人教版数学九年级下册 相似三角形应用举例

探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距
离？
活 动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
你想到了吗？还可以有其他方
法测量吗？
——利用三角形相似测宽
△ABE∽△CDE AB BE CD ED
AB CD BE ED
知识 回顾
问题 探究
课堂 小结
探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距 离？ 活
又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF
∴BO OA ，BO∴ OA EF 201 2 134
EF FD
FD 3
答：金字塔的高度BO为134m。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活 动1
探究利用三角形相似测量物高
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
相似三角形应用举例
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问题 探究
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1.三角形相似的判定方法：
（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似； （3）判定定理1（边边边）：三边对应成比例，两三角形相似； （4）判定定理2（边角边）：两边对应成比例且夹角相等，两三角形 相似； （5）判定定理3（角角）：两角对应相等，两三角形相似； （6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例 的两个直角三角形相似。
活 动1
合作探究，相似三角形与函数的综合应 用1.相似三角形与一
次例函1：数如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 y=﹣x+3与x轴交43于53 点C，与直线AD交于点A（ ， ）， 点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动
点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如 何应用的活？ 动1 相关知识 介绍
视角：视线与水平线的夹角。 仰角：视线在水平线以上，视线与水平线的 夹角。 俯角：视线在水平线以下，视线与水平线的
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如 何应用的活？ 动2 例题讲解
出图形 与同伴交流） 4、你发现了什么规律？
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD 为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。
怎样测出OA的 长？
解：太阳光是平行线，因此∠BAO=∠EDF
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2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例。 （2）相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中 线之比、对应角平分线之比等于相似比. 相似三角形 对应线段之比等于相似比。 （3）相似三角形的周长之比等于相似比。 （4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？ 活动1 探究利用三角形相似测量物高
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒 斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的 顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似 三角形来测量金字塔的高度。
小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔 高度问题。
动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
你想到了吗？还可以有其他方
法测量吗？
——利用三角形相似测宽
测距的方法：测量不能到达两点间的距离，常构造相 似三角形求解。 解相似三角形实际问题的一 般步骤： （1）审题； （2）构建图形； （3）利用相似解决问题。
知识 问题 课堂
回顾 探究 小结
探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距
知识 回顾
问题 探究
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探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如
何应用的活？ 动2 例题讲解
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的
眼睛的位置点F与两棵树的顶端A，C恰在一条直
线上。 ∵AB⊥l，CD⊥FlH，∴AHAB∥CD
FK CK
∴△FHAFH8∽1.6△C6.F4 K ∴
FH 5 12 1.6 10.4
∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD ∵ OA：OC＝ABx： aC2DAB＝ na ，2nb又∵CD ＝b，
点∴拨A：B=利CD用•n三＝角nb形，相∴似求线段长
是常用方法。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如 何应用的？活 动1 相关知识 介绍
视点：观察者眼睛的位置叫视点； 视线：由视点出发的线叫视线； 盲区：眼睛看不见的区域叫盲区。
与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到
垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长。
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，
∴ BC EF
CD GE
，BC即 2
3.6 1.2
在Rt△ABC中，
，∴BC＝6m
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，
即点树长拨A：B解是答12m此。类问题时，首先要把实际
——利用平面镜也可测高
△ABO∽△AEF
BO OA EF FA
BO OA EF FA
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探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活 动1
探究利用三角形相似测量物高
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
测高的方
——利用平面镜也可测高
法：测量不能到达顶部的物体的高度，通
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在 河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、 Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与 PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点 Q且垂直PS的直线b的交R。如果测得QS=45m， ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ。
1.本题中是如何构造相似三角形来解 决问题的？ 2.你还可以用什么方法来测量河的宽 度？
上的影高l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
因此BE=CD=1.2m，CE=BD=2.7m，
由AE 1
2.7 0.9
得AE=3
E
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2（m）
答：这棵树的高为4.2m
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距 离？ 活 动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
到
BC 2 3.6 1.2
，可计算出BC＝6m，然后在
Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的
关系即可得到AB的长。
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探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活 动2
例题讲解
例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影
长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树
离？
活 动2 例题讲解
例：如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度
x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳
（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：
OD=n，分且析量：得如C图D，=b要，想求求厚厚度度x。x，
根据条件可知，首先得求出内孔
直径AB，而在图中可构造出相似
形，通过相似形的性质，从而求
常用“在同一时刻物高与影长成正比例”
的原理解决。
甲物高：乙物高=甲影长： 乙影长
知识 问部的物体的高度？
活 动1
探究利用三角形相似测量物高
你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？
——利用平面镜也可测高
利用三角形相似可以解决一些不能直接测
量的物体的长度的问题一般图形：
点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动
点（分不析与：点（B2重）合由）直，线当A△D与BOxD轴与的△交B点CE相似时，求E E’
为点（E﹣的2坐，标0）。，得到OB=2，由点D的坐标
为（0，1），得到OD=1，求得BDBCB=O5， O根D 据O相B 似 O三D角形的性质得到 BC BE CE
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活动1 探究利用三角形相似测量物高
例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD 为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。
怎样测出OA的 长？
问题：1、本题中是利用什么构造相似三角形的？ 2、本题的突破点在哪里？ 3、如何测量旗杆的高度？（设计出你的测量方案，画
问题转化为数学问题。利用相似三角形对应
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探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活 动2
例题讲解
例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的
竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影
子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙
即
解得FH=8（m）
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左
边的树点的拨距：离解小实于际８问m时题，关由键于是这找棵出树相的似遮的挡三，右角 边 形树，的然顶后端根点据C对在观应察边者的的比盲相区等之列内出，方观程察者，看建不立
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
出AB的长度。
知识 问题 课堂
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探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距
离？
活 动2 例题讲解
例：如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度
x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳
（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：
OD解=n：，∵且O量A得：CODC=＝bO，B求：厚O度D＝x。n且
Q且垂直PS的直线b的交R，如果测得QS=45m，
S解T：=9∵0m∠，PQQRR==6∠0mPS，T求= 9河0°的，宽度PQ。
∠P=∠P，
PQ QR PQ QS ST
∴P△QPQP45Q 96R00 ∽△PST，∴
，
即
，∴PQ=90 。
答：河的宽度PQ为90m。
知识 问题 课堂
回顾 探究 小结
2
故直线AD的解析式为：y= x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，
BD BO OD OB OD
BC BE CE BC CE
∵点5 点D的2拨坐：1标本为题2（考01，查1了）相，∴似O三D角=1形，的性质，待定
点E的坐分标析。：（1）设直线AD的解 析式为y=kx+b，用待定4 系5 数法将
33
A（ ， ），D（0，1）的坐标
代入即可；
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
活 动1
合作探究，相似三角形与函数的综合应 用例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
y=﹣x+3与x轴交43于53 点C，与直线AD交于点A（ ， ），
例：如图，左、右并排的两棵大树的高分别为
AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个
人估计自己眼睛距地面1.6m，她沿着正对这两棵树
的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的
树的距分离析小：于如多图少，时设，观就察看者不眼到睛右的边较高的树的顶 端位C置了（？视点）为点F（EF近似为人 的身高），画出观察者的水平视线 FG，它交AB、CD于点H、K，视线 FA、FG的夹角∠AFH是观察点A的 仰角。能看到C点。类似地，∠CFK 是观察点C时的仰角，由于树的遮
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距 离？ 活
动1 探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在
河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、
Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与
PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
活 动2
例题讲解
例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为
1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，
树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离
是3.6m，求树AB的长。
分析：先利用△BDC∽△FGE得
BC CE
或
，代入数据即可得到结论。
知识 回顾
问题 探究
课堂 小结
探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
活 动1
合作探究，相似三角形与函数的综合应 用
解：（1）设直线AD的解析式为y=kx4+b5，将A
（ ，43 k ）b ，53 D（0，k1）12 代入得： 3 3
，解得：
b 1
b 1
1