2022年《“最小二乘法”探求线性回归方程》优秀教案

“最小二乘法〞探求线性回归方程
我们的课本在“探索与研究〞栏目中用配方法推导出回归直线方程中两个系数的计算公式。

下面尝试用另一略有区分的思路——“最小二乘法〞探求如下。

“最小二乘法〞是“统计〞中探索线性回归方程的系数时的一个概念，这个概念本身并不神秘，其实质就是分析二次函数的最值条件问题
来历:评价实际观测值与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏差程度的标准之一，是离差的平方和：，而线性回归方程中的两大系数就是按照这个标准、当取得最小值时求得的由于平方又叫“二乘方〞，故这种使“离差平方和最小〞的方法就被称为“最小二乘法〞
剖析:由“最小二乘法〞确定线性回归方程两个系数的过程,现予以剖析：1 首先假设点所描述的变量之间具有线形相关性，
且其回归直线方程为
2 为书写方便且不引起歧义起见，以下解析过程中的求和符号“〞均省略上、下标不写，那么=
=
换个角度将此等式的形式稍作改换，将它视为关于的二次函数，那么有，
二次项系数，故当…… ①时，
二次函数取得最小值其中是样本平均数
3〕同理，假设将的表达式视为关于的二次函数那么有，
此关于的二次函数的二次项系数，因此当…… ②时，
二次函数取得最小值
4〕我们看到公式①、②中相互表示，显然作为最终结果这是不允许的，
现将①代入②中消元得：，
从而得回归系数
那么线性回归方程得以惟一确定!
点评：“最小二乘法〞在探求系数的过程中，从两个角度分别将看作关于的二次函数和关于的二次函数，然后应用二次函数的最值确定方法，求出的表达式；其次用代入消元法，得到系数用表示的表达式其解析过程并不抽象，相反，解决思路简单易懂，同学的难点恐怕在于对求和符号的领会与把握上，只要正确的变形并能灵活的运用，那么所谓难点即可突破；最后提醒同学一点：本处“最小二乘法〞的使用前提是变量之间具有良好的相关性；否那么，就失去了问题讨论的根底和意义！。