沪教版上海高中数学高二上册第七章数学归纳法PPT下载

证明 （Ⅰ）当n=1时，左边=1，右边=12 =1，等式成立。
（Ⅱ）假设当n=k(k 1)时，等式成立，即 1+3+5+ … +（2k-1）=k2 ,
那么当n=k+1时，由假设可知
1+3+5+ … +(2k-1)+ 2 k 1 1
=k2 2 k 1 1 =k2 2k 1 k 12 ,
求证：命题 P(n)(n N ) 皆为真命题。
（Ⅰ）证明：命题P(1)为真命题；（存在性）
（Ⅱ）证明：假设命题 P(k)(k 1)为真命题，那么命题 P(k+1)
也为真命题。（传递性）
根据（Ⅰ）、（Ⅱ），可知对于任何n N ，命 题P(n) 皆为真命题。
例1 证明１+３+５+ ···+（2n–1）=n 2 ，n N .
1 1 4
1 47
1 7 10
…+ 3k
1
23k
1
k, 3k 1
那么当n=k+1时，由假设可知
1 1
4
4
1
7
7
1 10
…
+
3k
1
2
3k
1
3
k
1
1 2 3
k
1
1
k 3k
1
3 k
1
1
2 3
k
1
1
3k 1k 1 3k 13k 4
k 1
3k 1
1
,
故当n=k+1时等式也成立。
根据（Ⅰ)和(Ⅱ），可以得出对于任何n N等式都成立。
1、错； 2、不确定； 3、对； 4、对。
❖共同点：从特殊对象得出一般结论的方法
（特殊 —— 一般）；
不同点：
问题1、2、3：特殊对象的范围“小于”
一般结论的范围；
问题4：
特殊对象的范围“等于”
一般结论的范围。
归纳法 人们对新事物的认识，往往是从对
特殊事物的认识开始的。这种从对特殊事物
的认识，得出一般结论的推理方法叫做归纳 法。
课堂小结
1.通过实例，理解“归纳法”与“完全归纳法”的意义。 2、指出“数学归纳法”当然是一种“完全归纳法”，设计 研究其证明过程三个步骤：“两个证明”、“一个结论”。
3、再进一步从正反两方面研究相互独立的“两个证明”的
作用。第一个证明
，第二个证明
。
4、培养归纳事实、大胆猜想、严密论证的科学思维方法。
1、 数学归纳法用三个步骤证明了无数个命题 P(n)
(n N ) 皆为真命题，请问数学归纳法是不是完全归纳法？
数学归纳法是完全归纳法。穷举法是通常采用的完全 归纳法。数学归纳法用有限实现了无限。
2、数学归纳法第一步证明了命题 P(n)(n N )中的第 几个命题？数学归纳法的第二步了证明命题 P(n)(n N )中 的第几个命题？
（１）若１号牌倒下（倒向所指为排列无限延伸方向，下同），则所有牌皆会倒下。
（在这一系列命题中，存在第一号命题或某一号命题为真。
如果教师已经将班级学生的次序，按其分数由小到大进行了排列（为叙述方便，以序号记学生），则
考察命题到１+一３+５个+ ··真·+（命2n–1题）=n，2 +1故此命？题不具有“命题为真的存在性”，这
（Ⅰ）某一号学生分数 ８０分；某一号牌倒下。
（在这一系列命题中，存在第一号命题或某一 号命题为真。简称为命题为真的存在性。）
（Ⅱ）任一号学生分数 ８０分，皆保证其后一号学生 分数也 ８０分；任一号牌倒下，皆保证其后一
号牌也倒下。（这一系列命题之间满足这样的关 系：前一号命题能将该命题为真的事实传递给下 一号命题。简称为命题为真的传递性。）
请问： 故以上当四个n结=论k正确+吗1？时为什等么?式也成立。
(切记：必须由P(k)成立,推出P(k+1)成立）
（完全归纳法得出的结论一定正确）
这就是说此命题具有“命题为真的传递性”，但因找不 问题 1：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1=1,a2＝1, a3 ＝1, 于是得出数列{an}的通项公式简化为：an＝1。
数学归纳法
问题 1：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计 算得 a1=1,a2＝1, a3 ＝1, 于是得出数列{an}的通项 公式简化为：an＝1。 问题2：教师在班级宣读数学考试成绩，班级共
有学生53名，教师依据学号次序已宣读前50名学
生的分数 ８０分，于是就有学生得出结论：全
任一号牌倒下，皆保证其后一号牌也倒下。
1 k 2 1 2
k+1
1
第二步既没有证明第k个命题，也没有证明第k+1个命题 ，而是证明了一个“以P(k)成立为条件,以P(k+1)成立为结论”的新命题，从而实
=k 2k 11 k 1 1. 现了命题成立的传递性。
2
2
完全归纳法：根据某范围内全部事实，得出该范围内结论的推理方法。
设有无限多块按游戏规则排列的有头无尾的多米诺骨牌，则
（１）若１号牌倒下（倒向所指为排列无限延伸方向，下同）， 则所有牌皆会倒下。
（２）若１０号牌倒下，则１０号及其以后所有牌皆会倒下。
思考：问题２之所以能得出“某一号及其以后所有学生的分数皆
80分”的结论，多米诺骨牌游戏之所以能得出“某一号及其以后
所有牌皆会倒下”的结论，其实质是满足什么条件？
第一步证明了第一个命题P(1)。
第二步既没有证明第k个命题，也没有证明第k+1个命 题 ，而是证明了一个“以P(k)成立为条件,以P(k+1)成立为结 论”的新命题，从而实现了命题成立的传递性。(切记：必 须由P(k)成立,推出P(k+1)成立）
数学归纳法三个步骤可简记为：两个证明、一个结论。
考察命题１+３+５+ ···+（2n–1）=n 2 +1 n N ？
故当n=k+1时等式也成立。
根据（Ⅰ)和(Ⅱ），可以得出对于任何n N等式都 成立。
例2
证明 1 1 4
1 4
7
1 7 10
…+
3n
1
2 3n
1
n 3n
1
(n
N
).
证明（Ⅰ）当n=1时，左边=
1 1
4
1 ，右边 4
3
1 1
1
1 4
，等式成立。
（Ⅱ）假设当n=k(k 1)时，等式成立，即
(3n
1)
n. 3n 1
考察问题２：
如果教师已经将班级学生的次序，按其分数由小到大进行了排 列（为叙述方便，以序号记学生），则
（１）若１号学生的分数 ８０分，则全班５３名学生的分数
皆 ８０分。 （２）若１０号学生的分数 ８０分，则可确定１０号及其以
后共４４名学生的分数皆 ８０分。 考察多米诺骨牌游戏：
5、通过相互独立的“两个证明”，体验在有限中实现无限 的辨证思想方法。
样
“传递性”找不到“着力点”或称为“传递性”没有“基 础”，从而“传递性”对证明原命题为真也就失去了意义。
课堂练习： （1）分别计算数列-1,-1+3,-1+3-5,-1+3-5+7, … 的值； （2）根据（1）的计算，归纳、猜想
an =-1+3-5+ … +(-1)n(2n-1)(n N ) 的表达式； （3）用数学归纳法证明（2）的结论。
班５３名学生的分数都 ８０分。
问题3：三角形内角和为180°，四边形内角和为 2•180°，五边形内 角和为3•180°，于是得出：n 边形内角和为(n-2) • 180°。
问题4：数列{an}为1,2,4,8，于是得出它的通项公式 为an= 2n-1 (n≤4，n∈N )。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖观察以上所用方法的异同点？
归纳法
不完全归纳法 完全归纳法
不完全归纳法：根据部分事实，得出更大范
围结论的推理方法。
（不完全归纳法得出的结论不一定正确）
完全归纳法：根据某范围内全部事实，得出
该范围内结论的推理方法。
（完全归纳法得出的结论一定正确）
例1 我们注意到 １＝ 12 １+３＝２2 １+３+５＝３2 １+３+５+７＝４2
于是猜想１+３+５+ ···+（2n–1）=n 2 .
例２ 我们注意到
1 1, 14 4
1 1 2, 14 47 7
1 1 1 3, 1 4 4 7 7 10 10
1 114
1 47
1 7 10
（3n
1 2)
假设当n=k时，等式成立，即
１+３+５+ … +（2k-1）=k2 1
则当n=k+1时，由假设可知 归纳法 人们对新事物的认识，往往是从对特殊事物的认识开始的。
皆为真命题，请问数学归纳法是不是完全归纳法？
求证：命题
皆为真命题。
1+3+5+ +（2k-1）+ 2 k+1 … 完全归纳法：根据某范围内全部事实，得出该范围内结论的推理方法。