吉林市第一实验中学届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)

吉林省吉林市第一实验中学2015届高三
第二次模拟考试（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. ，{}1,B m =，A B A = ，则=m
A ．0或3
B ．0
C ．1
D ．1或3 【知识点】子集的性质，补集的运算，元素的互异性
【答案解析】A 由A B A = 可知B 是A 的真子集，所以3m =，0m =满足. 【思路点拨】解题时注意A B A = 的形成的集合关系和集合的互异性. 2．已知i 为虚数单位，若复数
则a b += A ．i - B ．i C ．1- D ．1 【知识点】复数的概念和运算
【答案解析】D 1.a b += 【思路点拨】分母实数化后分别确定该复数的实部和虚部. 3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是
A.1()2
x
y = B.sin y x = C.3y x = D.12
log y x =
【知识点】函数的单调性和奇偶性的判断
【答案解析】C 由奇函数条件排除A,D ，而sin y x =单调性周期性变化，排除B. 【思路点拨】四个函数均为熟悉的函数，记住图象就能迅速判断. 4．已知,αβ为两个平面，且αβ⊥，l 为直线．则l β⊥是l α的
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【知识点】 基于线面平行与垂直的充分必要条件的判断 【答案解析】D l
α不一定推出l β⊥；而若l β⊥，则l α或l α⊂.因此l β⊥是l α
的既不充分也不必要条件.
【思路点拨】在αβ⊥的前提下，分别研究l β⊥和l
α两个条件产生的结果.
5
A
B ．3 C
D
【知识点】双曲线方程、渐近线及其离心率的运算
【答案解析】C
2
2
1
m =
，所以2
2m =
，c e a ==== 【思路点拨】根据焦点坐标的位置确定相应的,,.a b c
注意c e a ===运算方式的选择.
6
2x 项的系数为
A ．8
B ．4
C ．6
D ．12 【知识点】二项式定理及二项展开式指定项的系数 【答案解析】
A 44214
422r
r
r
r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，1222428,T C x x ==所以2
x 项的系数为8. 【思路点拨】熟练掌握1r
n r r
r n T C a b -+=的应用,并注意二项式系数与某项的系数的区别与联
系.
7
A D 【知识点】诱导公式、倍角公式的应用.
【答案解析】C 211cos 211sin 2223cos .24223παπαα⎛⎫+-+
⎪+⎛⎫⎝⎭-===
= ⎪⎝
⎭ 【思路点拨】利用倍角公式2cos22cos 1αα=-进行转化，
再利用诱导公式()cos cos αα-=,cos sin 2παα⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
即得. 8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A ．－3 B ．－1
2 C ． 1
3 D ． 2 【知识点】程序框图的识别与判断
【答案解析】B 研究数对(),i S 的规律，不难发现运算 结果如下：
()()()111,32,3,4,25,3...23⎛⎫⎛⎫
-→-
→→→-→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
显然由201450342=⨯+得最终输出的结果为12
-
. 【思路点拨】由
11S
S
+-这一结构可以联想到周期性运算，从而通过判断周期解决. 9．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤= A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.477 【知识点】正态曲线的性质的应用
【答案解析】A ()()22122120.0230.954.P P ξξ-≤≤=->=-⨯=
【思路点拨】计算服从正态分布的随机变量在某区间的概率，可以借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的区间上.
10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形, 则该几何体的侧面积为
A
B C ．122π+ D
．64π+
【知识点】 几何体的三视图与侧面积运算
第10题图
【答案解析】C 由三视图可知该几何体的底面形状为中心角为60︒的扇形，其高为3，所以侧面积为22
2323122.6
ππ⨯⨯⨯+
⨯=+ 【思路点拨】解决本题的关键是根据三视图画出该几何体的直观图，并把相应数据与之对应. 11．若函数()2sin ([0,])f x x x π=∈在点P 处的切线平行于函数在点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率
A ．1
B
C
D ．2
【知识点】函数的导数与切线的斜率以及函数的最值应用 【答案解析】C ()[]'
2cos ,0,f
x x x π=∈，则()'max 2f x =；
()()1
1'
2
2
,0,,g x x x x -=+∈+∞则()'
min 2g x =.
若两切线平行，必有2cos 2x =且1
1
222x x -+=，求得()0,0P ,81,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，8
.3PQ k =
【思路点拨】斜率相等的突破口是比较两个导函数的最值，然后分别确定()0,0P ,81,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再利用斜率公式求得结果.
12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，c b =，若点O 是ABC ∆外一点，θ=∠AOB (0)θπ<<,22OA OB ==，平面四边形OACB 面积的最大值是
A B C ．3 D 【知识点】正弦定理、余弦定理的应用、三角函数的性质与最值.
sin cos sin sin cos ,B A A A B =- ()()sin sin ,sin sin ,,B A A C A C A π+=-==因此ABC ∆为正三角形.
设该三角形的边长为a ，则
)222112sin sin 1222cos 2sin 24434OABC S πθθθθ⎛
⎫=⨯⨯+=++-⨯=-+ ⎪⎝⎭
显然当56πθ=
时()min OABC S
【思路点拨】利用正弦定理和三角形的内角关系化简即可得三角形为等边三角形，为下一步简化运算铺平的道路，表示出四边形ACBO 面积后利用正弦函数的值域即可确定出面积最大值．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

13．已知实数,x y 满足11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为 .
【知识点】线性规划与函数的最值
【答案解析】5.确定可行域为点()()111,1,,,2,122⎛⎫--- ⎪⎝⎭
形成的三角形，则2z x y =-过
()2,1-时取到最大值为5.
【思路点拨】依据不等式组先确定变量所在的可行域，再根据目标函数的特点和相应直线的平移确定.
14．已知函数4log ,0()3,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则【知识点】分段函数的函数值 【答案解析】
13 114f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()11
1.43f f f ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【思路点拨】依据分段函数对应区间确定.
15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则PA ＋PO 的最小值是______. 【知识点】抛物线的方程与性质和对称问题中的最小值
【答案解析】 如图，可求()2,4A -,再求()2,4A -关于抛物线的准线2x =的对称
点()'
6,4A ，因此'PA PO PA PO +=+，当',,O P A 三点共线时
PA PO
+取到最小值，
即
(
)
'
min
PA PO AO +===
【思路点拨】此类问题通常采用抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等这一特点来实现等量转化，但本题关于直线确定对称线段从而实现等量转化.
16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.
【知识点】基于正方形的平面向量的线性运算
以A 为坐标原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则
()()()1,0,1,1,0,1,0,0,
2E C D A ⎛⎫
⎪⎝⎭
设()cos ,sin P θθ，则()()1,1cos ,sin 1,12
λμθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，
解得2sin 2cos 3,2cos sin 2cos sin θθλμθθθθ-=
=++，所以3sin 312cos sin θλμθθ++=
-+. 由于0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，当cos 1,sin 0θθ==时，()min
1.2λμ+= 【思路点拨】建立直角坐标系，把涉及向量分别用坐标表示，通过坐标运算得到关于,λμ的方程组，分别求出,λμ，再把λμ+转化为关于变量θ的三角函数.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足首项为12a =，12n n a a +=，*()n ∈N ．设23log 2n n b a =- *()n ∈N ，数列{}n c 满足n n n b a c =．
（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．
【知识点】等差等比数列的判定、错位相减法求数列的前n 项和. 【答案解析】 （Ⅰ）由已知可得，1
12n n n a a q
-==，
23log 22n n b =- ,
23-=∴n b n ,31=-+n n b b
}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==.
（Ⅱ）(32)2n
n n n c a b n ==-⋅,
23124272......(32)2n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ①
23412124272......(35)2(32)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②
① - ② 得
234123[222......2](32)2n n n S n +-=+++++--⋅ ,
110(53)2n n +=-+-⋅ ,
∴1
10(53)2
n n S n +=--⋅ .
【思路点拨】根据数列递推关系的特点构造符合等差数列（或等比数列）的结构式，从而根据定义进行判断.使用错位相减法时要特别注意被乘式子的尾项处理. 18．（本小题满分12分）
“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手
多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位:岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
⨯列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？（Ⅰ）写出22
说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
=+++）
其中n a b c d
【知识点】独立性检验与离散型随机变量的分布列
【答案解析】18. 解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到
>
∵3 2.706
∴有10.10-=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关． （Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000
,
ξ的分布列为
.
【思路点拨】通过二维条形图得到列联表后计算2K 与临界值表进行比对，确定结果. ξ的所有可能取值是研究分布列的关键，也是求相应概率的依据. 19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，，D 是棱1CC 上的一
点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ．
（Ⅰ）求证：D C CD 1=；
（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．
【知识点】 线面平行的判定与性质、利用空间向量方法确定二面角的大小. 【答案解析】（Ⅰ）连接1B A 交1BA 于O
∵1PB ∥平面1BDA ，1B P ⊂面1AB P ， 面1AB P
面1BA D OD = ,
∴1B P ∥OD 又O 为1B A 的中点， ∴D 为AP 中点∴1C 为1A P 中点 , ∴1ACD PC D ∆≅∆∴D C CD 1=. （Ⅱ）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，,
∴AB AC ⊥ .
以1A 为坐标原点，以11A B , 11A C 1A A 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。

由（Ⅰ）知1C 为1A P 中点,
∴点11,,,A B D P 坐标分别为1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，，(0,2,0)P . 设平面11A B D 的法向量(,,)m x y z =, ∵11m A B ⊥且1m A D ⊥,
取2z =,∴(0,1,2)m =- ,
同理,平面1PB D 的法向量(2,1,2)n =. 设二面角11A B D P --平面角为θ, 5
5||||
m n m n ⋅=
-
. 【思路点拨】（I ）在平面1BDA 内寻找直线被1PB 平行，而直棱柱侧面为矩形恰好提供了便利.(II)依据直棱柱的棱长数据可以判断垂直关系，为建立空间直角坐标系提供了依据，再按照向量方法去处理. 20．（本小题满分12分）
的右焦点为(1,0)F ，离心率，,A B 是椭圆上的动
点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）若直线OA 与OB 的斜率乘积动点P 满足OP OA OB λ=+, （其中实数λ为常数）。

问是否存在两个定点1F ,2F ，求1F ,2F 的坐标，若不存在，说明理由．
【知识点】椭圆标准方程的确定和定义、求曲线方程的一般方法以及平面向量的坐标运算.
【答案解析】20. 解：（I
,
又222b
a c =-，∴21
b =，
（II ）设(),P x y ,()11,A x y ,()22,B x y , 则由OP OA OB λ=+得
()()()1122,,,x y x y x y λ=+,
即1212,,x x x y y y λλ=+=+ 因为点,A B 在椭圆2222x y +=上， 所以221122x y +=,22
2222x y +=,
故()()2
2
222
1212121222222(2)x y x x y y x x y y λλλλ+=+++=+＋＋.
设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率， 由题设条件知12121
2
OA OB y y k k x x ⋅=
=-,因此121220x x y y +=， 所以2
2
2
222x y λ+=＋,
所以P
设该椭圆的左、右焦点为1F ,2F ，
又c
因此两焦点的坐标为(
)1F
，)2
F
所以存在两个定点()1
F
，)2
F ,
【思路点拨】利用平面向量的坐标运算把动点P 的坐标用A,B 两点的坐标分别表示，然后根
据斜率关系消去A,B
再根据椭圆方程的定义确定.
21．（本小题满分12分） 已知函数
()(2)(1)2ln f x a x x =---，()1x g x e x =-+.（a 为常数，e 为自然对
数的底， 2.71828e ≈）
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间上无零点，求a 的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的(]00,1x ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得
0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的最值及参数的取值范围.
【答案解析】（Ⅰ）当1a =时，()12ln (0)f x x x x =-->则令'()0f x >得2x >；令'()0f x <得02x <<
故()f x 的单调递减区间为(]0,2，单调递增区间为[)2,+∞ . （Ⅱ）∵函数()0f x <在区间 故要使函数()f x 在区间，()0f x >恒成立,
.
,
故函数()m x 在区间
即'()0l x >， ∴函数()l x 在区间, 故只要24ln 2a ≥-函数()f x 在区间 所以min 24ln 2a =-.
（Ⅲ）∵'
()1x
g x e =-，当(]0,1x ∈，'
()0g x >，
∴函数()g x 在区间(]0,1上是增函数,
∴(]()2,g x e ∈.
当2a =时，()2ln f x x =-，不符题意
当x 变化时，'(),()f x f x 变化情况如下：
又因为0x →时，()f x →+∞，
, 所以，对于给定的(]00,1x ∈，在在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使
得
0()()i f x g x =成立，当且仅当满足下列条件
②(2)(1)2a e e ---≥③
故(,0)a ∈-∞时，'
()0h a >，函数()h a 单调递增；
，函数()h a 单调递减.
，()(0)02h a h ≤=≤.
由③，由①④时，在(]0,e 上总存在两个不同的
(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立 .
【思路点拨】函数()f x 在区间,，()0f x >恒成立，
从而研究函数才变得更有意义。

第三问要对
()(2)(1)2ln f x a x x =---先进行讨论，当2a =时，不满足条件。

22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，已知
AB AC =.
（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //.
【知识点】圆的切割线定理、相似三角形的性质和平行线的判定方法. 【答案解析】 （Ⅰ）∵AB 是⊙O 的一条切线，AE 为割线， ∴2AB AD AE =⋅， 又∵AB AC =， ∴2AC AD AE =⋅；
∵∠EAC=∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE ， ∴∠ADC=∠ACE ，
∵∠ADC=∠EGF ，∴∠EGF=∠ACE ， ∴GF ∥AC 。

【思路点拨】(I) 从证明结论入手逆推可选用切割线定理；（II ）第一问的结论成为证明相似
三角形的必备条件，进而从等角入手判断直线平行关系. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 的圆心
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； ，直线l 的参数方程为⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C 于A B 、两点，求弦长
【知识点】直角坐标和极坐标互化、直线的参数方程的的应用 【答案解析】（Ⅰ）设圆上任意一点坐标(),ρθ，由余弦定理得：
整理得：()01sin cos 22=-+-θθρρ.
（Ⅱ）∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴222210x y x y +---= , 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：
22(2cos )(2sin )2(2cos )2(2sin )10t t t t αααα+++-+-+-= ,
整理得：2(2cos 2sin )10t t αα++-= , ∴12122cos 2sin ,1t t t t αα+=--⋅=-,
,
. 【思路点拨】（I ）利用余弦定理得到关于(),ρθ的圆的极坐标方程；（II ）先把圆的极坐标方程转化为普通方程，再结合直线参数方程中参数的意义确定弦长. 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2|,*f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且
，求证：239a b c ++≥．
【知识点】解不等式与参数的确定、基本不等式的应用 【答案解析】（Ⅰ）因为(2)||f x m x +=-， 所以(2)0f x +≥等价于||x m ≤，
由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为}{
|x m x m -≤≤． 又(2)0f x +≥的解集为[]1,1-，故1m =． ，又,,a b c R +∈，
． ∴239a b c ++≥
【思路点拨】（I ）求出以m 为参数的不等式的解集，然后与[]1,1-相对应确定m 的值;(II)通过恒等变形形成适合运算的结构，也可以乘开后利用基本不等式.。