2017年全国高考考前解答题点理数命题揭秘之概率与统计

考向六 超几何分布
1.【2016·乌鲁木齐市模拟】PM
2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2014年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
【答案】（1）21
40
（2）见解析
【解析】(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”
为事件A ，则P (A )＝C 1
3·C 2
7C 10＝21
40
.
(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k 7C 10(k ＝0,1,2,3)．∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 10＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 2
7C 10＝21
40， P (ξ＝2)＝C 23C 1
7C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 0
7C 310＝1
120
.因此ξ的分布列为
【考点】超几何分布.
【名师点睛】本题主要考查古典概型，离散型随机变量的超几何分布，以及考查逻辑思维能力、运算求解
能力、分析与处理数据信息的能力．求解超几何分布注意点：超几何分布是不放回抽样及随机
变量为抽到的某类个体的个数.
【题后总结】1．超几何分布的两个特点：
(1)超几何分布是不放回抽样问题．
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的应用条件：
(1)两类不同的物品(或人、事)．
(2)已知各类对象的个数．
(3)从中抽取若干个个体．
考向七n次独立重复试验与二项分布
1．【2015·全国卷Ⅰ】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【答案】 A
【考点】独立重复实验的概率.
【名师点睛】通过审题不难发现，同学三次投篮相当与做了三次独立重复实验，则化为独立重复实验的概率可求。

2.【2016大连模拟】寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图6所示的茎叶图记录了他
们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”.
(1)求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
【答案】见解析
【考点】独立重复实验二项分布期望
【名师点睛】考察学生茎叶图的读取，确定随机变量ξ可能取的值，计算相应的概率为独立重复实验的概
率符合二项分布。

【题后总结】独立重复试验满足的三个条件
独立重复试验是相互独立事件的特例．P(ξ＝k)＝C k n p k(1－p)n－k可简化概率的计算，但要注意检查概率模型是否满足三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③
该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率． 考向八 离散型随机变量的均值与方差
1.【2016高考新课标1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I ）求X 的分布列；
（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 【答案】见解析
所以X 的分布列为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY
404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.
当20=n 时，
04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.
可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n . 考点：离散型随机变量期望的运用
【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,
所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
2．【2016衡水金卷】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．
现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)设η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D ( η)＝11，试求a ，b 的值． 【答案】见解析
考点：离散型随机变量期望及方差
【名师点睛】本需要学生熟悉离散型随机变量期望和方差的定义和算法。

.
【题后总结】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
1．理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
2．求ξ取每个值的概率．
3．写出ξ的分布列．
4．由均值的定义求E(ξ)．
5．由方差的定义求D(ξ)．
考向九正态分布
1.【2014高考新课标1】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点
值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中
μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .
(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .
Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，
(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
【答案】(1)200,150 (2) 0.6826 (3)68.26
【解析】(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2
s 分别为
1700.021800.091900.222000.33
2100.242200.082300.02200
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
()()()()()()2
2
2
22
2
2
300.02200.09100.2200.33
100.24200.08300.02150
s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而
(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯= 考点: 平均数 方差 正态分布 期望
【名师点睛】本题以频率分布直方图为载体，分别考查了运用其求均值和方差，及正态分布的运用。

求解正态分布涉及到的概率问题主要有两条思路：（1）利用正态密度曲线的对称性； （2）利用“3σ”法则计算．
【题后总结】利用正态曲线的性质求概率
解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用． (1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． ②P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a ) 考向十 统计案例
1.【2016邯郸模拟模拟】为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：
已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的人的概率为2
5.
(1)请将2×2列联表补充完整；
(2)已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 下面的临界值表供参考：
(附参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
【答案】见解析 【解析】(1)
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2，
则P (ξ＝0)＝C 212C 216＝66120＝1120，P (ξ＝1)＝C 14C 112C 216＝48120＝25，P (ξ＝2)＝C 2
4C 216＝6120＝1
20.
ξ的分布列为
E (ξ)＝0×1120
＋1×25
＋2×120
＝12
.
(3)K 2
＝40×(16×12－8×4)
2
20×20×24×16
≈6.667>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为
患心肺疾病与年龄有关．
考点: 随机变量分布列与期望 独立性检验
【名师点睛】本题主要考查独立性检验基本思想的应用、考查逻辑思维能力、运算求解能力、分析与处理数据信息的能力．独立性检验基本思想的应用的基本步骤：①根据数据列出22⨯列联表；②提出假设0H ：所研究的两类对象()X Y ，无关；③根据公式计算2
K 的值；④比较观测值k 与2
K 分布表中相应的检测水平，根据概率原理肯定或者否定假设，判断X Y ，是否相关．
【题后总结】1．比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法
(1)通过计算K 2
的大小判断：K 2
越大，两变量有关联的可能性越大．
(2)通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． 2．独立性检验的一般步骤；(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算K 2的观测值k .
(3)比较k 与临界值的大小关系，作统计推断．。