【条件】2020学年高中数学阶段质量检测三新人教A版选修12

【关键字】条件
阶段质量检测(三)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则单数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
2．单数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭单数是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
3．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A. B．. D．2
5．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
6．单数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为( )
A．－1 B．．1 D．2
7．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)|n∈N}的元素个数是( ) A．2 B．．4 D．无数个
8．单数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的单数是( )
A. B．－3－i
C．1＋i D．3＋i
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝是“z1＝z的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则单数z等于( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
11．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的单数z为( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
12．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个单数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
14．已知单数z1＝3－i，z2是单数－1＋2i的共轭单数，则单数－的虚部等于________．15．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
16．已知单数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则单数z在复平面对应的点位于第________象限．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)实数k为何值时，单数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
18．(本小题12分)已知单数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
19．(本小题12分)已知单数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1·z2；(2).
20．(本小题12分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
21．(本小题12分)已知单数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
22．(本小题12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数．
(1)求m对应的点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
答案
1．解析：选D 由1－i2
z
＝1＋i，得z＝
1－i2
1＋i
＝
－2i
1＋i
＝
－2i1－i
1＋i1－i
＝－1
－i，故选D.
2．解析：选A ∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴z＝－1－i.
3．解析：选D 由已知，得z1－z2＝3－4i－(－2＋3i)＝5－7i，则z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)．
4．解析：选B a 1＋i ＋1＋i 2＝a 1－i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由题意可知1－a 2
＝0，即a ＝1. 5．解析：选B 由已知⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以 1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.
6．解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 2
2＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.
7．解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i
＝2i ， f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，
由i n
的周期性知{f (n )|n ∈N }＝{0，－2i,2i}．
8．解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，
∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i. 9．解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2
＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．
10．解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，
∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，
∴z ＝2－2i. 11．解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，
得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i
＝3－i. 12．解析：选B 由题意可得(1＋2i)2
＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，
13．解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45
. 答案：45
15．解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 2
0＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i
＝0，
即(x 2
0＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，
解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i.
答案：4i 16．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ， 即a 1＋i 2＋b 1＋2i
5＝3－i 2
， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，
∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．
答案：四
17．解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数．
(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．
18．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，
∴z ＝－4＋3i ，
∴1＋i 23＋4i 2
2z ＝2i －7＋24i 2－4＋3i ＝24＋7i 4－3i
＝3＋4i. 19．解：z 2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i
＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310
i. 20．解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝－12＋－12＝ 2.
(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1
＝1－i ，得1＋i
2＋a 1＋i ＋b 1＋i 2－1＋i ＋1＝1－i ，即a ＋b ＋a ＋2i
i ＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.
21．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i
＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|
＝4－a 2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴4－a 2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.
∴a 的取值范围是(1,7)．
22．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 m ＋3m －3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i x －32＋y 2
， ∵m ＋3m －3
为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0. ∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)，
∴|z －(3＋33i)|＝3.
∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；
最小值为|3＋33i|－3＝3.
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