进动、章动、自转

第7节 进 动
一、 进动现象：高速旋转物体的自转轴绕着铅直轴转动
Ω
二、 理论分析：刚体定点转动 )
dt + M dt L d r r = ωr r I t L =)( 自旋角动量>>
进动角动量
t ，ωr r I t L =)(，G r M r r r ×=
ϕϕ
πsin )sin(mgb
mgb M =−= 方向 ，，dt dt M L d r r = O 的距离
，dt t +L d t L dt t L r r r +=+)()( M L d r r //，L M r r ⊥，L L d r r ⊥，)()(t L dt t L r r =+，只是L 的方向变化
进动的方向：L r 的末端点总是沿着M r 指引的方向进动 θϕd L L d sin =r ，Mdt L d =r ，Mdt d L =θϕsin
进动的角速度ωϕωϕ
ϕθ
I mgb
I mgb L M
dt d ====Ωsin sin sin ，（Ω>>ω）
与ϕ角无关 r ↑ω，， ↑L ↓Ω 来复线 C r
例：光滑水平面内，OA ?=B
，s m V A /4=OA V A ⊥ m OA d 5.0==，V B ⊥求： ?=B L ?=B V 解：=
d mV L L A B A ==1215.045.0−=××s kgm l mV L =，111
−===ms L V B
例：先使小球做半径为0r 向下拉绳子，使运动半径降为 1r 求：（1）此时小球的1ω、 1V （2）小球由，拉力的功
10r r →解：（1）小球对O 点角动量守恒
1100r mV r mV =，0101V r r V =，21
00
111r r =ω （2）拉力的功
20212
121mV mV E A K −=∆= =)1(2121
2020−r r mV 例：证明 A
B B A A A A A B a r g r r a g r m Ja m 22)(−++=
证明：B B B B a m T g m =− （1） A A A A a m g m T =− （2） βJ r T r T A A B B =− （3） βB B r a = （4） a βA A r a = （5）
m A
B B A A A A A B a r g r r a g r m Ja m 22)(−++=
例：空心圆环可绕竖直轴自由转动 AC 转动惯量，半径为0I R ，初角速0ω 质量为m 的小球原来静止于点
A 由于微小振动向下滑动，环内壁光
B 滑，求小球滑致B 、
C 两点时环的 角速度和小球相对环的速度
B 解：B ：2
0002000mR I I mR I I +=⇒+=ωωωωω )(2
1212122220200R V m I mgR I B ωωω++=+ 2022002mR
I R I gR V B ++=ω ：C 0000ωωωω=⇒=I I
111
例：以恒力将一块粗糙平面压紧在
F r 轮子上，平面与轮子之间的摩擦
系数为µ，轮子初角速度0ω 求：转过多少角度时轮子停止转动？ 解：，dS 2R F π，2R F
πdS µ=df 2R
F
πdS f d r M d r r r ×= µr rdf dM ==2R F
πdS ∫∫==rdS R F dM M 2πµ∫∫=πµR F
2 ∫∫==R d dr r R F 02022π
θπµFR R R F µππµ3
2
31232=
mR F
mR FR I M 3421322µββµβ−=⇒=−⇒=−
，θβωω∆=−2202F mR µωβωθ8322
20=−=∆
或：20210ωθI M −=∆−，F mR M I µωωθ83220
20==∆
例：整个系统在光滑 ?
=
水平面内 OB OA ⊥ l 子弹射中木块并
0V r
嵌入其中 m 求：木块在B 点的?=B V r
A 解：（1）A V M m mV )(0+=，M m mV V A +=0
（2）2
022)(21
)(21)(21l l k V M m V M m B A −++=+
M m l l k M m mV V B +−−+=2
020)
()(
θsin )()(0l V m M l V m M B A +=+ 2
02
020
00)()(sin l l k M m V m l l mV l V l V B A −+−==θ
例：圆盘（m 、R ）可绕通过其中
心的竖直光滑轴转动，有一人 静止（）站在处 10/m m =′2/R 开始圆盘载人以匀角速0ω转动 如果此人沿垂直半径方向相对 0 圆盘以速率V 作圆周运动，运
动方向与圆盘转动方向相反
求：（1）圆盘对地的角速度
（2）欲使圆盘静止，人沿圆周对圆盘的速度大小及方向
2/R 解：（1）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+−′+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′+ωωω2/)2(21)2(2122022R V R m mR R m mR R
V 2120+=ωω （2）2
2100R V ωω−=⇒=，方向与圆盘转动方向相同
例：大轮（M 、R ）可绕其轴 无摩擦转动，初角速0ω 小轮（m 、r ）可绕其轴 无摩擦转动，开始静止 求：两轮接触后最后的角速度 解：r R ω=Ω
大轮：∫−=−Ω=
−t
fRt MR MR fRdt 0
0222
121ω 小轮：frt mr frdt t ==
∫022
1ω
ft MR MR −=−Ω02
121ω ft mr =ω2
1 00=+−Ωωωmr MR MR
M
m M +=Ω0ω，M m M r R +=0ωω
撞后木块滑行的距离，（µ解：第一阶段：机械能守恒 2(31
21
022l
Mg Ml −+⋅=ω l g /3=ω
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） mVl Ml Ml +′=ωω2231
31
=lV m M )31
(+，l V ω′=
gl m M M
m M l
M V 333+=+=ω
第三阶段：木块匀减速运动
g m mg
m f
a µµ===
µ23)3(222l
m M M
a V s ⋅+==
或221
0mV fs −=−
µµ23)3(3)3(21212
22l
m M M mg gl
m M M
m f mV s ⋅+=+==。