解析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定
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定义 1[1] 设 D 为复平面上的区域。若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍含于 D，则称 D 为单连通区域。非单连通的区域称为多连通区域。
引理1[1（] 泰勒定理） 如图 1，设 （f z）在区域 D 内解析，α∈D，只要圆 K：z-α <R 含于 D，则
（f z）在 K 内能展成幂级数
∞
Σn
（f z）= cn（z-α） ，
n=0
乙 其中系数
cn
=
1 2πi
Γρ
f 乙ξ 乙 乙ξ-α 乙n+1
dξ，Γρ :
0＜ρ＜R；n=0，1，2，…，且展式唯一。
ξ-α =ρ，
图1
收稿日期：2008- 09- 25 基金项目：浙江省自然科学基金资助项目（M103069） 作者简介：兰家诚（1964— ），男，浙江龙泉人，教授。
1 z-2
-1 z-2 n=0
1 z-2
=
ΣΣ Σ Σ ∞
∞
1 2
n=0
--1
-n 1 -z-2
-n+1
-
n=0
1 -z-2 -n+1
=
∞
Σ 1
2
n=0
Σ--1
-n +1
Σ1 -z-2
-n+1
=
∞
Σn=0
1 -z-2
-2n+1
。（洛朗级数）
此例的结果说明所给函数在指定区域内的具
体展式与我们最初的判断一致，有兴趣的读者也
（3）圆环 0＜ z-3 ＜2； （4）圆环 2＜ z-3 ＜＋∞；
（5）圆 z-2 ＜1；
（6）圆环 1＜ z-2 ＜＋∞。
解
显然，在
z＝1
和
z＝3
是函数
f
(z)=
(
1 z-1) (
z-3)
的 2 个孤立奇点，所以我们判定函数在以上所给
的（1）～（4）这 4 个解析区域内的展开为洛朗级数
形式，在（5）中的展式为泰勒级数，在（6）中展开为
第 31 卷第 2 期 Vo1 . 31 No. 2
丽水学院学报 J OURNAL OF LISHUI UNIVERSITY
2009 年 4 月 Apr . 2009
解析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定
兰家诚
（丽水学院 数理学院，浙江 丽水 323000）
摘要：对解析函数的展开形式作了深入研究，给出了一种确定展开时是泰勒形式还是洛朗形式
dξ ＜n=0，±1，… ≤，
Γ 为圆周 ξ-α =ρ ＜r＜ρ＜R ≤，并且展式唯一。
从以上 2 个引理及图 1，图 2 我们可以看出：
（1）函数可以展成幂级数或双边幂级数，首先必须
是在其解析区域内。（2）展开形式与展开点有关，
∞
Σ 如在 a 点处展开，其形式为 f ＜z ≤= cn ＜z-α ≤n 或 n=0
=1 2
1- 1 z-1 z-1-2
=
＜ ≤ 1
2
1 z-1
+
1 2
·1 1-（z-1）
2
=
∞
n
＜ ≤ Σ 1 · 1 + 1
2 z-1 4 n=0
z-1 2
=
Σ∞
1· 1 + 2 z-1 n=0
＜z-1
n+2
≤n 。（洛朗级数）
2
（2）在圆环 2＜ z-1
＜＋∞ 内，有
2 z-1
＜1，从而
＜ ≤ ＜ ≤ f ＜z ≤= 1 2
2
1 z-2+1
+
1-
1 -z-2
-=
ΣΣ Σ Σ ∞
∞
1 2
--1 -n -z-2 -n + -z-2 -n =
n=0
n=0
∞
Σ 1
2
Σ--1 -n +1 Σ-z-2 -n =
n=0
∞
Σ -z-2 -2n 。（泰勒级数）
n=0
（6）在圆环 1＜ z-2 ＜＋∞（解析点的多连通解
析区域）内，有
1 z-2
＜1，从而
- - f
-z
-=
1 2
1 z-1
-
1 z-3
=
ห้องสมุดไป่ตู้- - 1
2
1 z-2+1
-
1 z-2-1
=
- - 1
2
1 z-2+1
+
1-
1 -z-2
-=
- - 1
2
1 z-2
· 1+1
1 （z-2）
-
1 z-2
· 1-1
1 （z-2）
=
- - - - -- ∞
n
∞
n
Σ Σ 1
2
1 z-2
n=0
--1
-n
第2期
兰家诚：解析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定
13
内，0＜
z-3 2
＜1，
- - f
-z
-=
1 2
1 z-1
-
1 z-3
=
- - 1
2
1 z-3+2
-
1 z-3
=
- - 1
2
1 2
·（z-3）1
2 +1
-1 z-3
=
∞
n
- - Σ 1
4
n=0
-－1
-n
z-3 2
-1· 1 = 2 z-3
Σ∞
n=0
可将此方法应用到其他例子的验证上。
参考文献：
［1］钟玉泉.复变函数论［M］. 第 3 版. 北京：高等教育出版 社，2004.
［2］张忠诚，唐翠娥. 解析函数罗朗展式形式的确定［J］.黄 冈师范学院学报，2003（3）：17- 18.
［3］吴琼，田进誉. 试论解析函数洛朗展开式形式的确定方 法［J］.晋中师范高等专科学校学报，2004（4）：329- 330.
勒展式；若函数在圆周 Γρ 或 Γ 内不解析（即至少
有一个孤立奇点）时，由于负次幂项系数不为零，
则为洛朗展式。
由此，我们可以得到以下结论。
结论 1 解析函数在孤立奇点的去心邻域内
必可展成洛朗级数，在解析点的解析区域内可展
成泰勒级数，而在解析点的包含孤立奇点的邻域
内可展开洛朗级数。
或者我们也可以叙述为：
12
丽水学院学报
2009 年
1,3邻域
Γ：ξ-a =ρ
图2
引理 2 [1（] 洛朗定理） 如图 2，在圆环 H：r＜ z-α ＜R ≤r≥0,R≤＋∞ ≤内解析的函数 f ＜z ＜必可
∞
Σ 展成双边幂级数 f ＜z ＜= cn ＜z-α ＜n ，其中
公式一样
n=－∞
乙 cn
=
1 2πi
Γ
f ＜ξ ≤ ＜ξ-α ≤n+1
1 -1 z-1 z-3
=1 2
1- 1 z-1 z-1-2
=
＜ ≤ 1
2
1 z-1
+
1 z-1
· 1-2
1 （z-1）
=
∞
n
＜ ≤ Σ 1 · 1 - 1
2 z-1 z-1 n=0
2 z-1
=
∞
n
Σ 1 · 1 -
2 z-1 n=0
2 ＜z-1
≤n+1
。（洛朗级数）
（3）在孤立奇点 3 的最大去心邻域 0＜ z-3 ＜2
我们知道复变函数只有在其解析区域内才有 幂级数（或双边幂级数）展开形式,泰勒级数（即幂 级数）是洛朗级数（即双边幂级数）的特殊形式。对 于一个解析函数在指定解析区域内展开具体为何 种形式，若我们一开始就能作出判断，将有助于我 们检验其最终展开形式的正确性。本文将给出这 种判定方法，并以一个具体例子说明此方法的有 效性，首先我们需引入一个定义和两个非常重要 的定理。
-－1
-n
-z-3
n+2
2
-n -
1 2
·z-13
。（洛朗级数）
（4）在圆环 2＜ z-3
＜＋∞ 内，有
2 z-3
＜1，从
而
- - f -z -= 1 2
1 -1 z-1 z-3
=
- - 1
2
1 z-3+2
-
1 z-3
=
- - 1
2
1 z-3
· 1+2
1 -z-3
--
1 z-3
=
Σ - - Σ ∞
n
结论 2 解析函数在孤立奇点的多连通解析
区域内可展成洛朗级数，在解析点的单连通解析
区域内可展成泰勒级数，而在解析点的多连通解
析区域内则展成洛朗级数形式。
以下我们将用一个具体例子对我们的结论加
以说明。
例1
将函数
f ＜z ≤=
＜z-1
1 ≤＜z-3
≤在以下解析
区域内展开：
（1）圆环 0＜ z-1 ＜2； （2）圆环 2＜ z-1 ＜＋∞；
∞
f ＜z ≤=Σcn ＜z-α ≤n ；当 a＝0 时，其形式则为 f ＜z ≤= n=－∞
∞
∞
Σ Σ cn
n
z
或
f
＜z
≤=
n
cn z 。（3）洛朗形式之所以比泰
n=0
n－∞
勒形式多出负次幂项的系数，主要是由函数在 Γρ 或 Γ 内的解析性引起的。若函数圆周 Γρ 或 Γ 内解
析，由于此时负次幂项系数为零，则展开形式为泰
（College of Mathematics and Physics，Lishui University，Lishui Zhejiang 323000，China）
Abstr act：In this paper，we concerned our study on the Taylor and Laurent expansion form of analytic functions and gave a method identifying the Taylor or Laurent form while expansioned. Key wor ds：analytic functions；Laurent expansion；Taylor expansion
Σ 1
2
1 z-3
n=0
-－1
-n
2 z-3
-
1 z-3
=
∞
n-1
Σn=0
--1
-n 2 -z-3
-n+1
-
1 2
·1 z-3
。（洛朗级数）
（5）在圆 z-2 ＜1（解析点的最大单连通域）内
- - f -z -= 1 2
1 -1 z-1 z-3
=
- - 1
2
1 z-2+1
-
1 z-2-1
=
- - 1
的方法。
关键词：解析函数；泰勒展式；洛朗展式
中图分类号：O 174.51
文献标志码：A
文章编号：1008- 6749（2009）02- 0011- 03
Idetifying the Taylor and Laurent Expansion Form of Analytic Function
Lan Jiacheng
洛朗级数。
首先将函数 （f z）分解成部分分式
＜ ≤ （f z）=
1 2
1 z-1
-
1 z-3
，
然后采用间接展开法，利用公式
∞
Σ 1 =
n
z
＜z
＜1 ≤。
1-z n=0
（1）在孤立奇点 1 的最大去心邻域 0＜ z-1 ＜
2 内，0＜
z-1 2
＜1，
＜ ≤ ＜ ≤ f ＜z ≤= 1 2
1 -1 z-1 z-3
引理1[1（] 泰勒定理） 如图 1，设 （f z）在区域 D 内解析，α∈D，只要圆 K：z-α <R 含于 D，则
（f z）在 K 内能展成幂级数
∞
Σn
（f z）= cn（z-α） ，
n=0
乙 其中系数
cn
=
1 2πi
Γρ
f 乙ξ 乙 乙ξ-α 乙n+1
dξ，Γρ :
0＜ρ＜R；n=0，1，2，…，且展式唯一。
ξ-α =ρ，
图1
收稿日期：2008- 09- 25 基金项目：浙江省自然科学基金资助项目（M103069） 作者简介：兰家诚（1964— ），男，浙江龙泉人，教授。
1 z-2
-1 z-2 n=0
1 z-2
=
ΣΣ Σ Σ ∞
∞
1 2
n=0
--1
-n 1 -z-2
-n+1
-
n=0
1 -z-2 -n+1
=
∞
Σ 1
2
n=0
Σ--1
-n +1
Σ1 -z-2
-n+1
=
∞
Σn=0
1 -z-2
-2n+1
。（洛朗级数）
此例的结果说明所给函数在指定区域内的具
体展式与我们最初的判断一致，有兴趣的读者也
（3）圆环 0＜ z-3 ＜2； （4）圆环 2＜ z-3 ＜＋∞；
（5）圆 z-2 ＜1；
（6）圆环 1＜ z-2 ＜＋∞。
解
显然，在
z＝1
和
z＝3
是函数
f
(z)=
(
1 z-1) (
z-3)
的 2 个孤立奇点，所以我们判定函数在以上所给
的（1）～（4）这 4 个解析区域内的展开为洛朗级数
形式，在（5）中的展式为泰勒级数，在（6）中展开为
第 31 卷第 2 期 Vo1 . 31 No. 2
丽水学院学报 J OURNAL OF LISHUI UNIVERSITY
2009 年 4 月 Apr . 2009
解析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定
兰家诚
（丽水学院 数理学院，浙江 丽水 323000）
摘要：对解析函数的展开形式作了深入研究，给出了一种确定展开时是泰勒形式还是洛朗形式
dξ ＜n=0，±1，… ≤，
Γ 为圆周 ξ-α =ρ ＜r＜ρ＜R ≤，并且展式唯一。
从以上 2 个引理及图 1，图 2 我们可以看出：
（1）函数可以展成幂级数或双边幂级数，首先必须
是在其解析区域内。（2）展开形式与展开点有关，
∞
Σ 如在 a 点处展开，其形式为 f ＜z ≤= cn ＜z-α ≤n 或 n=0
=1 2
1- 1 z-1 z-1-2
=
＜ ≤ 1
2
1 z-1
+
1 2
·1 1-（z-1）
2
=
∞
n
＜ ≤ Σ 1 · 1 + 1
2 z-1 4 n=0
z-1 2
=
Σ∞
1· 1 + 2 z-1 n=0
＜z-1
n+2
≤n 。（洛朗级数）
2
（2）在圆环 2＜ z-1
＜＋∞ 内，有
2 z-1
＜1，从而
＜ ≤ ＜ ≤ f ＜z ≤= 1 2
2
1 z-2+1
+
1-
1 -z-2
-=
ΣΣ Σ Σ ∞
∞
1 2
--1 -n -z-2 -n + -z-2 -n =
n=0
n=0
∞
Σ 1
2
Σ--1 -n +1 Σ-z-2 -n =
n=0
∞
Σ -z-2 -2n 。（泰勒级数）
n=0
（6）在圆环 1＜ z-2 ＜＋∞（解析点的多连通解
析区域）内，有
1 z-2
＜1，从而
- - f
-z
-=
1 2
1 z-1
-
1 z-3
=
ห้องสมุดไป่ตู้- - 1
2
1 z-2+1
-
1 z-2-1
=
- - 1
2
1 z-2+1
+
1-
1 -z-2
-=
- - 1
2
1 z-2
· 1+1
1 （z-2）
-
1 z-2
· 1-1
1 （z-2）
=
- - - - -- ∞
n
∞
n
Σ Σ 1
2
1 z-2
n=0
--1
-n
第2期
兰家诚：解析函数的泰勒展式与洛朗展式的确定
13
内，0＜
z-3 2
＜1，
- - f
-z
-=
1 2
1 z-1
-
1 z-3
=
- - 1
2
1 z-3+2
-
1 z-3
=
- - 1
2
1 2
·（z-3）1
2 +1
-1 z-3
=
∞
n
- - Σ 1
4
n=0
-－1
-n
z-3 2
-1· 1 = 2 z-3
Σ∞
n=0
可将此方法应用到其他例子的验证上。
参考文献：
［1］钟玉泉.复变函数论［M］. 第 3 版. 北京：高等教育出版 社，2004.
［2］张忠诚，唐翠娥. 解析函数罗朗展式形式的确定［J］.黄 冈师范学院学报，2003（3）：17- 18.
［3］吴琼，田进誉. 试论解析函数洛朗展开式形式的确定方 法［J］.晋中师范高等专科学校学报，2004（4）：329- 330.
勒展式；若函数在圆周 Γρ 或 Γ 内不解析（即至少
有一个孤立奇点）时，由于负次幂项系数不为零，
则为洛朗展式。
由此，我们可以得到以下结论。
结论 1 解析函数在孤立奇点的去心邻域内
必可展成洛朗级数，在解析点的解析区域内可展
成泰勒级数，而在解析点的包含孤立奇点的邻域
内可展开洛朗级数。
或者我们也可以叙述为：
12
丽水学院学报
2009 年
1,3邻域
Γ：ξ-a =ρ
图2
引理 2 [1（] 洛朗定理） 如图 2，在圆环 H：r＜ z-α ＜R ≤r≥0,R≤＋∞ ≤内解析的函数 f ＜z ＜必可
∞
Σ 展成双边幂级数 f ＜z ＜= cn ＜z-α ＜n ，其中
公式一样
n=－∞
乙 cn
=
1 2πi
Γ
f ＜ξ ≤ ＜ξ-α ≤n+1
1 -1 z-1 z-3
=1 2
1- 1 z-1 z-1-2
=
＜ ≤ 1
2
1 z-1
+
1 z-1
· 1-2
1 （z-1）
=
∞
n
＜ ≤ Σ 1 · 1 - 1
2 z-1 z-1 n=0
2 z-1
=
∞
n
Σ 1 · 1 -
2 z-1 n=0
2 ＜z-1
≤n+1
。（洛朗级数）
（3）在孤立奇点 3 的最大去心邻域 0＜ z-3 ＜2
我们知道复变函数只有在其解析区域内才有 幂级数（或双边幂级数）展开形式,泰勒级数（即幂 级数）是洛朗级数（即双边幂级数）的特殊形式。对 于一个解析函数在指定解析区域内展开具体为何 种形式，若我们一开始就能作出判断，将有助于我 们检验其最终展开形式的正确性。本文将给出这 种判定方法，并以一个具体例子说明此方法的有 效性，首先我们需引入一个定义和两个非常重要 的定理。
-－1
-n
-z-3
n+2
2
-n -
1 2
·z-13
。（洛朗级数）
（4）在圆环 2＜ z-3
＜＋∞ 内，有
2 z-3
＜1，从
而
- - f -z -= 1 2
1 -1 z-1 z-3
=
- - 1
2
1 z-3+2
-
1 z-3
=
- - 1
2
1 z-3
· 1+2
1 -z-3
--
1 z-3
=
Σ - - Σ ∞
n
结论 2 解析函数在孤立奇点的多连通解析
区域内可展成洛朗级数，在解析点的单连通解析
区域内可展成泰勒级数，而在解析点的多连通解
析区域内则展成洛朗级数形式。
以下我们将用一个具体例子对我们的结论加
以说明。
例1
将函数
f ＜z ≤=
＜z-1
1 ≤＜z-3
≤在以下解析
区域内展开：
（1）圆环 0＜ z-1 ＜2； （2）圆环 2＜ z-1 ＜＋∞；
∞
f ＜z ≤=Σcn ＜z-α ≤n ；当 a＝0 时，其形式则为 f ＜z ≤= n=－∞
∞
∞
Σ Σ cn
n
z
或
f
＜z
≤=
n
cn z 。（3）洛朗形式之所以比泰
n=0
n－∞
勒形式多出负次幂项的系数，主要是由函数在 Γρ 或 Γ 内的解析性引起的。若函数圆周 Γρ 或 Γ 内解
析，由于此时负次幂项系数为零，则展开形式为泰
（College of Mathematics and Physics，Lishui University，Lishui Zhejiang 323000，China）
Abstr act：In this paper，we concerned our study on the Taylor and Laurent expansion form of analytic functions and gave a method identifying the Taylor or Laurent form while expansioned. Key wor ds：analytic functions；Laurent expansion；Taylor expansion
Σ 1
2
1 z-3
n=0
-－1
-n
2 z-3
-
1 z-3
=
∞
n-1
Σn=0
--1
-n 2 -z-3
-n+1
-
1 2
·1 z-3
。（洛朗级数）
（5）在圆 z-2 ＜1（解析点的最大单连通域）内
- - f -z -= 1 2
1 -1 z-1 z-3
=
- - 1
2
1 z-2+1
-
1 z-2-1
=
- - 1
的方法。
关键词：解析函数；泰勒展式；洛朗展式
中图分类号：O 174.51
文献标志码：A
文章编号：1008- 6749（2009）02- 0011- 03
Idetifying the Taylor and Laurent Expansion Form of Analytic Function
Lan Jiacheng
洛朗级数。
首先将函数 （f z）分解成部分分式
＜ ≤ （f z）=
1 2
1 z-1
-
1 z-3
，
然后采用间接展开法，利用公式
∞
Σ 1 =
n
z
＜z
＜1 ≤。
1-z n=0
（1）在孤立奇点 1 的最大去心邻域 0＜ z-1 ＜
2 内，0＜
z-1 2
＜1，
＜ ≤ ＜ ≤ f ＜z ≤= 1 2
1 -1 z-1 z-3