第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)

第06讲拓展一：平面向量的拓展应
用(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
例题1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练习）已知向量(),2= a m ，()2,1b =r
，则“1m >-”是“a ，b
夹角为锐角”的（
）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由题设，||||cos ,22a b a b a b m ⋅=<>=+
，当1m >-时，,[0,
)2
a b π
<>∈
，注意可能a,b 0<>= ，故充分性不成立；当a ，b
夹角为锐角时，220m +>，即1m >-，故必要性成立；
故选：B
例题2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知向量()2,a m = ，()3,1b =r ，若向量a ，b
的
夹角是锐角，则m 的取值范围是（）
A．()6,-+∞B．2,3⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭
C．226,,33-+⎛⎫∞⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
D．226,,33--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝-∞⎝+⎭⎭
【答案】C
因为()2,a m =
，()3,1b =r ，
所以6a b m ⋅=+
，
因为向量a ，b 的夹角是锐角，所以60230
a b m m ⎧⋅=+>⎨-≠⎩
，解得6m >-，且2
3m ≠．
所以，实数m 的取值范围是226,,33⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-∞⎭
+.
故选：C
例题3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练习）设()3,2P --，(),2Q x ，则OP 与OQ
的夹
角为钝角时，x 的取值范围为___________.
【答案】4
(,3)(3,)
3
-+∞ 因为()3,2P --，(),2Q x ，所以(3,2),(,2)OP OQ x →
→
=--=，
当OP 与OQ 的夹角为钝角时，340OP OQ x →→
⋅=--<，
解得：4
3
x >-，
当OP 与OQ
反向共线时，(3,2)(,2),(0)k x k --=<，解得1k =-，3x =,
所以x 的取值范围为4
(,3)(3,)
3-+∞ 故答案为：4
(,3)(3,)
3
-+∞ 题型归类练
1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知(1,2)=- a ，(1,)b λ= ，且a 与b
的
夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是（）
A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭B ．112,22⎛⎫⎛⎫
-⋃+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
C ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭D ．1(,2)2,2⎛
⎫-∞-⋃- ⎪
⎝
⎭
【答案】D
由a 与b 的夹角θ为锐角知0a b ⋅> 且a 与b 不共线，即120λ->且2λ≠-，即1
2
λ<且
2λ≠-.
故选：D.
2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量()()23,,2a b x ==
，
，则“a 与b 的夹角为锐角”是“3x >-”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为a 与b 的夹角为锐角，则
cos ,0a b > 且a 与b
不共线.cos ,0a b > 时，2603a b x x ⋅=+>⇒>-
，
当//a b 时4343
x x =⇒=，
则a 与b 不共线时，43
x ≠，
所以a 与b 的夹角为锐角的充要条件是{|3x x >-且4}3
x ≠，
显然{|3x x >-且4
}3
x ≠是{|3}x x >-的真子集，
即“a 与b
的夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件，A 正确.
故选：A
3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知()1,1()2,,a b λλ=-=- ，若a 与b
的夹
角为钝角.则实数λ的取值范围为______________.
【答案】2
3
λ<
且1λ≠-
由cos ,||||a b a b a b ⋅<>==
a 与b
的夹角为钝角，所以2(1)320λλλ--=-<，即2
3
λ<
.当a 与b 反向共线时，即a b =-r r 有112
λλ=-⎧⎨-=⎩，则1λ=-，此时a 与b
的夹角为π，
综上，λ的取值范围为2
3
λ<
且1λ≠-.
故答案为：2
3
λ<
且1λ≠-.4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量a ，b
满足2a = ，1b = ，且,60a b 〈〉=︒ ．若向量27ma b + 与a mb +
的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是________．
【答案】17,2⎛⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由题设可得：21cos 601a b ⋅=⨯⨯=
，
因为向量27ma b + 与a mb +
的夹角为钝角，
所以
()()
270ma b a mb +⋅+< 且27ma b + 与a mb + 不反向共线，可得：22
22+(27)70ma m a b mb +⋅+< ，
所以221570m m ++<，解得1
72
m -<<-，
若向量27ma b + 与a mb +
反向共线时，存在实数0k <，使得()
27ma b k a mb +=+ 成立，
可得27m k mk =⎧⎨=⎩
，解得：2m k ⎧=⎪⎨
⎪=⎩（正解舍），所以27ma b + 与a mb +
不反向共线，m ≠，
综上所述，17,222m ⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：17,,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.高频考点二：平面向量数量积的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==
，若点P 是ABC 所
在平面内的一点，且3||||
AB AC
AP AB AC =- ，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A．8
B．10
C．12
D．13
【答案】C ∵AB AC ⊥
，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设()
3
0,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-
则()
3
3,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =-+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，
则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅
的最大值为12．
故选：C ．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD
内一点，则()
PA PB PC +⋅
的最小值是（）
A．2-B．5
2
-
C．3-D．4
-【答案】B
ABCD 是边长为2的正方形，则以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直
角坐标系，如图：
则(0,0),(2,0),(2,2)A B C ，设点(,)P x y ，(,),(2,),(2,2)PA x y PB x y PC x y =--=--=--
，
于是得：)(22,2)(2,2)2(1)(2)2(2)(PA PB PC x y x y x x y y +=--⋅--=---⋅+=
22352(2(1)22x y -+--，
当3,12
x y =
=时，()PA PB PC +⋅ 取得最小值52-，
所以()PA PB PC +⋅ 的最小值是5
2
-.
故选：B
例题3．（2021·河北武强中学高一阶段练习）已知M 是边长为1的正六边形ABCDEF 内
或其边界上的一点，则AM AB ⋅
的取值范围是________.
【答案】13,22⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
如图，作MN AB ⊥，垂足为N ，作CP AB ⊥于P ，FQ AB ⊥于Q ，则cos AM AB AB AM MAB ⋅=∠
，
当MAB ∠是锐角时，AM AB AB AN ⋅= ，此时max
311cos 602
AN
AP ==+⨯︒=
，当MAB ∠是钝角时，AM AB AB AN ⋅=- ，此时max
12
AN
AQ ==
，AM AB ⋅
取最小值12-，
当MAB ∠是直角时，0AM AB ⋅=
，
综上，AM AB ⋅ 的取值范围是13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．
故答案为：13,22⎡⎤
-⎢⎣⎦
．
题型归类练
1．（2022·北京市第五十中学高一期中）如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，设O 为原点，则·OC OD
的取值范围是（）
A ．[]0,2
B ．[]0,3
C ．[]1,3
D ．[]
1,4【答案】C
解：如图令OAB θ∠=，0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
，由于2AB =，故2cos OA θ=，2sin OB θ=，
如图2DAX πθ∠=
-，1BC =，故2cos cos 2cos sin 2D x πθθθθ⎛⎫
=+-=+ ⎪⎝⎭
，sin cos 2D y πθθ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭，
故()2cos sin ,cos OD θθθ=+
，同理可求得()sin ,cos 2sin C θθθ+，即()sin ,cos 2sin OC θθθ=+
，∴
()()·2cos sin ,cos sin ,cos 2sin 12sin 2OC OD θθθθθθθ=+⋅+=+ ，∵0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
，∴[]20,θπ∈．∵[]sin 20,1θ∈，∴·OC OD 的最大值是3，最小值是1，
故选：C ．
2．（2021·云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）已知直角梯形
1
,90,//,1,2
=︒==
=ABCD A AB CD AD DC AB P 是BC 边上的一点，则AP PC ⋅ 的取值范围为（
）
A ．[]1,1-
B ．[]0,2
C ．[]22-,
D ．[]
2,0-【答案】D
法一：因为P 在BC 上，不妨设BP BC λ=
，则(1)PC BC λ=-
（其中01λ≤≤）
所以()⋅=+⋅
AP PC AB BP PC
(1)λλ=⋅+⋅=-⋅+⋅ AB PC BP PC AB BC BC PC
(1)(1)λλλ=-⋅+⋅-
AB BC BC BC
2
(1)22cos135(1)(2)λλλ=-⨯︒+-⨯2(1)2(1)
λλλ=--+-
222422(1)λλλ=-+-=--，
因为01λ≤≤，所以[]
2
2(1)2,0λ--∈-法二：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系.则()0,0A ，()2,0B ，()0,1D ，()1,1C ，其中∠ABC =45°，设点()1,1P m m +-，
其中01m ≤≤，()1,1AP m m =+- ，(),PC m m =-
∴()()2112AP PC m m m m m
⋅=-++-=- ∵01m ≤≤∴
[]222,0AP PC m ⋅=-∈- 故选：D.
3．（2022·全国·高一课时练习）在矩形ABCD 中，AB=3AD=2，点E 为线段BC 的中
点，点F 为线段CD 上的动点，则·AE AF
的取值范围是（）A ．[2，14]B ．[0，12]C ．[0，6]D ．[2，8]
【答案】A
如图建立平面直角，
则A (0，0)，E 31)，
设F (x ，2)(0≤x 3，
所以AE
=31)，AF =(x ，2)，因此·AE AF =32，设f (x )=32(0≤x 3，f (x )为增函数，
则f (0)=2，f 3=14，故2≤f (x )≤14，·AE AF
的取值范围是[2，14].
故选：A
4．（2021·上海市延安中学高三期中）如图，C 为ABC 外接圆P 上一个动点，若
1,150OA OB AOB ==∠=
，则OA OC ⋅
的最大值为__________.
12
+
由余弦定理得||AB =
由正弦定理得外接圆半径12sin150AB
R =⋅
=
所以||OA OC OA d d ⋅== ，其中d 是OC 在OA
上的投影，
过点P 作//PC OA 交圆于点C ，如图所示，
则max 11
||22
OA R d +==
所以OA OC ⋅ 的最大值为1
2
12
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量OA ，OB
满足2OA OB == ，2OA OB =⋅ ，
若OC OA OB λμ=+
且1λμ+=（λ，R μ∈），则OC 的最小值为
A．1【答案】D ()
()()()2
22
2
2144121OC OA OB
OA OB OA OB
λμλλλλλλ⎡⎤=+=+-=+-+-⋅⎣⎦
2
OA OB ⋅= ()()2
2222
1441212444432OC λλλλλλλ⎛⎫∴=+-+-⋅=-+=-+ ⎪⎝
⎭ ，当且仅当12λ=时，
min
OC =
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知单位向量a ，b
满足
0a b b -+⋅= ，则()ta b t +∈R 的最小值为（）
A．
3C．
3
D．
2
【答案】B
由0a b b -+⋅= ，得
a b b -=-⋅ ，两边平方，得()2
22212a a b b a b -⋅+=⋅ ，
即()2
12220a b a b ⋅+⋅-=
，整理得()()21310ab a b +⋅-=
，
所以12
a b ⋅=- 或13a b ⋅=
因为0a b b -=-⋅≥ ，所以0a b ⋅≤ ，所以1
2
a b ⋅=- ，
所以ta b +=
=故选:B.
例题3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知平面向量a ，b ，c
，若a = ，b = 0a b ⋅=
，1c a -= ，则c b - 的最大值为（
）A．2B．3
C．4
D．7
【答案】C
因a = b 0a b ⋅=
，则||3a b -= ，
又1c a -=
，于是有|()()|||||4c b c a a b c a a b -=-+-≤-+-= ，当且仅当c a - 与a b -
同向共线时取“=”，
所以c b -
的最大值为4.
故选：C
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点
P 满足1AP AB AC --=
，AP 的最小值为（）A 1B ．1C ．1D
1
-
【答案】C
2222222cos 123
AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π
+=++⋅=++⋅= ，
所以，
AB AC += ，由平面向量模的三角不等式可得
()()
1AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=
.
当且仅当AP AB AC -- 与AB AC +
方向相反时，等号成立.
因此，AP
的最小值为1.
故选：C.
2．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练习）如图，在等腰ABC 中，已知o 1,120,,AB AC A E F ==∠= 分别是边,AB AC 的点，且,AE AB AF AC ==
λμ，其中
(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN
的最小值是（
）
A ．
7
B ．
7
C ．
14
D ．
14
【答案】D
在等腰ABC 中，已知o 1,120,AB AC A ==∠= 则1cos 2AB AC AB AC A ⋅==- ，因为,E F 别
是边,AB AC 的点，所以111()(),()222
AM AF AE AC AB AN AB AC μλ=+=+=+
，而
1[(1)(1)]2
MN AN AM AB AC λμ=-=-+-
，左右两边平方得
222221[(1)2(1)(1)(1)]
4MN AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+- 2222
11[(1)(1)(1)(1)]44λμλμλμλλμμ+---+=----+-=
，又因为21λμ+=，所以227414MN μμ-+=
，因为(),0,1λμ∈，即10,2μ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以当27μ=时，2MN 的最小值为328，
即MN 的最小值为14
.故选：D.
3．（2022·江苏·辅仁高中高一期中）已知向量,a b 为单位向量，且1
2
a b ⋅=- ，向量c 与a b
+ 共线，则||a c +
的最小值为（）
A ．1
B ．
1
2
C ．
34
D 【答案】D
由题意，向量c 与a b +
共线，
故存在实数λ，使得()c a b λ=+
|||()||(1)|
a c a a
b a b λλλ∴+=++=++
=
=
==≥
=当且仅当1
2
λ=-时等号成立
故选：D
4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量a ，b ，c 满足：
|a +b
|=3，1c = 且()
1a b a b c ⋅+=+⋅ ，则|a －b
|的取值范围是______．
【答案】[]1,522||()4134()a b a b a b a b c -=+-⋅=-+⋅ 而()||||cos [3,3]a b c a b c θ+⋅=+⋅∈- ，故2||[1,25]a b -∈ ，||[1,5]a b -∈
故答案为：[1,5]
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
例题1．（多选）（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==
，
函数()f x a b =⋅
，则下列选项正确的是（）
A．函数()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
．
B．将函数1sin 2
y x =+图像上各点横坐标变为原来的1
2（纵坐标不变），再将所得图像向左
平移6
π
个单位长度，可得函数()f x 的图像．
C．函数()f x 是偶函数．
D．函数()f x 在区间[0,]π内所有零点之和为43
π．【答案】AD
解：因为(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==
且()f x a b =⋅ ，
所以21cos 21()cos cos sin 2sin 22262
x f x x x x x x π+⎛
⎫=+=
+=++
⎪⎝⎭，因为[]sin 21,16x π⎛
⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()13,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，故A 正确；
将1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的1
2（纵坐标不变）得到1sin 22
y x =+，
再将1sin 22y x =+向左平移6π
个单位长度得到11sin 2sin 26232y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故B 错
误；
()11sin 2sin 26262f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1()sin 262f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭为非奇非偶函数，
故C 错误；
令()0f x =，即1sin 2062x π⎛
⎫++= ⎪⎝⎭，所以1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，所以22,66x k k Z πππ+=-+∈或
722,6
6x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得,6x k k Z ππ=-+∈或,2
x k k Z ππ=+∈，因为[0,]x π∈，所以12
x π
=或256x π=
，即1254623
x x πππ
+=+=，故D 正确；
故选：AD
例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量3sin ,8a x ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ ，()cos ,1b x =- ．(1)当a b ⊥
时，求sin 2x 的值；
(2)设函数()3
8f x a b =⋅+ ，将()f x 的图像向左平移π6
个单位得到函数()g x 的图像，求()
g x
在π0,6x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域．
【答案】(1)
3
4；
(2)142⎤⎢⎥⎣⎦
.(1)向量3sin ,8a x ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ ，()cos ,1b x =- ，由a b ⊥ 得：313sin cos sin 20828a b x x x ⋅=-=-= ，
所以3sin 24
x =
.(2)由（1）知，()
31
sin 282f x a b x =⋅+= ，()1()sin(2)623
g x f x x ππ=+=+，当06
x π
≤≤
时，
22333x πππ≤+≤
sin(2)13x π≤+≤
11
sin(2)232
x π≤+≤，所以()g x 在π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
的值域是142⎤⎥⎣⎦
.例题
3．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知向量()
cos ,a x x =
，
)
2sin ,sin b x x x =
+
，()f x a b =⋅
．
(1)若()0f x =，求tan x ；
(2)若()f x 在区间[]0,m
上的值域为2⎤⎦，求m 的取值范围．
【答案】
(1)tan x =
tan 3
x =-
；(2)126m ππ≤≤.
(1)
由题设，22()2sin cos 0f x x x x x =+-=，
22tan tan tan )(1tan )0x x x x +=-=
，可得tan x
tan x =(2)由（1
）得：()2sin 22sin(2)3
f x x x x π
=+=+，
在[]0,m 上2[2]333
x m π
ππ+∈+
，且对应值域为2⎤⎦，所以
222
3
3
m π
π
π≤+
≤
，则126m ππ≤≤.
例题
4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知cos ,cos 2a x x ⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，sin ,cos 2b x x ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()()f x a b x R =⋅∈ ．(1)化简函数()f x 的解析式，并求最小正周期；(2)若不等式3|()|2f x m -<
在,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】
(1)n ()224f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，T π=(2)(1,1)-(1)因为
21111()sin cos cos sin 2(1cos2)2222f x x x x x x =+-
=++-11
sin 2cos 22
2x x
=
+224x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，所以最小正周期为22
T π
π==；(2)由于3|()|2f x m -<
，所以33
()22
f x m -<-<，故33()22m f x m -+<<+，
因为,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，因此352,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，
所以sin 2242x π⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭，因此11()22f x -≤≤，
由题意可得3
122
1322
m m
⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＜＜，解得11m m ⎧⎨-⎩＜＜，故实数m 的取值范围为(1,1)-；
综上，(
)224f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，最小正周期为π，()1,1m ∈-.第二部分：高考真题感悟
1．（2020·海南·高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅
的
取值范围是（）
A ．()2,6-
B ．(6,2)-
C ．(2,4)-
D ．(4,6)
-【答案】
A
AB
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到AP 在AB
方向上的投影的取值范围是(1,3)-，
结合向量数量积的定义式，
可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB
方向上的投影的乘积，
所以AP AB
⋅的取值范围是()2,6-，
故选：A.
2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +
的值为____________；()DE DF DA +⋅
的最小值为____________．【答案】
1
11
20
设BE x =，10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，
30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-
，
//DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，
22
222(2)4444(12)cos 0(12)1
BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=
，|2|1BE DF +∴=
，
2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA
+⋅=+⋅+=+⋅ 2
2
2
311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛
⎫=+-⨯-=-+=-+
⎪⎝
⎭，所以当310
x =
时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.故答案为：1；
11
20
.
3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且
3
,2
AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且
||1MN = ，则DM DN ⋅
的最小值为_________．
【答案】
16132
AD BC λ=
，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅
1363922λλ⎛⎫
=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭
，
解得1
6
λ=
，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy
，
()66,0BC C =∴ ，,
∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A
的坐标为32A ⎛ ⎝⎭
,∵又∵16AD BC = ,
则5,22D ⎛ ⎝⎭
，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤
），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭
，3,2DN x ⎛
=- ⎝⎭
，
()2
22
5321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132
.
故答案为：16；13
2
.
4．（2019·浙江·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++
的最小值是________；最大值是_______.【答案】
正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =-
，AB •AD =
0，()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ 要
使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ
的最小，只需要
135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min
0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=
()()22
12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD
λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++()()
2
2
13562456λλλλλλλλ=-+-+-++()()22
13562456λλλλλλλλ≤++-++++()()
2
2
56
5622λλλ
λ=+-+++()()()
22
5656565684λλλλλλλλ=+-+++-++
()
225682λλ=++
12=+
1220
=+=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正．
比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===
则123456max
AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ==。