2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第10章 概率 10-1
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答案 1．频率 fn(A) 常数 2．包含 B⊇A A＝B 并事件 事件 A 发生且事件 B 发生 3．0≤P(A)≤1 1 0 P(A)＋P(B) 1－P(B)
挖教材赢高考
高频考点透析
高频考点 1 由频率估计随机事件的概率 【例 1.1】 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：
高频考点 2 求互斥事件、对立事件的概率 【例 2.1】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖 券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、 一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[强化训练 1.1] (2016 年高考·北京卷)A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们 的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小 时)：
A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出 的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间 长的概率．
交事件 若某事件发生当且仅当____________________，则称
(积事件)
此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)
符号表示 ____________
(或 A⊆B) ____________ A∪B(或 A＋B)
A∩B(或 AB)
互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，则称事件
解：(1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名．根据分层抽样方法， C 班的学生人数估计为 100×280＝40.
(2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i＝1，2，…，5. 事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”，j＝1，2，…，8. 由题意可知，P(Ai)＝15，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝18，j＝1，2，…，8. P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝15×18＝410，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.
61 000.
故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等
奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－1
0100＋1100＝1908090.
故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1908090.
2．事件的关系与运算
定义
若事件 A 发生，事件 B 一定发生，则称事件 B________ 包含关系
事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系
若 B⊇A 且 A⊇B，则称事件 A 与事件 B 相等
并事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则
(和事件) 称此事件为事件 A 与事件 B 的________(或和事件)
对立事件 A 与事件 B 互为对立事件
A∩B＝∅ A∩B＝∅ P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1
3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_____________________________________. (2)必然事件的概率 P(E)＝________． (3)不可能事件的概率 P(F)＝________． (4)①若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝________． ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝______．
(2)①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是 针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．
(3)复杂互斥事件概率的方法 ①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的 求和公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝1－P(A)，即 运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是 什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种 方法往往显得比较简便．
【解】 (1)是互斥事件． 理由是：在所选的 2 名同学中，“恰有 1 名男生”实质选出的是“一名男生和一名女 生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种 结果，“至少有 1 名女生”包括“1 名女生，1 名男生”和“两名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生． (3)不是互斥事件． 理由是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”， 这与“全是男生”可同时发生．
[强化训练 3.1] (2019 年洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及 相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1
0.04
求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？
(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为 事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等 候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥．
【解】 (1)P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1100，P(C)＝1 50000＝210.故事件 A，B，C 的概
率分别为1 0100，1100，210.
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
∵A、B、C
两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋11000＋0 50＝1
10 概率
知识结构导图
§10.1 随机事件的概率
考 纲 原文下载
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概 率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
命题规律分析
知识梳理整合
1．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件
设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E＝ (A1C1)∪(A1C2)∪(A2C1)∪(A2C2)∪(A2C3)∪(A3C1)∪(A3C2)∪(A3C3)∪(A4C1)∪(A4C2)∪(A4C3 )∪(A5C1)∪(A5C2)∪(A5C3)∪(A5C4)．
因此 P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋ P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×410＝38.
(4)是互斥事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种 结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
【反思·升ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】 (1)判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如 果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义 外，也可以利用集合的观点来判断．
投篮次数 n 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m 6 8 12 17 25 32 38 进球频率mn (1)计算表中进球的频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？ 【思路分析】 (1)利用频率的计算公式即可求解； (2)由频率估计进球的概率．
【解】 (1)进球的频率分别为68＝0.75，180＝0.8， 1125＝0.8，1270＝0.85，2350≈0.83，3420＝0.8，3580＝0.76. (2)由于这位运动员投篮一次，进球的频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一 次，进球的概率约是 0.8.
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(2)至少有 3 人外出家访的对立事件为 2 人及以下，所以由对立事件的概率可知，P ＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
高频考点 3 对立与互斥的概念 【例 3.1】 判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明理由． 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有一名男生和至少有一名女生； (3)至少有一名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生．
(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G， 则 G＝A∪B∪C，所以 P(G)＝P(A∪B∪C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 H＝D∪E∪F，所以 P(H)＝P(D∪E∪F) ＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 解法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)＝1 －P(G)＝0.44.
A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nnA为事件 A 出现的频 率．
(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的________稳定 在某个常数上，则把这个________记作 P(A)，称为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率．
【反思·升华】 此类题目的求解步骤是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频 率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率．
随机事件的频率与概率问题应注意： (1)理解频率与概率的区别：频率是一个随机数，在试验前是不能确定的，频率是概 率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，而概率可看成频率在 理论上的稳定值，频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个确定数，是客观存在 的，与试验次数无关． (2)理解概率的基本性质：①0≤P(A)≤1；②P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
[强化训练 2.1] 某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动 中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有 4 人或 5 人外出家访的概率； (2)求至少有 3 人外出家访的概率．
解：(1)设派出 2 人及以下为事件 A，3 人为事件 B，4 人为事件 C，5 人为事件 D，6 人及以上为事件 E，则有 4 人或 5 人外出家访的事件为事件 C 或事件 D，C、D 为互斥事 件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1 ＝0.4.
【反思·升华】 互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件是两个不可能同时发生的事件； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝∅； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝∅，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B.
挖教材赢高考
高频考点透析
高频考点 1 由频率估计随机事件的概率 【例 1.1】 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：
高频考点 2 求互斥事件、对立事件的概率 【例 2.1】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖 券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、 一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[强化训练 1.1] (2016 年高考·北京卷)A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们 的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小 时)：
A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出 的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间 长的概率．
交事件 若某事件发生当且仅当____________________，则称
(积事件)
此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)
符号表示 ____________
(或 A⊆B) ____________ A∪B(或 A＋B)
A∩B(或 AB)
互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，则称事件
解：(1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名．根据分层抽样方法， C 班的学生人数估计为 100×280＝40.
(2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i＝1，2，…，5. 事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”，j＝1，2，…，8. 由题意可知，P(Ai)＝15，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝18，j＝1，2，…，8. P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝15×18＝410，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.
61 000.
故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等
奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－1
0100＋1100＝1908090.
故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1908090.
2．事件的关系与运算
定义
若事件 A 发生，事件 B 一定发生，则称事件 B________ 包含关系
事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系
若 B⊇A 且 A⊇B，则称事件 A 与事件 B 相等
并事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则
(和事件) 称此事件为事件 A 与事件 B 的________(或和事件)
对立事件 A 与事件 B 互为对立事件
A∩B＝∅ A∩B＝∅ P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1
3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_____________________________________. (2)必然事件的概率 P(E)＝________． (3)不可能事件的概率 P(F)＝________． (4)①若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝________． ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝______．
(2)①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是 针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．
(3)复杂互斥事件概率的方法 ①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的 求和公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝1－P(A)，即 运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是 什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种 方法往往显得比较简便．
【解】 (1)是互斥事件． 理由是：在所选的 2 名同学中，“恰有 1 名男生”实质选出的是“一名男生和一名女 生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种 结果，“至少有 1 名女生”包括“1 名女生，1 名男生”和“两名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生． (3)不是互斥事件． 理由是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”， 这与“全是男生”可同时发生．
[强化训练 3.1] (2019 年洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及 相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1
0.04
求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？
(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为 事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等 候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥．
【解】 (1)P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1100，P(C)＝1 50000＝210.故事件 A，B，C 的概
率分别为1 0100，1100，210.
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
∵A、B、C
两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋11000＋0 50＝1
10 概率
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§10.1 随机事件的概率
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1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概 率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
命题规律分析
知识梳理整合
1．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件
设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E＝ (A1C1)∪(A1C2)∪(A2C1)∪(A2C2)∪(A2C3)∪(A3C1)∪(A3C2)∪(A3C3)∪(A4C1)∪(A4C2)∪(A4C3 )∪(A5C1)∪(A5C2)∪(A5C3)∪(A5C4)．
因此 P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋ P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×410＝38.
(4)是互斥事件． 理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种 结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
【反思·升ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】 (1)判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如 果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义 外，也可以利用集合的观点来判断．
投篮次数 n 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m 6 8 12 17 25 32 38 进球频率mn (1)计算表中进球的频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？ 【思路分析】 (1)利用频率的计算公式即可求解； (2)由频率估计进球的概率．
【解】 (1)进球的频率分别为68＝0.75，180＝0.8， 1125＝0.8，1270＝0.85，2350≈0.83，3420＝0.8，3580＝0.76. (2)由于这位运动员投篮一次，进球的频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一 次，进球的概率约是 0.8.
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(2)至少有 3 人外出家访的对立事件为 2 人及以下，所以由对立事件的概率可知，P ＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
高频考点 3 对立与互斥的概念 【例 3.1】 判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明理由． 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有一名男生和至少有一名女生； (3)至少有一名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生．
(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G， 则 G＝A∪B∪C，所以 P(G)＝P(A∪B∪C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 H＝D∪E∪F，所以 P(H)＝P(D∪E∪F) ＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 解法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)＝1 －P(G)＝0.44.
A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nnA为事件 A 出现的频 率．
(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的________稳定 在某个常数上，则把这个________记作 P(A)，称为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率．
【反思·升华】 此类题目的求解步骤是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频 率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率．
随机事件的频率与概率问题应注意： (1)理解频率与概率的区别：频率是一个随机数，在试验前是不能确定的，频率是概 率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，而概率可看成频率在 理论上的稳定值，频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个确定数，是客观存在 的，与试验次数无关． (2)理解概率的基本性质：①0≤P(A)≤1；②P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
[强化训练 2.1] 某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动 中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有 4 人或 5 人外出家访的概率； (2)求至少有 3 人外出家访的概率．
解：(1)设派出 2 人及以下为事件 A，3 人为事件 B，4 人为事件 C，5 人为事件 D，6 人及以上为事件 E，则有 4 人或 5 人外出家访的事件为事件 C 或事件 D，C、D 为互斥事 件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1 ＝0.4.
【反思·升华】 互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件是两个不可能同时发生的事件； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝∅； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝∅，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B.