“教”让道于“悟”——从一节高三复习课谈起
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环 节 ７ 说 一说 ．
教 师 肯 定 了学 生 对 第 １ ） 个 问 题 的认 识 ， 对 第 ２ ） 个 问题 的 回 答 显 然 并 不 赞 同 ， 但 是 教 师 没 有 马
上表 明 自己的观点 ， 而是 引导 学生 继续 探索 变式 问 题， 进一 步 让学 生 自己去感 悟．
阻
合运用知识和方法灵活处理 ， 八方联系 ， 紧紧抓住 般方 法 ， 以不 变应万 变．
一
２ 关 于研讨 课 的思 考 数 学 教 师对 课 堂教 学 艺 术 的追 求 是永 无 止 尽
的， 一 堂课究 竟 怎样 才 算 一 堂好 课 ． 一 堂有 效 的 数 学课 ， 可谓 仁 者 见 仁 ， 智 者见 智． 从 教 学 目标来 说 ，
环节 ４ 悟 一悟．
基本 初 等 函数 的加 减 乘 除 、 复合、 分段组 合 、 变 换 （ 平移、 翻折 、 伸缩等等 ） ， 接 着 教 师 引 导 学 生 研 究 ［ １ ２ ］ 刘 国 平． 高 中数 学 不等 式 必修 课 程 教 学 的 实践 与探 索 ［ Ｄ］ ． 苏州： 苏州大 学 ， ２ ０ １ ０ ． ［ １ ３ ］ 范 红 波． 在 不 等 式 教 学 中感 受 和 运 用数 学 美［ Ｊ ］ ． 科教 文 汇 ， ２ ０ ０ ７ （ ４ ） ： ７ ７， ８ ４ ． ［ １ ４ ］ 人 民教 育 出版 社 中 学数 学 室． 义 务 教册［ Ｍ］ ． 北京： 人 民教 育 出版 社 ， １ ９ ９ ６ ． ［ １ ５ ］ 人 民教育 出版社 中学数 学室． 初级 中学代 数 ・第 ４册 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 人 民教 育 出版 社 ，
１ ９８ ９．
第１ Ｏ期
冯
涛： “ 教” 让道于“ 悟”
函数 时最 有利 于解 题． 环 节 ６ 选 择模 型优 化解 法．
ｔ ＝ 一 １ ， 则 （ ｔ ） ＝ｌ ｌ ｔ ＋ ÷＋ ５ Ｉ １ ， 此时函数图像与所
谓 的“ 对勾 函数 ” 有 关． 学 生 再 次 领 悟 到 数 学 解 题 中转 化与化 归思 想所起 的作用 ．
学 生 自认 为 获 得 解 答 后 ， 教
结 合 多方 面 画 图计 算 ， 反 复
ｋ 推 敲解 法 ， 课 堂 氛 围达 到 高 础 ＝一
ｊ 。 捌 ２ ， ３ ． ５ ）
师 因势 利导 ， 利 用 几何 画板 ，
动 态 演 示 当 系 数 口变 大 时 ，
ｌ ＿ ／ 砷 ＝ ｎ ． Ｉ
（ ２ ０ １ １ 年 浙 江省数 学高考理 科试题 ）
２ ． 设 口∈Ｒ， 当 ＞ ０时均有
［ （ ａ一１ ） 一１ ］ （ 一 一１ ） ＞０ Ｉ ， 则 ０＝一 （ ２ ０ １ ２年浙 江省数 学高考理 科试 题 ）
３ ． 设 函数 ）＝ ＋３ Ｉ —ａ Ｉ （ 其 中 ａ∈Ｒ） ，
（ ２ ０ １ ４年 天 津 市数 学高考理科 试题 ）
环 节 ２ 教师 在课 件 中 罗列 了基 本 初 等 函数 ， 以及 由这些 函数 构 造 的新 函数 模 型 ， 例如 ： ． 厂 （ ）＝
．
＋ ３ ｘ Ｉ
２ Ｉ ｌ ｏ ｇ ０５
．
） ＝Ｉ Ｉ 一 ｌ １ ， ， （ ） ＝｛ Ｌ
本堂课既回顾了基本初等函数 ， 复习了函数零点 以
及 相关知 识 点 ， 渗 透 了数 形结 合 的方 法 ， 锻 炼 了学 生 的思维 能力 ， 激 发 了求 知热 情 和 欲 望 ， 总 体 看 是 较好 地完 成 了教 学任 务 ． 从教学组织来看 ， 课 堂 主
方 法 ２ 更 多学生 采 取 例 １中第 ４种 构造 ， 构
Ｉ ＋ ３ Ｉ 图像 的上升部 分再 度 相交 ， 学 生 此 时才 领 悟 到此 题没 有解答 完 整 ， 并 再次 利用判 别式 计算 出 另一半 答案 ０＞９ ． 综 上 所 述 结 果 是 ０∈（ ０， １ ）ｕ （ ９ ， ＋∞） ， 这 个 题 目让 学 生 领 悟 到 利 用 图像 解 题 还 需作 图精 确． 对 于方 法 ２的构 造 ， 教 师指 出 ： 虽 然 其 中一 个
样 的选 择 ？
是常数 函数 ， 它的图像简单 ， 但是另一个是含有二 次式和绝对值的分式 函数 ， 结构复杂 ， 图像难 以获
得， 但 不 是 没有 挽 救余 地 ， 可 以考 虑 换 元 转 化 ． 令
Ｉ Ｉ
受例 题影 响 ， 大部 分学 生认 为 自己会构 造 ２个 函数 、 画 图像 、 处理 零 点 问题 ， 而且 其 中一个 是 常数
４ ． 已知 函 数 Ｙ＝
一 １
一
的 图 像 与 函 数 Ｙ＝
环 节 １ 教 师 在 课 件 中 打 出 中 国足 球 运 动 员
踢球 的 习惯 ： 一“ 抢” 、 二“ 逼” 、 三“ 围” ． 然 后 抛 出
２的图像恰 有 ２个 交 点 ， 则 实 数 ｋ的取 值 范 围 是一 （ ２ ０ １ ２年 天 津 市数 学高考理科 试题 ）
大 的脑 子 ， 让不 聪 明 的孩 子 变 得 聪 明 ， 让 聪 明 的孩
以下 高考 题 ：
环节 ３ 看 一看．
１ ． 设 函数 ， （ ）＝ ４ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｘ＋１ ）一 ， 则 在下 列 区 间 中函数 ） 不存 在零 点 的是 Ａ ． ［一 ４ ， 一 ２ ］ Ｃ ． ［ ０， ２ ］ Ｂ ． ［一 ２ ， ０ ］ Ｄ． ［ ２ ， ４ ］ （ ）
第１ Ｏ期
冯
涛： “ 教” 让 道 于“ 悟”
・ ５・
“ 教＂ 让 道 于 “ 悟＂
— —
从一节高三复 习课谈起
（ 北仑中学 浙江宁波 ３ １ ５ ８ ０ ０ ）
●冯 涛
著 名数 学特 级教 师孙 维 刚认 为 ， 教师 的教 学 目 标应 该 是 ： 通 过 知识 的教 学 ， 培养 学 生 的能力 ， 在 能 力 提高 的基 础上 不 断提 高学 生 的素 质 ， 造 就一 个 强
一
Ｉ ２— １ Ｉ
ｒ ＋ ．
’ ， （ ） ＝
，
Ｉ 一１ （ ）＝４ ｓ ｉ ｎ （ ２ ＋１ ）一 ， 目的在 于 让学 生感 悟命 题 者 编制 函数 题 目的一 些 常见 手法 ：
这个 环节 是 继续 在 教 师 的引 导 下 了解 高 考题 目中 函数 的考 查点 ， 目的在 于让学 生逐 渐领悟 到 本 堂课 即将 讨论 函数 零点 问题．
（
Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４
）
（ ２ ０ １ ３年天 津 市数 学高考理 科试 题 ） ６ ． 已知 函 数 厂 （ ）＝ Ｉ ＋３ Ｉ ， ∈Ｒ， 若 方 程 ）一ａ ｌ 一１ Ｉ ＝ ０恰 有 ４个 互 异 的 实数 根 ， 则 实 数 ａ的取值 范 围为一
．
３ ０ １
五
潮． 教 师在解 决 问题之 后 ，
针对学生 的作答 ， 引导学生
思考 ２个 问题 ：
图４
（ ） ＝口Ｉ 一１ ｌ 的 图像 中 ２ 支射线会 靠拢 ， 并 与 （ ） ＝
图５
１ ） 在 处 理 函 数 零 点 个
数 问题 时 ， 构造 函数模 型 的选择 有 哪些 情形 ？ 学生 自主归 纳 后 ， 领 悟 到 以下 结 论 ： 在 处 理 函
造 一 个 含 绝 对 值 的 分 式 函 数 和 一 个 常 数 函 数
Ｉ ２ ＾
线明确清晰 ， 看一看 ， 悟一悟 ， 说一说， 简单 的三部 曲， 引领学生一步步登堂入室 ， 从 一开始就通 过例 子“ 悟” 知识点 ， 后来去“ 悟” 数形结合的思想 ， 教师
在课 堂上 自始 至终 没有 提到 “ 数形结 合 ” ４个字 ， 但
数零点问题时处理方式通常有 ２ 种情况 ： ①直接考 查Ｙ ＝ ， （ ｘ ） 的图像与 轴的交点个数 ； ②令 ） ＝ ０ ， 并通过适 当变形转化为考查 ２个 函数 Ｙ ＝ （ ） 和 Ｙ＝ （ ） 的交 点个 数 ． 并 且 在数 形 结 合处 理 函数
零 点 问题 时 可 以构 造 的 函数类 别是 多 种多 样 的． ２ ） 求解函数零点个数 问题时 ， 你 又 会 作 出 怎
子更 加 聪 明． 怎 么实 现这 个 目标 呢 ？不 同的教 师 对 此 有着 不 同 的答 案 ， 笔者 最 近参 加 了在浙 江省 镇 海 中学举 行 的宁 波市 第 ９届 特 级 教 师 带 徒 研 讨 会 活 动， 聆听了一堂题为“ 函数零点 问题选讲——选择 模 型优 化 解 法 ” 的公 开 课 ． 在这堂研讨课 中， 教 师 精选 例 题 ， 循 循善诱 ， 学生热情参 与， 探 究 气 氛 热 烈， 听课 的教师 和 专 家 都 积极 参 与 了评 课 研 讨 ， 认 为 教师 在教 学 中激 发 了学 生 的探 究 热情 ， 学 生 的课 堂 主体 地 位得 到 了充分 展 现 ， 强 调学 生 在主 动探 究
・７ ・
这 种解 法 更 简 单 ， 由图 ４可 知 一
，
‘
篙 蓦 霍
／
从而避免了讨论 曲线与 曲线位置关系的麻烦．
环 节 ５ 归纳 提 升．
经过 师 生 、 生生探讨，
【 问；
都能方便给出， 但是一部分学生只考虑到如图 ５所
示 图像 中 的情 形 ， 利 用 判 别 式 计算 出结 果为 ０＜ 口＜１ ． 在 删
结合 ２个例子 的研究 ， 教师让学生说说这堂课 所 获得 的感 悟 ， 学生 总结 为遇 到 函数零 点个 数 问题
时需要 考虑 构造 不 同的 函数模 型处理 ， 方 法应该 多 样， 不应该固守一种 ， 因题制宜 ， 遇到困境时还要综
例２ 已知 函数 ． 厂 （ ）＝ ｌ ＋３ Ｉ ， 若 方 程 ）一 ０ ｌ 一１ Ｉ ＝ ０恰 有 ４个 互 异 的实 数 根 ， 则 实 数 口的取 值范 围为一 （ ２ ０ １ ４年 天 津 市数 学 高考理科 试题 ） 教 师 给 出问题 后 ， 许 多 学生 就开 始 进行 分离 参 数 构造 函数模 型 ， 大致 有 以下 ３种构 造 方式 ： 方法 １ 直 接 构 造 函数 ｇ（ ）＝ Ｉ ＋３ Ｉ一 口 Ｉ ｘ一１ Ｉ ， 由于 分段 函数 层 次讨 论 太 多 ， 学 生思 维 受
处处 用到 这个 思想 方法 ， 目的恐 怕就 在 于让学 生 自
Ⅱ （ ） ＝ 等 ｌ 一 １ Ｉ （ 其 中ｘ ＃ １ ） ， （ ） ＝ ０ ， 显 然， 学 生
ｌ ２ ＾ ｌ
无 法 作 出 （ ） ＝ 等
中的“ 悟” ， 并对其他方 面也 给出 了中肯 的意见和 建 议． 本文 结合 这 堂课 的教 学设 计谈 谈 如何 实现 高 三 数学 复 习 的有 效 性 ， 供 大 家交 流切 磋．
１ 教 学设 计筒 录
若厂 （ ＿ 厂 （ ａ ） ） ≤ ２ ， 则实数 ａ的取值范围是一 （ ２ ０ １ ４年 浙 江省数 学高考理科 试题 ）
自问 自答 问 题 ： 我 们 在 解 题 中应 该 养 成 什 么 习 惯 呢？教 师 个 人 认 为 ： 一“ 看” 、 二“ 悟” 、 三“ 说” ， “ 悟 ”自始 至终 贯 穿 整 堂课 的 核 心 （ 引导 学 生 感 悟
这 堂课 的思 维 主线 ） ．
５ ． 函数厂 （ ） ： ２ ｌ ｌ ｏ ｇ 。 ． 一 １ ｌ 的零点个数为
教 师 肯 定 了学 生 对 第 １ ） 个 问 题 的认 识 ， 对 第 ２ ） 个 问题 的 回 答 显 然 并 不 赞 同 ， 但 是 教 师 没 有 马
上表 明 自己的观点 ， 而是 引导 学生 继续 探索 变式 问 题， 进一 步 让学 生 自己去感 悟．
阻
合运用知识和方法灵活处理 ， 八方联系 ， 紧紧抓住 般方 法 ， 以不 变应万 变．
一
２ 关 于研讨 课 的思 考 数 学 教 师对 课 堂教 学 艺 术 的追 求 是永 无 止 尽
的， 一 堂课究 竟 怎样 才 算 一 堂好 课 ． 一 堂有 效 的 数 学课 ， 可谓 仁 者 见 仁 ， 智 者见 智． 从 教 学 目标来 说 ，
环节 ４ 悟 一悟．
基本 初 等 函数 的加 减 乘 除 、 复合、 分段组 合 、 变 换 （ 平移、 翻折 、 伸缩等等 ） ， 接 着 教 师 引 导 学 生 研 究 ［ １ ２ ］ 刘 国 平． 高 中数 学 不等 式 必修 课 程 教 学 的 实践 与探 索 ［ Ｄ］ ． 苏州： 苏州大 学 ， ２ ０ １ ０ ． ［ １ ３ ］ 范 红 波． 在 不 等 式 教 学 中感 受 和 运 用数 学 美［ Ｊ ］ ． 科教 文 汇 ， ２ ０ ０ ７ （ ４ ） ： ７ ７， ８ ４ ． ［ １ ４ ］ 人 民教 育 出版 社 中 学数 学 室． 义 务 教册［ Ｍ］ ． 北京： 人 民教 育 出版 社 ， １ ９ ９ ６ ． ［ １ ５ ］ 人 民教育 出版社 中学数 学室． 初级 中学代 数 ・第 ４册 ［ Ｍ］ ． 北京 ： 人 民教 育 出版 社 ，
１ ９８ ９．
第１ Ｏ期
冯
涛： “ 教” 让道于“ 悟”
函数 时最 有利 于解 题． 环 节 ６ 选 择模 型优 化解 法．
ｔ ＝ 一 １ ， 则 （ ｔ ） ＝ｌ ｌ ｔ ＋ ÷＋ ５ Ｉ １ ， 此时函数图像与所
谓 的“ 对勾 函数 ” 有 关． 学 生 再 次 领 悟 到 数 学 解 题 中转 化与化 归思 想所起 的作用 ．
学 生 自认 为 获 得 解 答 后 ， 教
结 合 多方 面 画 图计 算 ， 反 复
ｋ 推 敲解 法 ， 课 堂 氛 围达 到 高 础 ＝一
ｊ 。 捌 ２ ， ３ ． ５ ）
师 因势 利导 ， 利 用 几何 画板 ，
动 态 演 示 当 系 数 口变 大 时 ，
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（ ２ ０ １ １ 年 浙 江省数 学高考理 科试题 ）
２ ． 设 口∈Ｒ， 当 ＞ ０时均有
［ （ ａ一１ ） 一１ ］ （ 一 一１ ） ＞０ Ｉ ， 则 ０＝一 （ ２ ０ １ ２年浙 江省数 学高考理 科试 题 ）
３ ． 设 函数 ）＝ ＋３ Ｉ —ａ Ｉ （ 其 中 ａ∈Ｒ） ，
（ ２ ０ １ ４年 天 津 市数 学高考理科 试题 ）
环 节 ２ 教师 在课 件 中 罗列 了基 本 初 等 函数 ， 以及 由这些 函数 构 造 的新 函数 模 型 ， 例如 ： ． 厂 （ ）＝
．
＋ ３ ｘ Ｉ
２ Ｉ ｌ ｏ ｇ ０５
．
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本堂课既回顾了基本初等函数 ， 复习了函数零点 以
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方 法 ２ 更 多学生 采 取 例 １中第 ４种 构造 ， 构
Ｉ ＋ ３ Ｉ 图像 的上升部 分再 度 相交 ， 学 生 此 时才 领 悟 到此 题没 有解答 完 整 ， 并 再次 利用判 别式 计算 出 另一半 答案 ０＞９ ． 综 上 所 述 结 果 是 ０∈（ ０， １ ）ｕ （ ９ ， ＋∞） ， 这 个 题 目让 学 生 领 悟 到 利 用 图像 解 题 还 需作 图精 确． 对 于方 法 ２的构 造 ， 教 师指 出 ： 虽 然 其 中一 个
样 的选 择 ？
是常数 函数 ， 它的图像简单 ， 但是另一个是含有二 次式和绝对值的分式 函数 ， 结构复杂 ， 图像难 以获
得， 但 不 是 没有 挽 救余 地 ， 可 以考 虑 换 元 转 化 ． 令
Ｉ Ｉ
受例 题影 响 ， 大部 分学 生认 为 自己会构 造 ２个 函数 、 画 图像 、 处理 零 点 问题 ， 而且 其 中一个 是 常数
４ ． 已知 函 数 Ｙ＝
一 １
一
的 图 像 与 函 数 Ｙ＝
环 节 １ 教 师 在 课 件 中 打 出 中 国足 球 运 动 员
踢球 的 习惯 ： 一“ 抢” 、 二“ 逼” 、 三“ 围” ． 然 后 抛 出
２的图像恰 有 ２个 交 点 ， 则 实 数 ｋ的取 值 范 围 是一 （ ２ ０ １ ２年 天 津 市数 学高考理科 试题 ）
大 的脑 子 ， 让不 聪 明 的孩 子 变 得 聪 明 ， 让 聪 明 的孩
以下 高考 题 ：
环节 ３ 看 一看．
１ ． 设 函数 ， （ ）＝ ４ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｘ＋１ ）一 ， 则 在下 列 区 间 中函数 ） 不存 在零 点 的是 Ａ ． ［一 ４ ， 一 ２ ］ Ｃ ． ［ ０， ２ ］ Ｂ ． ［一 ２ ， ０ ］ Ｄ． ［ ２ ， ４ ］ （ ）
第１ Ｏ期
冯
涛： “ 教” 让 道 于“ 悟”
・ ５・
“ 教＂ 让 道 于 “ 悟＂
— —
从一节高三复 习课谈起
（ 北仑中学 浙江宁波 ３ １ ５ ８ ０ ０ ）
●冯 涛
著 名数 学特 级教 师孙 维 刚认 为 ， 教师 的教 学 目 标应 该 是 ： 通 过 知识 的教 学 ， 培养 学 生 的能力 ， 在 能 力 提高 的基 础上 不 断提 高学 生 的素 质 ， 造 就一 个 强
一
Ｉ ２— １ Ｉ
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，
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这个 环节 是 继续 在 教 师 的引 导 下 了解 高 考题 目中 函数 的考 查点 ， 目的在 于让学 生逐 渐领悟 到 本 堂课 即将 讨论 函数 零点 问题．
（
Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４
）
（ ２ ０ １ ３年天 津 市数 学高考理 科试 题 ） ６ ． 已知 函 数 厂 （ ）＝ Ｉ ＋３ Ｉ ， ∈Ｒ， 若 方 程 ）一ａ ｌ 一１ Ｉ ＝ ０恰 有 ４个 互 异 的 实数 根 ， 则 实 数 ａ的取值 范 围为一
．
３ ０ １
五
潮． 教 师在解 决 问题之 后 ，
针对学生 的作答 ， 引导学生
思考 ２个 问题 ：
图４
（ ） ＝口Ｉ 一１ ｌ 的 图像 中 ２ 支射线会 靠拢 ， 并 与 （ ） ＝
图５
１ ） 在 处 理 函 数 零 点 个
数 问题 时 ， 构造 函数模 型 的选择 有 哪些 情形 ？ 学生 自主归 纳 后 ， 领 悟 到 以下 结 论 ： 在 处 理 函
造 一 个 含 绝 对 值 的 分 式 函 数 和 一 个 常 数 函 数
Ｉ ２ ＾
线明确清晰 ， 看一看 ， 悟一悟 ， 说一说， 简单 的三部 曲， 引领学生一步步登堂入室 ， 从 一开始就通 过例 子“ 悟” 知识点 ， 后来去“ 悟” 数形结合的思想 ， 教师
在课 堂上 自始 至终 没有 提到 “ 数形结 合 ” ４个字 ， 但
数零点问题时处理方式通常有 ２ 种情况 ： ①直接考 查Ｙ ＝ ， （ ｘ ） 的图像与 轴的交点个数 ； ②令 ） ＝ ０ ， 并通过适 当变形转化为考查 ２个 函数 Ｙ ＝ （ ） 和 Ｙ＝ （ ） 的交 点个 数 ． 并 且 在数 形 结 合处 理 函数
零 点 问题 时 可 以构 造 的 函数类 别是 多 种多 样 的． ２ ） 求解函数零点个数 问题时 ， 你 又 会 作 出 怎
子更 加 聪 明． 怎 么实 现这 个 目标 呢 ？不 同的教 师 对 此 有着 不 同 的答 案 ， 笔者 最 近参 加 了在浙 江省 镇 海 中学举 行 的宁 波市 第 ９届 特 级 教 师 带 徒 研 讨 会 活 动， 聆听了一堂题为“ 函数零点 问题选讲——选择 模 型优 化 解 法 ” 的公 开 课 ． 在这堂研讨课 中， 教 师 精选 例 题 ， 循 循善诱 ， 学生热情参 与， 探 究 气 氛 热 烈， 听课 的教师 和 专 家 都 积极 参 与 了评 课 研 讨 ， 认 为 教师 在教 学 中激 发 了学 生 的探 究 热情 ， 学 生 的课 堂 主体 地 位得 到 了充分 展 现 ， 强 调学 生 在主 动探 究
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这 种解 法 更 简 单 ， 由图 ４可 知 一
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从而避免了讨论 曲线与 曲线位置关系的麻烦．
环 节 ５ 归纳 提 升．
经过 师 生 、 生生探讨，
【 问；
都能方便给出， 但是一部分学生只考虑到如图 ５所
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结合 ２个例子 的研究 ， 教师让学生说说这堂课 所 获得 的感 悟 ， 学生 总结 为遇 到 函数零 点个 数 问题
时需要 考虑 构造 不 同的 函数模 型处理 ， 方 法应该 多 样， 不应该固守一种 ， 因题制宜 ， 遇到困境时还要综
例２ 已知 函数 ． 厂 （ ）＝ ｌ ＋３ Ｉ ， 若 方 程 ）一 ０ ｌ 一１ Ｉ ＝ ０恰 有 ４个 互 异 的实 数 根 ， 则 实 数 口的取 值范 围为一 （ ２ ０ １ ４年 天 津 市数 学 高考理科 试题 ） 教 师 给 出问题 后 ， 许 多 学生 就开 始 进行 分离 参 数 构造 函数模 型 ， 大致 有 以下 ３种构 造 方式 ： 方法 １ 直 接 构 造 函数 ｇ（ ）＝ Ｉ ＋３ Ｉ一 口 Ｉ ｘ一１ Ｉ ， 由于 分段 函数 层 次讨 论 太 多 ， 学 生思 维 受
处处 用到 这个 思想 方法 ， 目的恐 怕就 在 于让学 生 自
Ⅱ （ ） ＝ 等 ｌ 一 １ Ｉ （ 其 中ｘ ＃ １ ） ， （ ） ＝ ０ ， 显 然， 学 生
ｌ ２ ＾ ｌ
无 法 作 出 （ ） ＝ 等
中的“ 悟” ， 并对其他方 面也 给出 了中肯 的意见和 建 议． 本文 结合 这 堂课 的教 学设 计谈 谈 如何 实现 高 三 数学 复 习 的有 效 性 ， 供 大 家交 流切 磋．
１ 教 学设 计筒 录
若厂 （ ＿ 厂 （ ａ ） ） ≤ ２ ， 则实数 ａ的取值范围是一 （ ２ ０ １ ４年 浙 江省数 学高考理科 试题 ）
自问 自答 问 题 ： 我 们 在 解 题 中应 该 养 成 什 么 习 惯 呢？教 师 个 人 认 为 ： 一“ 看” 、 二“ 悟” 、 三“ 说” ， “ 悟 ”自始 至终 贯 穿 整 堂课 的 核 心 （ 引导 学 生 感 悟
这 堂课 的思 维 主线 ） ．
５ ． 函数厂 （ ） ： ２ ｌ ｌ ｏ ｇ 。 ． 一 １ ｌ 的零点个数为