2018年秋九年级数学上册第2章对称图形_圆2.6正多边形与圆同步练习新版苏科

第2章对称图形——圆
2.6 正多边形与圆
知识点 1 正多边形的相关概念
1．如图2－6－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是( )
A．72° B．60° C．54° D．36°
图2－6－1
图2－6－2
2．教材例题变式如图2－6－2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．
3．如图2－6－3，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．
求证：△ABF≌△BCG.
图2－6－3
知识点 2 画正多边形
4．画正六边形．
5．[2016·淮安] 如图2－6－4，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.
图2－6－4
图2－6－5
6．[2017·凉山] 如图2－6－5，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝________°.
7．如图2－6－6①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.
图2－6－6
(1)求图①中∠APB的度数．
(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
详解详析
1．A [解析] ∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆， ∴∠AOB ＝360°÷5＝72°.
2．3 3
3．证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AB ＝BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD . ∵F ，G 分别是BC ，CD 的中点， ∴BF ＝12BC ，CG ＝1
2
CD ，∴BF ＝CG .
在△ABF 和△BCG 中，
∵AB ＝BC ，∠ABF ＝∠BCG ，BF ＝CG ， ∴△ABF ≌△BCG .
4．[解析] 画正六边形的途径有两种，一种是用量角器将圆六等分；另一种是用圆规和直尺将圆六等分．
解： (方法一)用量角器将圆六等分(略)． (方法二)用直尺和圆规将圆六等分． 作法：1.在⊙O 中任意作一条直径AD ；
2．分别以点A ，D 为圆心，⊙O 的半径为半径画弧，与⊙O 相交于B ，F 和C ，E ； 3．依次连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA ，六边形ABCDEF 就是所求作的正六边形． 5．75 [解析] 设该正十二边形外接圆的圆心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O . 的长度＝5
12
⊙O 的周长，
∴∠A 3OA 10＝5
12×360°＝150°，
∴∠A 3A 7A 10＝75°.
6．72 7．．解：(1)∵点M ，N 分别从点B ，C 开始以相同的速度在圆周上逆时针运动， ∴∠BAM ＝∠CBN . 又∵∠APN ＝∠BPM ，
∴∠APN ＝∠BPM ＝∠ABN ＋∠BAM ＝∠ABN ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°， ∴∠APB ＝120°. (2)90° 72°
(3)能推广到一般的正n 边形的情况．
问题：正n 边形ABCD …内接于⊙O ，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM ，BN 相交于点P ，求∠APB 的度数．
结论：∠APB 的度数为所在多边形的外角度数，即∠APB ＝360°
n
.。