高三数学-2018年长沙市一中高三数学(文理)综合测试题(

2018年长沙市一中高三数学（文、理）
综合测试题（二）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1．集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，映射f ：A →B ，使B 中有且只有一个元素在A 中的原象为2个，这样的映射f 的个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
2．已知直二面角α-l -β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么（ ）
A ．a 与b 可以垂直，但不可以平行
B ．a 与b 可以垂直，也可以平行
C ．a 与b 不可以垂直，不可以平行
D ．a 与b 不可以垂直，但可以平行
3．某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 也为确定的常数的
是（ ） A ．S 17
B ．S 15
C ．S 8
D ．S 7
4．给定两个向量=（3,4），=（2,1），若+x ⊥-，则x =（ ） A ．-3
B ．
2
3
C ．3
D ．-
2
3 5．下面三个论断：①命题“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“若a +b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”；②命题“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”是命题“若x 2+y 2≠0，则x ，y 不全为0”的否命题；③条件p : |x +1|＞2，条件q : 5x –6＞x 2，则﹁p 是﹁q 的必要不充分条件.其中正确论断的个数是（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 6．已知（x ，y ）是右图中阴影部分内的点（含边界），若使目 标函数z =ax +y （a ＞0）取最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为（ ） A ．
5
3
B ．
4
1 C ．35
D ．4
7．已知直线kx y l =:和圆9)4()2(:2
2=-+-y x c ，若圆c
上存在四个不同的点到直线l 的距离都是1，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．),43(+∞-
B ．),43(+∞
C ．)43,(-∞
D ．)4
3,0()43,(⋃--∞
8．（理）若43
4
2lim 222=--+→x ax x x ，则a 的值是（ ） A ．0
B ．1
C ．-1
D ．
2
1
（文）在(1+x )n 的展开式中，奇数项之和为A ，偶数项之和为B ，则(1-x 2)n 的值为（ ） A ．0
B ．A ·B
C ．A 2-B 2
D ．A 2+B 2
9．（理）甲有1只放有x 个红球，y 个白球，z 个黄球的箱子（x ≥0，y ≥0，z ≥0，x +y +z =6），乙有1只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定当两球同色时甲胜，异色时乙胜.并规定甲同取红、白、黄色球而胜的得分依次为1,2,3，则甲得分的期望的最大值是（ ） A ．
2
1
B ．
4
3 C ．
5
4 D ．
5
2 （文）已知总体的个数是1013，现用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则首先应从总体中剔除（ ）个个体（利用随机数表），然后再按系数抽样的方法进行，在整个过程中每个个体被抽到的概率是（ ）
A ．3，
101050
B ．3，
1013
50
C ．13，
101050 D ．13，101350
10．函数y =a sin x +3a cos x 的图象与|y |=2的图象在[3
2,3π
π-]上有且只有两个不同的公
共点，则（ ） A ．|a |≥1
B ．|a |＞1
C ．|a |≥2
D ．|a |＞2
11．将一张画有直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（-2，
4）重合，若点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m +n 的值为（ ） A ．10
B ．4
C ．-4
D ．-10 12．如右图，棱长为1的正方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
在A 1B ，A 1B 1，B 1C 1的中点E ，F ，G 处各有一小孔. 若此容器可以任意放置，小孔面积对容积影响忽略不 计，则最大容水量等于（ ） A ．
56
55
B ．
48
47 C ．
12
11 D ．
8
7 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.） 13．某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成本500万元与年广告成本200
万元两部分.若利润的P %为国税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P %
1 A 1 A
.
14．已知F 1，F 2为椭圆E 的左，右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为E 与C
的交点，若椭圆的离心率为e .且|1|=e |2PF |，则e =
. 15．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积为
.
16．给出下列几个命题：（1）若|a ·b | = |a |·|b |，则a ∥b ；（2）平面α，β，直线a ，
b .若a ⊂β，a ∥α，α⋂β=b ，且a 在平面α内的射影为a '，则a '∥b ；（3）AB =a ，
c BC =，b CA =.若|a |=5，|b |=8，|c |=7，则a ·b =20；
（4）s n 为等差数列{a n }的前n 项和，若s 6＜s 7，s 7＞s 8，则s 9＜s 6；（5）若凸多面体各个面都是六边形，则2F =V -2.其中真命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
设直线l 1的方向向量是a =（1+cos α，sin α），α∈（0，π），直线l 2的方向向量为b =（1-cos β，sin β），β∈（π，2π），直线l 3的方向向量为c =（1，0）.若l 1与l 3的夹角 为1θ，l 2到l 3的角为2θ，且6
21π
θθ=-，求sin(4
β
απ-+
)的值.
18．（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2
1
AB ，
点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点.过点A 1，B ，M 三点 的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N .
（1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （2）求二面角B -A 1N -B 1的正切值.
A
19．（本小题满分12分）
设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6，a 2=b 2=4，a 3=b 3=3，且数列{a n +1-a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n -2}是等比数列.
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2） 是否存在k ∈N *，使a k -b k ∈（0，2
1
）？若存在，求出k 值；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
（理）计算机中用的是二进制数，只用两个数码：0和1.如二进制数中110101=1×25+1×
24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制中的53.在制造电子计算机时，每个数码要用一个设备，如果用n 进制，每一位有n 个数码.在计算机中表示m 位n 进制数就要用m ×n 个设备.设计算机能表示的最大数为M （使用数制为n （n ≥2）进制）时，设备量为G .
（1）如果在机器中要表示m 位n 进制数，试写出M ，m ，n 的关系式； （2）把G (n )看作n 的函数，M 作为常数，写出这个函数式；
（3）计算G (2)，G (3)，G (4)，G (5)各等于多少个lg (M +1) (lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)； （4）当M 给定，选取n 为多少时，才能使设备总量G 最小，并加以证明.
（文）一袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0
分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分. （1）求得到2分的概率； （2）求最多得几分的概率为36
35
？
21．（本小题满分12分） （理）已知点P （-3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，
且满足⋅=0，-
=2
3
. （1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C ；
（2）设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n 交l 于点E ，问点E 、O 、H （O 为原点）是否在同一条直线上？并说明理由.
（文）已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 在x =3
2
-
和x =1处都取得极值. （1）求a ，b 的值；
（2）若x ∈[-1，2]时，不等式f (x )＜c 2恒成立，求实数c 的取值范围.
22．（本小题满分14分） （理）设函数f (x )=(1+x )2-ln (1+x )2.
（1）求函数f (x )的单调区间； （2）若x ∈[
1,11
--e e
]时，不等式f (x )＜m 恒成立，求实数m 的取值范围； （3）关于x 的方程f (x )=x 2+x +a 在[0，2]上恰有两个相异实根，求a 的取值范围. （文）已知点P （-3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，
且满足0=⋅，-
=2
3
. （1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G 、H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n 交l 于点E ，问点E 、O 、H （O 为原点）是否在同一条直线上？并说明理由.
参 考 答 案
一、1．C
2．D 3．B 4．A
5．C
6．A
7．B
8．C
9．D
10．B
11．A
12．D 二、13．25%
14．
3
3 15．
938或9
3
4 16．（1）（4）（5）
三、17．由题意得2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin 2
1ααα
α
α
α
==
+=
l k ， ∵l 3的方向向量=（1，0），∴3l k =0，∴l 1与l 3的夹角为tan θ1=|tan 2
α
|，而),0(πα∈，∴2
1α
θ=
…………（4分） 又3l k =
2
cot cos 1sin β
ββ=-，l 2到l 3的角tan 2θ=2cot β-.
∵)2,(ππβ∈，∴2
2
2π
β
θ-
=…………（8分）
∵621π
θθ=
-，∴
6)22(
2π
π
β
α
=
-
-，即
3
2π
β
α-
=-.
∴2
1
)6sin(4sin )4sin(=--=--=-+πβαβαπ…………（12分） 18．（1）取A 1B 1的中点，连EF ，C 1F ，∵E 为A 1B 的中点，∴EF ∥12
1
BB ………（2分）
又M 为CC 1的中点.∴EF ∥C 1M .EFC 1M 为平行四边形，∴EM ∥FC 1………（4分） ∵EM ⊂面A 1C 1，FC 1⊂面A 1C 1，∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1…………（6分）
（2）由（1）EM ∥面A 1C 1，EM ⊂面A 1BMN ，面A 1BMN ∩面A 1C 1=A 1N ，∴A 1N ∥EM ∥FC 1，∴N 为C 1D 1中点.过B 1作B 1H ⊥A 1N 于H ，连BH ，据三垂线定理BH ⊥A 1N ，∠BHB 1即为二面角B -A 1N -B 1的平面角…………（8分）
设AA 1=a ，则AB =2a ，A 1N =a 5，由△A 1B 1H ∽NA 1D 1得B 1H =
5
4a .在Rt △BB 1H 中，
tan ∠BHB 1=
4
5
1=
H B BB .所求正切值为45…………（12分）
19．（1）由已知a 2-a 1= -2，a 3 – a 2= –1，∴a n +1 – a n =(a 2 – a 1)+(n –1)·1=n – 3.n ≥2时，a n =(a n
–a n -1)+(a n -1–a n -2)+…+(a 3–a 2)+(a 2–a 1)+a 1= (n –4)+(n –5)+…+(–1)+(–2)+6=218
72+-n n .
n =1也合适，∴a n =2
18
72+-n n …………（3分）
又b 1–2=4，b 2–2=2，∴b n –2=(b 1–2)·(21)n –1=4·(21)n –1.∴b n =2+(2
1
)n –3.……（6分） （2）设f (k )=a k -b k =2
1k 2 -k
k k k )21(887)27(21)21.(87272⋅-+-=-+.
当k ≥4时，f (k )为增函数，而f (4)=2
1
.又f (1)=f (2)=f (3)=0，∴不存在k ，使f (k )∈
(0, 2
1
)…………(12分).
20．（理）（1）M =n m -1…………（3分）.
（2）由（1）得n m =M +1.取对数得m lg n =lg （M +1）.∵G =mn ， ∴G (n )=lg(M +1) ·
n
n
lg …………（5分） （3）G (2)≈6.7lg(M +1)，G (3) ≈6.3lg(M +1)，G (4)=G (2) ≈6.7lg(M +1)， G (5) ≈7.11lg(M +1)…………（7分）
（4）由（3）猜想G (3)最小，用数学归纳法证明如下. 1°当n =3时，G (3)＜G (4)，命题成立.
2°假设n =k (k ∈N *，k ＞3)时命题成立，即G (k )＜G (k +1) lg(M +1)·
k
k
M k k lg )1lg()1lg(1+-++＞0.
∴(k +1)lg k -k lg(k +1) ＞0，即k k k k
⋅+)1
(
＞1. ∵21++k k ＞1+k k ,∴)1()21(1+⋅+++k k k k ＞)
2()1()1(2)1()1(2
2++⋅
⋅+=++⋅+k k k k k k k k k k k k ＞)
2()1(2
++k k k ＞1.即lg(M +1))2lg(2++⋅k k ＞lg(M +1)).1lg(1++⋅k k
即G(k +2)＞G (k +1). ∴n =k +1时命题也成立.
（文）（1）“取2个球得2分”，有一黑一红，2个白球，两种情况，
∴取2个球得2分的概率P =.361129
231214=+c c c c …………（6分） （2）取2个球的最高得分为4分，概率为36129
22=c c ， ∴取2个球最多得3分的概率为36
353611=-
.…………（12分） 21．（理）（1）设点M (x ,y )，由23-=MQ ，得).2
1,0(y A - ∴=)2,3(y -，=).23,(y x ∵0=⋅，∴y 2=4x （x ＞0） 动点M 的轨迹是以原点为顶点，焦点在x 轴上，开口向右的抛物线(不合顶点)（6分）
（2）设过F (1,0)的直线m 的倾角为α.
若α=90°，直线m 的方程为x =1，G 与H 的坐标分别为(1,-2),(1,2).此时直线n 的方程为y =-2，E 点坐标为（-1，-2）, ∴E ,O ,H 在同一直线上…………（8分）
若α≠90°，设m 的方程为y =k (x –1)，即x = 1+k
y ，代入y 2=4x ，得y 2 –044=-y k .设G ),,4
(),,4(222121y y H y y 则y 1y 2= -4，直线n 的方程为y =y 2，E 点坐标为(-1,y 2). ∴k OE = -y 2, ,44212112
11y y y y y y y k OH -=-=== ∴E 、O 、H 在同一条直线上…………（12分）
（文）（1）∵b ax x x f ++='23)(2. ∴0)3
2(2943)32(=+-+⨯=-'b ax f ① 又f (1) = 3+2a +b =0 ②. 由①，②解得2,2
1-=-=b a …………（6分） （2）只须求出f (x)在[-1,2]上的最小值. ∵,23)(2--='x x x f 由)(x f '＞0得x ＜
32-或x ＞1，)(x f '＜0得3
2-＜x ＜1. ∴f (x )在[)32,1--和（1,2]上为增函数，在(1,3
2-)上为减函数…………（10分） 又)3
2(-f ＜f (2)，∴x =2时[f (x )]max =8+4a +2b +c =2+c .
∴f (x )＜c 2,即2+c ＜c 2恒成立，解得c ＜-1或c ＞2.
故c 的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）.
22．（理）（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞） 由1
)2(2]11)1[(2)(++=+-
+='x x x x x x f ＞0得-2＜x ＜-1或x ＞0. 由)(x f '＜0得x ＜-2或-1＜x ＜0. ∴递增区间是（-2，-1），（0，+∞）；递减区间是（-∞，-2），（-1，0）……（4分）
（2）由01
)2(2)(=++=
'x x x x f 得x =0或x = -2. 由（1）知f (x )在]0,11[-e
上递减，在[0，e -1]上递增……（6分） 又,2)1(,21)11(22-=-+=-e e f e e f 且22-e ＞212+e
, ∴]1,11[--∈e e x 时，.2)]([2max -=e x f 故m ＞e 2-2时，不等式f (x )＜m 恒成立.…………（8分）
（3）方程f (x )=x 2+x +a ，即x -a +1-ln(1+x )2=0.
记2)1ln(1)(x a x x g +-+-=，则.1
1121)(+-=+-='x x x x g 由)(x g '＞0得x ＜-1或x ＞1，由)(x g '＜0得-1＜x ＜1.
∴g (x )在[0,1]上递减，在[1,2]上递增……（10分）
为使a x x x f ++=2)(在[0,2]上恰好有两个相异实根，只须g (x )=0，在[0,1)和（1，2]各有一个实根.于是有： g (0)≥0,
g (1)＜0, 解得2-2ln2＜a ≤3-2ln3.
g (2)≥0. 所求a 的范围是(2-2ln2,3-2ln3).
（文）同理科21题.。