线和半圆相切时 最小，当直线过点A(4,0)时， 最大.
当直线和半圆相切时， ，解得 ，由图可知 .
当直线过点A(4,0)时， ，解得 .
所以 ，即 .
故选A.
6、A
【解析】
判断出三个函数的单调性，可求出 ， ，并判断 ，进而可得到答案
【详解】因为 在 上递增，当 时， ，所以 ；
因为 在 上递增，当 时， 恒成立，故 的零点小于0，即 ；
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为 ，所以正三
棱柱的体积为24 ，
故答案为 或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏
12、
【解析】本题首先可以根据 分别是方程 的根得出 ，再根据 即可得出 ，然后通过函数 与函数 的性质即可得出 ，最后得出结果
当 时， ，不合题意，舍去，
所以 ,经检验符合题意；
【小问2详解】
由 ，解得： ，由 得： 或 ，
综上：不等式中 ，
变形为 ，
即 恒成立，
令 ，当 时， ，
所以 ，实数m的取值范围为 .
19、（1）1， ，
（2） 时， 有最大值 ； 时， 有最小值 .
【解析】（1）将 化简为 ，解不等式 ， ，即可得函数的单调递增区间；
（2）首先求 时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 ，解不等式 即可得解.
【详解】（1）两个函数 与 在 上都是增函数，
随着 的增加，指数型函数 的值增加速度越来越快，
而函数 的值增加越来越慢，
由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选 符合要求；
由 时 ，由 时 ，
可得 ，解得 ，
故该函数模型的解析式为 ；
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
故选：
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.
9、D
【解析】先确定 是等腰直角三角形，求出 ，再确定原图 的形状，进而求出 .
【详解】由题意可知 是等腰直角三角形， ，
其原图形是 ， ， ， ，
则 ，
故选：D.
10、A
【解析】由对数函数的图象和性质知， ，则 .又因为 ，根据已知可算出其取值范围，进而得到答案.
A.1 B.1.5
C.1.8 D.2.2
2．角 的终边经过点 ，则 的值为（）
A. B.
C. D.
3．已知 ，则 的值为（）
A. B.
C. D.
4．下列函数既是奇函数，又是在区间 上是增函数是
A. B.
C. D.
5．函数 的值域是
A. B.
C. D.
6．已知函数 ， ， 的零点分别 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
因为 在 上递增，当 时， ，故 ，
故 ．
故选：A．
7、C
【解析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线 平行并且和 相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.
【详解】连接 如下图所示，
分别是棱 和棱 的中点，
，
正方体中可知 ，
是异面直线 所成的角，
为等边三角形，
.
故选：C.
【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.
解得 .
（2）由 得
又 ，
,
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记同角三角函数基本关系以及两角差的正切公式即可，属于基础题型.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用奇函数定义求出实数a的值；
（2）先求解定义域，然后参变分离后求出 的取值范围，进而求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
由题意得： ，即 ，解得： ，
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为函数 与函数 都是单调递增函数，前者在后者的上方，
所以 ，
综上所述，
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题
13、①. ②.
【解析】根据对数函数过定点得 过定点 ，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据： ）
17．已知 ， ，
（1）求 和 ；
（2）求角 的值
18．已知函数 为奇函数
（1）求实数a的值；
（2）若 恒成立，求实数m的取值范围
19．已知函数
（1）求 的值及 的单调递增区间；
C.4D.
10．设 ， ，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
12．设 ， ， 依次是方程 ， ， 的根，并且 ，则 ， ， 的大小关系是___
13．函数 ( 且 )恒过的定点 坐标为_____，若直线 经过点 且 ，则 的最小值为___________.
故选：C.
4、A
【解析】对于 ，函数 ，定义域是 ，有 ，且在区间 是增函数，故正确；
对于 ，函数 的定义域是 ，是非奇非偶函数，故错误；
对于 ，函数 的定义域是 ，有 ，在区间 不是增函数，故错误；
对于 ，函数 的定义域是 ，有 ，是偶函数不是奇函数，故错误
故选A
5、A
【解析】由 ，知 ，解得
令 ，则 .，即为 和 两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
又 ＋ ，
所以 ，所以 .
故选：A.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、 或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为 ，所以正三
（2）当 时， ，元放入凤眼莲的覆盖面积是 ，
由 ，得 所以 ，
由 ，所以 .
所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
17、（1） ；（2）
【解析】（1）根据 以及同角三角函数基本关系，即可求出结果；
（2）由 得 ，进而可求出 的值，再由两角差的正切公式即可求出结果.
【详解】（1）已知 ，由 ，
详解】由已知 ，
所以由 得
试题解析：（1）
所以
（2） 由（1）问可得 在区间 上是单调递减的
证明：设任意的两个实数
又
, ，
在区间 上是单调递减的;
（3）由（2）知 在区间点：1、待定系数法；2、函数的单调性；3、不等式恒成立问题.
21、
【解析】先根据条件求出 ，再将目标式转化为用 表示，然后代入 的值即可.
A. B.
C. D.
7．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱 的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A. B.
C. D.
8．在四棱锥 中， 平面 ， 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为
A. B.
C. D.
9．如图， 是水平放置的 的直观图，其中 ， ， 分别与 轴， 轴平行，则 （）
A.2B.
14．已知半径为 的扇形 的面积为 ，周长为 ，则 ________
15．函数 的最小值为________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 ，三月底测得凤眼的覆盖面积为 ，凤眼莲的覆盖面积y（单位： ）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择
所以函数 过定点 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为
故答案为： ；
14、
【解析】根据扇形面积与周长公式代入列式，联立可求解半径.
【详解】根据扇形面积公式得 ，周长公式得 ，联立可得 .
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h（单位： ）与时间t（单位： ）满足关系式 （取 ， 为上抛物体的初始速度）.一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手臂竖直上抛的瞬时速度 ，则在不计空气阻力的情况下，排球在垫出点2m以上的位置大约停留（）
8、B
【解析】由题意，求 长，即可求 外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥 的外接球的表面积.
【详解】由题意 中， ， ，
则 是等腰直角三角形， 平面 可得 ， ，
平面 ， ，则 的中点为球心
设 外接圆半径为 ，则 ，
设球心到平面 的距离为 ，则
，由勾股定理得 ，
则三棱锥 的外接球的表面积
（2）求 在区间 上的最大值和最小值，以及取最值时x的值
20．
（1）求函数 的解析式；
（2）试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当 时，函数 恒成立，求实数m的取值范围
21．已知 ，求 的值.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
（2）由 ，得 ，从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最值
【小问1详解】
解：因为 ，
，
令 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ；
【小问2详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 ，即 时， 有最大值 ，
当 ，即 时， 有最小值
20、（1） ；（2）单调递减；（3）
【解析】（1）函数为奇函数，则 ，再用待定系数法即可求出；（2）作差法：任意的两个实数 ，证明出 ；（3）要使 则
故答案为：
15、 ##
【解析】用辅助角公式将函数整理成 的形式，即可求出最小值
【详解】 ， ，所以 最小值为
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）理由见解析，函数模型为 ；（2）六月份.
【解析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选 符合要求，根据数据 时 ， 时 代入即可得解；
1、D
【解析】将 ， 代入 ，得出时间t，再求间隔时间即可.
【详解】解：将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
所以排球在垫出点2m以上的位置大约停留 .
故选：D
2、D
【解析】根据三角函数定义求解即可.
【详解】因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：D
3、C
【解析】利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】 .
由图可知，当直线和半圆相切时 最小，当直线过点A(4,0)时， 最大.
当直线和半圆相切时， ，解得 ，由图可知 .
当直线过点A(4,0)时， ，解得 .
所以 ，即 .
故选A.
6、A
【解析】
判断出三个函数的单调性，可求出 ， ，并判断 ，进而可得到答案
【详解】因为 在 上递增，当 时， ，所以 ；
因为 在 上递增，当 时， 恒成立，故 的零点小于0，即 ；
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为 ，所以正三
棱柱的体积为24 ，
故答案为 或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏
12、
【解析】本题首先可以根据 分别是方程 的根得出 ，再根据 即可得出 ，然后通过函数 与函数 的性质即可得出 ，最后得出结果
当 时， ，不合题意，舍去，
所以 ,经检验符合题意；
【小问2详解】
由 ，解得： ，由 得： 或 ，
综上：不等式中 ，
变形为 ，
即 恒成立，
令 ，当 时， ，
所以 ，实数m的取值范围为 .
19、（1）1， ，
（2） 时， 有最大值 ； 时， 有最小值 .
【解析】（1）将 化简为 ，解不等式 ， ，即可得函数的单调递增区间；
（2）首先求 时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 ，解不等式 即可得解.
【详解】（1）两个函数 与 在 上都是增函数，
随着 的增加，指数型函数 的值增加速度越来越快，
而函数 的值增加越来越慢，
由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选 符合要求；
由 时 ，由 时 ，
可得 ，解得 ，
故该函数模型的解析式为 ；
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
故选：
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.
9、D
【解析】先确定 是等腰直角三角形，求出 ，再确定原图 的形状，进而求出 .
【详解】由题意可知 是等腰直角三角形， ，
其原图形是 ， ， ， ，
则 ，
故选：D.
10、A
【解析】由对数函数的图象和性质知， ，则 .又因为 ，根据已知可算出其取值范围，进而得到答案.
A.1 B.1.5
C.1.8 D.2.2
2．角 的终边经过点 ，则 的值为（）
A. B.
C. D.
3．已知 ，则 的值为（）
A. B.
C. D.
4．下列函数既是奇函数，又是在区间 上是增函数是
A. B.
C. D.
5．函数 的值域是
A. B.
C. D.
6．已知函数 ， ， 的零点分别 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
因为 在 上递增，当 时， ，故 ，
故 ．
故选：A．
7、C
【解析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线 平行并且和 相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.
【详解】连接 如下图所示，
分别是棱 和棱 的中点，
，
正方体中可知 ，
是异面直线 所成的角，
为等边三角形，
.
故选：C.
【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.
解得 .
（2）由 得
又 ，
,
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记同角三角函数基本关系以及两角差的正切公式即可，属于基础题型.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用奇函数定义求出实数a的值；
（2）先求解定义域，然后参变分离后求出 的取值范围，进而求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
由题意得： ，即 ，解得： ，
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为函数 与函数 都是单调递增函数，前者在后者的上方，
所以 ，
综上所述，
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题
13、①. ②.
【解析】根据对数函数过定点得 过定点 ，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据： ）
17．已知 ， ，
（1）求 和 ；
（2）求角 的值
18．已知函数 为奇函数
（1）求实数a的值；
（2）若 恒成立，求实数m的取值范围
19．已知函数
（1）求 的值及 的单调递增区间；
C.4D.
10．设 ， ，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
12．设 ， ， 依次是方程 ， ， 的根，并且 ，则 ， ， 的大小关系是___
13．函数 ( 且 )恒过的定点 坐标为_____，若直线 经过点 且 ，则 的最小值为___________.
故选：C.
4、A
【解析】对于 ，函数 ，定义域是 ，有 ，且在区间 是增函数，故正确；
对于 ，函数 的定义域是 ，是非奇非偶函数，故错误；
对于 ，函数 的定义域是 ，有 ，在区间 不是增函数，故错误；
对于 ，函数 的定义域是 ，有 ，是偶函数不是奇函数，故错误
故选A
5、A
【解析】由 ，知 ，解得
令 ，则 .，即为 和 两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
又 ＋ ，
所以 ，所以 .
故选：A.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、 或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为 ，所以正三
（2）当 时， ，元放入凤眼莲的覆盖面积是 ，
由 ，得 所以 ，
由 ，所以 .
所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
17、（1） ；（2）
【解析】（1）根据 以及同角三角函数基本关系，即可求出结果；
（2）由 得 ，进而可求出 的值，再由两角差的正切公式即可求出结果.
【详解】（1）已知 ，由 ，
详解】由已知 ，
所以由 得
试题解析：（1）
所以
（2） 由（1）问可得 在区间 上是单调递减的
证明：设任意的两个实数
又
, ，
在区间 上是单调递减的;
（3）由（2）知 在区间点：1、待定系数法；2、函数的单调性；3、不等式恒成立问题.
21、
【解析】先根据条件求出 ，再将目标式转化为用 表示，然后代入 的值即可.
A. B.
C. D.
7．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱 的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A. B.
C. D.
8．在四棱锥 中， 平面 ， 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为
A. B.
C. D.
9．如图， 是水平放置的 的直观图，其中 ， ， 分别与 轴， 轴平行，则 （）
A.2B.
14．已知半径为 的扇形 的面积为 ，周长为 ，则 ________
15．函数 的最小值为________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 ，三月底测得凤眼的覆盖面积为 ，凤眼莲的覆盖面积y（单位： ）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择