高中人教版数学必修2《空间直线位置关系》精品导学案

§2-4 空间直线位置关系
一、学习目标：1）直观认识和理解、体会空间中的直线之间的位置关系 2）学会用数学语言表述空间中的直线之间的位置关系 二、学习重点与难点： 1）异面直线
2）异面直线所成角 三、学习过程
思考：同一平面的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？
图（1） 图（2）
图（3） 图（1）中线段B A 1所在的直线与线段C C 1所在的直线位置关系如何？ 与（2）中线段所1AA 在的直线与线段C C 1所在的直线位置关系如何？线段所1AA 在的直线与线段11B C 所在的直线位置关系如何？中线段所1AA 在的直线与线段
11B A 所在的直线位置关系如何？
图（3）中的两条立交桥所在的直线位置关系如何？ 1．空间两直线的位置关系和异面直线的概念与画法 （1）以“共面”和“异面”的角度分为
⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩相交直线： ；共面直线平行直线：
；异面直线：
. （2）以有无公共点的角度可以分为
11
南海万泉河立交桥
⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧异面直线
平行直线
没有公共点相交直线有且仅有一个公共点--------- 2.异面直线的概念： 例1： 判断下列说法是否正确
1）异面直线是指两条直线不能同在任何一个平面内 2）2121,,l l l l ，则βα⊂⊂是异面直线 3）既不相交也不平行的直线是异面直线 4）空间中不相交的两条直线； 5）某平面内的一条直线和这平面外的直线； 例2：(1)在如图所示的正方体中，
指出哪些棱所在的直线与直线BA 1是异面直线？
例3：已知M 、N 分别是长方体的棱C 1D 1与CC 1上的点，那么MN 与AB 所在的直线相交吗？
例4那么AB ，CD ，EF ，GH 是异面直线的 对
3.异面直线的画法
（注意：常用平面衬托法画两条异面直线）
练习：画两直线相交，第三条直线与它们异面
4.平行公理
m l ααl m β
在同一平面内，a ∥ b ，b ∥c 则 那么在空间呢？
如图长方体D C B A ABCD ''''-中，B B '∥ A A '
D D '∥ A A ' 那么D D '∥ B B '吗？
公理4：文字语言表述：
2）图形语言表述：
3) 符号语言表述 4）作用：
例：空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点。

求证：四边形EFGH 是平行四边形
变式：空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点，且BD AC =
四边形EFGH 是什么图形？并证明。

5.等角定理 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 或 在空间呢？结论是否成立？
如图长方体D C B A ABCD ''''-中，观察
ADC ∠与C D A '''∠，ADC ∠与C B A '''∠这两组角的大小关系如何？
等角定理：文字语言表述：
2）图形语言表述：
3) 符号语言表述 4）作用：
例：在斜三棱柱111C B A ABC -中证明：111C A B BAC ∠=∠
6. 异面直线所成的角 我们知道。

平面内的两条直线相交成 个角，其中不大于 90的角称为它们的 夹角刻画了 的程度。

异面直线所成的角的概念：已知两条异面直线,a b ，经过空间 O 作直
线 ，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. 为了简便，点O 常取在 如果两条异面直线所成的角
是 那么我们就说两条异面直线 记作 .异面直线所成的角的范围为 ，
例1：如图正方体D C B A ABCD ''''-中
（1）哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？
（2）直线A B '和C C '的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线A A '是垂直？ 中，F E ,分例2：已知棱长为1的正四面体ABCD 别是AD AC ,，求异面直线BE ，CF 所
成的角的
余弦值。

通过以上例子你能终结利用定义法求异面直线所成交的步骤和注意事项吗？
课堂练习
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能
2．直线l 与平面α不平行，则（ ）. A. l 与α相交 B. l ⊂α
C. l 与α相交或l ⊂α
D. 以上结论都不对
3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）.
A. 有限个
B. 无限个
C. 没有
D. 没有或无限个
4．如果OA ∥''O A ,OB ∥''O B ，那么AOB ∠与'''
AO
B ∠ （大小关系）.
5．如果 a ∥ b 且c a ⊥ 则b c
6. 如果 c a ⊥ c b ⊥ 则a 与b 的位置关系是
7．下图是正方体平面展开图，在这个正方体中：
① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.
以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . E A F
B
C M N
D
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C A
B
8.在如图所示的长方体中，3=AB ,11=AA ， 求直线1BA 和CD 所成角的度数
9．如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'
中，AB =
, AD ='1AA =. （1）BC 和''A C 所成的角是多少度？ （2）'AA 和'BC 所成的角是多少度？
10．已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求AB 和CD 所成的角的大小. 11．三棱柱ABC —A 1B 1C 1 的侧棱垂直底面，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1 的中点.若BC=CA=CC 1，求BD 1 与AF 1 所成的角的余弦值.
12.四面体ABC S -各棱长都相等，如果.,F E 分别是AB SC ,的中点，求异面直线
EF
与SA 所成的角。

课后练习 1．两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 可能是平行直线
D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
2．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ）.
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
A
B D 1
C 1 B 1 A 1
D C A B
A. 平行
B. 相交
C. 平行或垂合
D. 平行或相交
3．正方体各面所在平面将空间分成（ ）个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 27
4．E 、F 、G 、H 是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）EFGH 是 形；
（2）若空间四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直，则EFGH 是 形；
（3）若空间四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相等，则EFGH 是 形.
5．给出三个命题：
（1）若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行。

（2）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行。

（3）若两条直线和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

其中不正确的个数是
6．正方体AC 1中，E,F 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点，
求异面直线DB 1与EF 所成角的大小.
5.正方体D C B A ABCD ''''-中，AB 的中点为M ，
D D '的中点为N ，求异面直线M B '与CN 所
成角的大小.
8．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中, 求：异面直线1A B 与1B C 所成角的大小
9.已知棱长为1的正四面体ABCD中，E是AD的中点，异面直线AB与CE所成角的大小
10.四面体ABCD中，E为AD中点，若8
=
=BD
AB，
AC，5
CD
=
=
=DA
BC，求BE与CD所成角的余弦值。

=
7
N。