2024届河南省淮阳县第一高级中学数学高一下期末复习检测试题含解析

2024届河南省淮阳县第一高级中学数学高一下期末复习检测试
题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在三棱柱111ABC A B C -中，已知
1AA ABC ⊥平面,12,23,2
AA BC BAC π
==∠=
，此三棱柱各个顶点都在一个球面
上，则球的体积为（ ）. A ．
323
π
B ．16π
C ．
253
π
D ．
312
π
2．在等差数列中，若
.，则
（ ）
A ．100
B ．90
C ．95
D ．20
3．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若b α⊂，//c α，则//c b B ．若b α⊂，//b c ，则//c α C ．若c α⊂，αβ⊥，则c β⊥
D ．若c α⊂，c β⊥，则αβ⊥
4．已知扇形的半径为R ，面积为22R ，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．3
B ．23
C ．2
D ．4
5．已知点(,0,2)A x 和点(2,3,4)B ，且22AB =，则实数x 的值是（ ） A ．5或-1
B ．5或1
C ．2或-6
D ．-2或6
6．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为（ ）
A ．
18
B ．
79
C ．
29
D ．
716
7．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，
AE PC ⊥垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A ．BC ⊥平面PAC
B ．AE EF ⊥
C ．AC PB ⊥
D ．平面AEF ⊥平
面PBC
8．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1
c a
+( ) A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2 9．已知角终边上一点，则
的值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知在三角形ABC 中，2AB BC AC ===，、、A B C 点都在同一个球面上，此球面球心O 到平面ABC 的距离为26
3
，点E 是线段OB 的中点，则点O 到平面AEC 的距离是（ ）
A ．
33
B ．
63
C ．
12
D ．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．如图所示，梯形ABCD 中，BC CD ⊥，AE DC ⊥于E ，M ，N 分别是AD ，AC 的中点，将四边形ABCE 沿AE 折起（不与平面ADE 重合）
，以下结论①//MN 面DEC ；②AE MN ⊥；③//MN AB ．则不论ABCE 折至何位置都有_______．
12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，3225铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．
13．设1e ，2e 为单位向量，其中122a e e =+，2b e =，且a 在b 方向上的射影数量为2，则1e 与2e 的夹角是___．
14．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222()tan 3b c a A bc +-=，
则角A 的大小为为____．
15．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2
123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，则35a a +等于
_____.
16．若函数()3cos f x x x =-，[0,]x m ∈3，则m 的值是________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()4sin cos()33
f x x x π
=-
（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若方程()f x m =在
5,
23ππ
（）有两个不同的实根，求m 的取值范围．
18．如果定义在R 上的函数()f x ，对任意的x ∈R ，都有()()f x f x -≠-， 则称该函数是“β函数”．
（I ）分别判断下列函数：①2x y =；②21y x =+； ③2
23y x x =--，是否为“β函
数”？（直接写出结论）
（II ）若函数()sin cos f x x x a =++是“β函数”，求实数a 的取值范围．
（III ）已知2+1,(),x x A
f x x x B
⎧∈=⎨∈⎩是“β函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合
A 与B
19．已知函数()2
()sin 22cos 16y f x x x π⎛⎫
==+
+- ⎪⎝
⎭
.
（1）求函数()y f x =的值域和单调减区间； （2）已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，且1cos 3B =，1
()22
C f =，求sin A 的值. 20．若函数()f x 满足()32
f x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
且()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫
+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则称函数()f x 为“M 函数”． （1）试判断()4
sin
3
f x x =是否为“M 函数”，并说明理由； （2）函数()f x 为“M 函数”，且当,4x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调递增区间； （3）在(2)的条件下，当()3,22k x k N πππ⎡⎤
∈-
+∈⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()S k ．
21．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知6AB AC ⋅=，ABC S ∆=(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)设点M 满足2B M M C =，求线段AM 长度的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
试题分析：直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以ABC
∆中，
2
BAC π
∠=，所以下底面ABC ∆的外心P 为BC 的中点，同理，可得上底面111
A B C ∆的外心Q 为11B C 的中点，连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC ，再取
PQ 的中点O ，可得点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等，
所以O 点是三棱柱111ABC A B C -的为接球的球心，因为直角POB ∆中，
111
3,122
BP BC PQ AA =
===，所以222BO BP OP =+=，即外接球的半径2R =，因此三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为33
44322333
V R πππ==⨯=，故
选A.
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 2、B 【解题分析】
利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.
【题目详解】 数列
为等差数列，
，
.
【题目点拨】
考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题. 3、D 【解题分析】
对选项进行一一判断，选项D 为面面垂直判定定理. 【题目详解】
对A ，c 与b 可能异面，故A 错；对B ，c 可能在平面α内；
对C ，c 与平面β可能平行，故C 错；对D ，面面垂直判定定理，故选D.
【题目点拨】
本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可. 4、D 【解题分析】
利用扇形面积，结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数α的方程，即可解得. 【题目详解】
解：设扇形圆心角的弧度数为α，
因为扇形所在圆的半径为R ，且该扇形的面积为22R ， 则扇形的面积为221
22
S R R α=⨯=， 解得：4α=. 故选：D. 【题目点拨】
本题在已知扇形面积和半径的情况下，求扇形圆心角的弧度数，着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题. 5、A 【解题分析】
根据空间中两点间距离公式建立方程求得结果. 【题目详解】
AB =
=
=解得：5x =或1- 本题正确选项：A 【题目点拨】
本题考查空间中两点间距离公式的应用，属于基础题. 6、C 【解题分析】
方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块，由几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【题目详解】
由图形可知，方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块， 由几何概型的概率公式可知，小狗最终停在涂色方砖的概率为2
9
，故选：C. 【题目点拨】
本题考查利用几何概型概率公式计算事件的概率，解题时要理解事件的基本类型，正确选择古典概型和几何概型概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 7、C 【解题分析】
根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC 选项，由面面垂直的判定可判断D. 【题目详解】
对于A ，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，而BC ⊂底面圆面，则PA BC ⊥， 又由圆的性质可知AC BC ⊥，且=PA AC A ∩， 则BC ⊥平面PAC .所以A 正确；
对于B ，由A 可知BC AE ⊥，由题意可知AE PC ⊥，且BC PC C ⋂=，所以AE ⊥平面PCB ，而EF ⊂平面PCB ，所以AE EF ⊥，所以B 正确；
对于C ，由B 可知AE ⊥平面PCB ，因而AC 与平面PCB 不垂直，所以AC PB ⊥不成立，所以C 错误.
对于D ，由A 、B 可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PCB ，由面面垂直的性质可得平面AEF ⊥平面PBC .所以D 正确； 综上可知，C 为错误选项. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题. 8、D 【解题分析】 由题意得111111
()()()2226a b c a b c b c a a b c
+
++++=+++++≥++=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立， 所以111
,,a b c b c a
+++至少有一个不小于2，故选D. 9、A 【解题分析】 角终边上一点
，所以
. .故选A.
10、D 【解题分析】
利用数形结合，计算球的半径，可得半径为2，进一步可得该几何体为正四面体，可得
结果. 【题目详解】 如图
据题意可知：、、A B C 点都在同一个球面上 可知'O 为ABC 的外心，故球心O 必在过'O 且垂直平面ABC 的垂线上 因为2AB BC AC ===， 所以2323
'23O C =
⨯=
球心O 到平面ABC 的距离为
26
3
即6'3OO =
，又2323
'2323
O C =⨯⨯=
所以()
2
2'2OC OO OC =
+=
同理可知：2OA OB == 所以该几何体为正四面体， 由点E 是线段OB 的中点 所以,OE AE OE CE ⊥⊥，AE
CE E =
且,AE CE ⊂平面AEC ，故OE ⊥平面AEC 所以点O 到平面AEC 的距离是1OE = 故选：D 【题目点拨】
本题考查空间几何体的应用，以及点到面的距离，本题难点在于得到该几何体为正四面体，属中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、①② 【解题分析】
根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假． 【题目详解】
作出折起后的几何图形，如图所示：．
因为M ，N 分别是AD ，AC 的中点，所以MN 是ACD 的中位线，所以//MN CD ． 而MN ⊂面CDE ，所以//MN 面DEC ，①正确；无论怎样折起，始终有
,AE DE AE CE ⊥⊥，所以AE ⊥面DEC ，即有AE CD ⊥，而//MN CD ，所以
AE MN ⊥，②正确；折起后，M ∉面ABCE ，N ∈面ABCE ，且N AB ∉，故MN
与AB 是异面直线，③错误． 故答案为：①②． 【题目点拨】
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题． 12、15 【解题分析】
根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出PAB ∆的边长为a ，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为h ，用h 表示出水的体积，由
=+V V V 锥球水即可求得液面高度.
【题目详解】
3225，所以由球的体积公式可得3
43003V R ππ==球， 设PAB ∆的边长为a ，则由面积公式与内切圆关系可得23113225sin 223
a a π
⨯=，
解得33225a =，则圆锥的高为33225
则圆锥的体积为(
)()
2331
322532256753
V ππ=⋅⋅
⨯⋅⨯=锥，
设拿出铁球后的水面为EF ，且P 到EF 的距离为h ，如下图所示：
则由PH h =，可得3
EH =
, 所以拿出铁球后水的体积为2
313339V h h h ππ⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
水，
由=+V V V 锥球水，可知3675=300+
9
h π
ππ，
解得15h =，即将铁球取出后容器中水的深度为15. 故答案为：15. 【题目点拨】
本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题. 13、
3
π
【解题分析】
利用a 在b 方向上的射影数量为2可得：2a b
b =⋅，即可整理得：1212
e e ⋅=， 问题得解. 【题目详解】
因为a 在b 方向上的射影数量为2， 所以
2a b b
=⋅，整理得：()
21222
22e e e e +⋅=
又1e ，2e 为单位向量， 所以121
2
e e ⋅=
. 设1e 与2e 的夹角θ，则1212
1cos 2
e e e e θ⋅=
=
⋅
所以1e 与2e 的夹角是3
π 【题目点拨】
本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题. 14、
6
π
【解题分析】
由(
)
222
tan b c a A bc +-=，两边同除以2bc 得2221
tan 22
b c a A bc +-=，由余弦定理
可得cos tan A A ⋅=1
1sin ,2
A A ⇒=
是锐角，6
A π
∴=
，故答案为
6
π. 15、
6116
【解题分析】
可以利用前n 项的积与前1n -项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案. 【题目详解】
由题意知，数列{}n a 中，11a =，且2
123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=， 则当2n =时，2
1224a a ⋅==；
当3n =时，2
12339a a a ⋅⋅==，
则1233129
4
a a a a a a ⋅⋅=
=⋅，
当4n =时，2
1234416a a a a ⋅⋅⋅==； 当5n =时，2
12345525a a a a a ⋅⋅⋅⋅==，
则123455123425
16
a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅，
所以3592561
41616
a a +=+=. 【题目点拨】
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
2
π 【解题分析】
利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由x 的范围可得6
x π
-
的范围，根据()f x 最大值可得m 的值.
【题目详解】
∵函数()cos f x x x =-＝2（1
sin cos 22
x x -）＝2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，
∵[0,]x m ∈，∴6
x π
-∈[6
π-
，6m π
-]，又∵()f x
所以sin 6y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
6m π-=3π，解得2m π=.
故答案为
2
π 【题目点拨】
本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）最小正周期π，5[],1212
k k k Z π
π
ππ-++∈，； （2）(2,0]2)-⋃. 【解题分析】
（1）利用两角差的余弦公式、倍角公式、辅助角公式得()sin()f x x π
=-223
，求得周
期；
（2）利用换元法令23
t x π
=-
，将问题转化成方程2sin t m =在2(
,3)3
t π
π∈有两个不同的实根，再利用图象得m 的取值范围. 【题目详解】
（1）()4sin cos()3f x x x π
=-
14sin (cos )2x x x =+-
22sin cos x x x =+sin 22x x =2sin(2)3
x π
=-
，
所以()f x 的最小正周期22
T π
π==， 由222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈得：
5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈， 所以()f x 的单调递增区间是5[],1212
k k k Z π
π
ππ-
++∈，. （2）令23
t x π
=-
，因为x ∈
5,
23ππ
（），所以2(
,3)3
t π
π∈， 即方程2sin t m =在2(
,3)3
t π
π∈有两个不同的实根，
由函数2sin y t =的图象可知，当(2,0]2)m ∈-⋃时满足题意，
所以m 的取值范围为(2,0]2)-⋃. 【题目点拨】
第（1）问考查三角恒等变换的综合运用；第二问考查换元法求参数的取值范围，注意在换元的过程中参数2(
,3)3
t π
π∈不能出错，否则转化后的问题与原问题就不等价. 18、（I ）①、②是“β函数”，③不是“β函数”; （II ）a 的取值范围为
(,1)(1,)-∞-+∞;
（III ）[)0,A =+∞，(,0)B =-∞ 【解题分析】
试题分析：（1）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β 函数”，③不是“β函数”；（2）由题意，对任意的x ∈R ，f （﹣x ）+f （x ）≠0，故f （﹣x ）+f （x ）=2cosx+2a 由题意，对任意的x ∈R ，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx 即可得实数a 的取值范围（3）对任意的x≠0，分（a ）若x ∈A 且﹣x ∈A ，（b ）若x ∈B 且﹣x ∈B ，验证。

（I ）①、②是“β函数”，③不是“β函数”．
（II ）由题意，对任意的x R ∈，()()f x f x -≠-，即()()0f x f x -+≠． 因为()cos f x sinx x a =++，所以()sin cos f x x x a -=-++． 故()()22f x f x cosx a +-=+．
由题意，对任意的x R ∈，2cos 20x a +≠，即cos a x ≠-． 故实数a 的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞． （Ⅲ）（1）对任意的0x ≠
（a ）若x A ∈且x A -∈，则x x -≠，()()f x f x -=，这与()y f x =在R 上单调递增矛盾，（舍），
（b ）若x B ∈且x B -∈，则()()f x x f x -=-=-，这与()y f x =是“β函数”矛盾，（舍）．
此时，由()y f x =的定义域为R ，故对任意的0x ≠，x 与x -恰有一个属于A ，另一个属于B ．
（2） 假设存在00x <，使得0x A ∈，则由002x x <
，故()002x f x f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
． （a ）若02
x
A ∈，则
()2
200001124x x f x f x ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭
，矛盾，
（b ）若
2x B ∈，则()200000122x x f x f x ⎛⎫=<<+= ⎪⎝⎭
，矛盾．
综上，对任意的0x <，x A ∉，故x B ∈，即(),0B -∞⊆，则()0,A +∞⊆． （3）假设0B ∈，则()()000f f -=-=，矛盾．故0A ∈ 故[
)0,A =+∞，(),0B =-∞．
经检验[
)0,A =+∞，(),0B =-∞．符合题意
点睛：此题是新定义的题目，根据已知的新概念，新信息来马上应用到题型中，根据β 函数的定义即函数没有关于原点对称的部分即可，故可以从图像的角度来研究函数；第三问可以假设存在，最后推翻结论即可。

19、（1）()[1]f x ∈，7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）sin A =
. 【解题分析】
（1）将函数化简()213f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，利用三角函数的取值范围的单调性得到
答案.
（2
）通过函数计算sin 3
B =，3
C π=，再计算sin sin()A B C =+代入数据得到
答案. 【题目详解】
（1）
∵3()2cos 212123f x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝
⎭且sin 2[1,1]3x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭
∴故所求值域为()[1]f x ∈- 由
3222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈得： 所求减区间：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
； （2）∵,,A B C 是ABC ∆的三个内角，1cos 3B =
，∴sin 3
B ==
∴又1212232C C f π⎛⎫⎛⎫=⨯+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
又∵4,333
C π
ππ
⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
， ∴3
C π
=
,
故11sin sin()sin cos cos sin 32326
A B C B C B C =+=+=
+⨯=
,
故sin 6
A =
. 【题目点拨】
本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.
20、（1）不是“M 函数”；（2）,42ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（3）()(
)
(
)
(
)
2
22341,(01)223341,43411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪
⎪⎩
.
【解题分析】
()1由不满足()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫
+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得()4sin 3f x x =不是“M 函数”， ()2可得函数()f x 的周期32T π=，()()2f x f x x R π⎛⎫
=
-∈ ⎪⎝⎭
， ①当3
3
,2
42x k k ππππ⎡⎤∈+
+⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
()3由()2可得函数()f x 在,2π
π⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
上的图象，根据图象可得：
①当0a ≤<
或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π
②当a =
()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．
③当
12
a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π 即可得当()3,22k x k N πππ⎡⎤
∈-+∈⎢⎥⎣⎦
时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ， 【题目详解】
()()4
1sin
3
f x x =不是“M 函数”． 44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫
∴+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()4
sin
3
f x x ∴=不是“M 函数”．
()2函数()f x 满足()32f x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，∴函数()f x 的周期32T π=
()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2f x f x x R π⎛⎫
∴=-∈ ⎪⎝⎭
， ①当3
3
,2
42x k k ππππ⎡⎤∈+
+⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
()333,22224333,2242cos x k k x k f x sin x k k x k ππππππππππ⎧⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎩，
在30,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； ()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象为：
①当2
02
a ≤<
或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π.
②当2
2
a =
时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．
③当
2
12
a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π ∴当()3,22k x k N πππ⎡⎤
∈-+∈⎢⎥⎣⎦
时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和
为()S k ，
则()(
)
(
)
(
)
2
22
341,(01)23341,42341,12k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪
=++=⎨⎪
⎪++<<⎪
⎪⎩
． 【题目点拨】
本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题． 21、 (Ⅰ) A =3
π
(Ⅱ
) )
⎡+∞⎣ 【解题分析】
（I ）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得tan A ，从而得A 角； （II ）由2BM MC =得12
33
AM AB AC =
+，平方后可求得AM ，即中线长，结合222(2)440c b c bc b -=-+≥可得最小值，从而得取值范围．
【题目详解】
(Ⅰ)因为6AB AC ⋅=，所以cos 6bc A =
因为ABC S ∆=
sin bc A =
两式相除得tan A = 所以A =
3
π
(Ⅱ)因为A =
3
π
，所以12bc = 因为2BM MC =，
所以12
33AM AB AC =
+ 所以2222
11(2)(44)99AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅
所以222
11(424)(424)899
AM c b bc =++≥+=．
当且仅当2c b =时取得等号
所以线段AM
长度的取值范围时)
⎡+∞⎣. 【题目点拨】
本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是
把中线向量AM表示为1
()
2
AB AC
，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量
积．。