[原创精品]2012届高三数学文二轮复习课时作业7

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课时作业7
三角函数的图象与性质
时间：45分钟分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π
2个单位，若所得图
象与原图象重合，则ω的值不可能
．．．等于() A．4B．6
C．8 D．12
解析：由题意得：sin[ω(x＋φ
ω＋π
2)]＝sin(ωx＋φ)，则
π
2
ω＝2kπ，
k∈Z，
∴ω＝4k，k∈Z，而6不是4的整数倍，
故应选B.
答案：B
2．将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移π
4个单位，所得图象
的解析式是()
A．y＝cos2x＋sin2x B．y＝cos2x－sin2x C．y＝sin2x－cos2x D．y＝cos x sin x
解析：函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移π
4个单位，所得图象
的解析式是y＝sin2(x＋π
4)＋cos2(x＋
π
4)＝sin(2x＋
π
2)＋cos(2x＋
π
2)＝
cos2x－sin2x.
答案：B
3．函数y＝cos2(x＋π
4)－sin
2(x＋
π
4)的最小正周期为()
A.π4
B.π
2
C ．π
D ．2π 解析：y ＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)＝cos(2x ＋π
2
)＝－sin2x ，T ＝π.
答案：C
4．函数f (x )＝tan x ＋1tan x ，x ∈{x |－π2<x <0或0<x <π
2
}的图象为
( )
解析：∵f (－x )＝tan(－x )＋1
tan (－x )
＝－tan x －1
tan x
＝－f (x )，
∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 、C.
当0<x <π
2
时，f (x )>0，排除D.
答案：A
5．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π
3
对称的
是( )
A ．y ＝sin(2x ＋π6)
B ．y ＝sin(x 2＋π
3)
C ．y ＝sin(2x －π3)
D ．y ＝sin(2x －π
6
)
解析：由最小正周期为π，可知ω＝2π
π＝2.
对于y ＝sin(2x －π6)，当x ＝π3时，y ＝sin(2×π3－π
6)＝1，
可知直线x ＝π
3
是其一条对称轴．
答案：D
6．已知函数y ＝3sin ωx (ω>0)的周期是π，将函数y ＝3cos(ωx －π2)(ω>0)的图象沿x 轴向右平移π
8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则函数y ＝f (x )的单调增区间是( )
A ．[kπ－π
8，kπ＋3π8
](k ∈Z)
B ．[kπ－π4，kπ＋π
4](k ∈Z)
C ．[2kπ－π8，2kπ＋π
8
](k ∈Z)
D ．[2kπ－π
8，2kπ＋3π8
](k ∈Z)
解析：∵函数y ＝3sin ωx (ω>0)的周期是π，
∴ω＝2，∴y ＝3cos(2x －π
2
)＝3sin2x ，
∴f (x )＝3sin(2x －π
4
)，
由2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π
2
(k ∈Z)得，
kπ－π
8≤x ≤kπ＋3π8
(k ∈Z)，
∴函数y ＝f (x )的单调增区间是
[k π－π
8，kπ＋3π8](k ∈Z)．
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．将函数y ＝2sin2x 的图象向右平移π
6
个单位后，其图象的一
条对称轴方程可以是________．
答案：符合x ＝5π12＋kπ2，k ∈Z 即可，如x ＝5π
12
等．
8．设定义在区间(0，π
2
)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的
图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．
解析：设P (x 0，y 0)，则由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 0＝6cos x 0
y 0＝5tan x 0
消去y 0得，6cos x 0＝5tan x 0⇒6cos 2x 0＝5sin x 0，即6sin 2x 0＋5sin x 0
－6＝0，解得sin x 0＝－32(舍去)或2
3
，
∵PP 1⊥x 轴，且点P 、P 1、P 2共线，
∴|P 1P 2|＝sin x 0＝2
3
.
答案：2
3
9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π
3
)
有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：∵f (π6)＝f (π3)且f (x )在(π6，π
3)上只有最小值而无最大值．
∴f (x )在x ＝π
4时取最小值．
且区间(π6，π
3)的长度小于半个周期．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
ω·π4＋π3＝2kπ－π2(k ∈Z )π3－π6<12·2πω
，
∴⎩⎨⎧
π4
·ω＝2kπ－56π(k ∈Z )
ω<6
，
∴当k ＝1时符合题意，此时ω＝143
. 答案：14
3
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2
)的图
象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．
图1
(1)求f (x )的解析式及x 0的值；
(2)若锐角θ满足cos θ＝1
3
，求f (4θ)的值．
解：(1)由题意可得A ＝2，T
2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12
.
f (x )＝2sin(1
2x ＋φ)，f (0)＝2sin φ＝1，
由|φ|<π2，∴φ＝π6
.
f (x 0)＝2sin(12x 0＋π
6
)＝2，
∴12x 0＋π6＝2kπ＋π
2，x 0＝4kπ＋2π3
(k ∈Z)， 又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π
3
.
(2)f (4θ)＝2sin(2θ＋π
6)＝3sin2θ＋cos2θ，
∵θ∈(0，π
2)，cos θ＝13，∴sin θ＝223
.
∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin2θ＝2sin θcos θ＝42
9
.
∴f (4θ)＝3×429－79＝469－7
9
.
11．(15分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )
＝a ·b ＋3
2
.
(1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x ≤π
2
时，求函数f (x )的值域．
解：(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋3
2
＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π3)， 所以f (x )的最小正周期为π.
令sin(2x －π3)＝0，得2x －π
3＝kπ，
∴x ＝kπ2＋π
6
，k ∈Z.
故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π
6
，0)(k ∈Z)．
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3.
∴－32≤sin(2x －π
3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]．
图2
12．(15分)(2011·上海联考)如图2所示，已知定义在区间[－π，3π2]上的函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4
时，f (x )＝－sin x . (1)作出y ＝f (x )的图象； (2)求y ＝f (x )的解析式；
(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．
解：
图3
(1)y ＝f (x )的图象如图3所示．
(2)任取x ∈[－π，π4]，则π2－x ∈[π4，3π
2
]，
因函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f (π
2
－x )，
又当x ≥π
4时，f (x )＝－sin x ，
则f (x )＝f (π2－x )＝－sin(π
2
－x )＝－cos x ，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－cos x ，x ∈[－π，π4)，
－sin x ，x ∈[π4，3π
2].
(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π
2
；
当a ∈(－1，－22)时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π
4
<x 3<x 4，
由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；
当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π
4
<x 3，由对称性得x 3
＋x 1＝π
2，则M a ＝3π4
；
当a ∈(－2
2
，1]时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝
π2
.
综上，当a∈(－1，－
2
2)时，M a＝π；
当a＝－
2
2时，M a＝
3π
4；
当a∈(－
2
2，1]∪{－1}时，M a＝
π
2.。