(课标通用)北京市2020版高考数学大一轮复习 第二章 8 第八节 函数与方程夯基提能作业本

第八节函数与方程
A组基础题组
1.（2016北京朝阳期末）下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( ）
A.f（x）=
B.f（x)=
C.f（x)=e x
D.f(x)=sin x
答案 D A、C为非奇非偶函数,B为奇函数,但不存在零点，故选D。

2。

若函数f（x）=ax+6的零点为1，则函数g(x）=x2+5x+a的零点是（）
A.-6 B。

6 C。

6，—6 D.1，—6
答案 D ∵函数f（x）=ax+6的零点为1,
∴a+6=0,a=-6，
∴g（x）=x2+5x—6=（x—1)(x+6),
令g(x)=0，得x=1或x=—6，
故函数g(x)=x2+5x+a的零点是1和-6.
3.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x）=k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( ）
A.(0,+∞)B。

（-∞，1) C.（1，+∞)D。

（0,1]
答案 D 作出函数y=f（x）与y=k的图象，如图所示:
由图可知k∈(0,1],故选D。

4.(2017北京朝阳一模)已知函数f（x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是（）
A。

[-1，0）B.（1，2］C。

(1,+∞）D。

(2，+∞)
答案 C 当x≤2时，令f(x）=-x2+4x=0，得x=0或x=4(舍去),即x≤2时, f（x)有一个零点.
当x〉2时， f(x)=log2x—a是增函数，
由题意知x〉2时， f（x）必有一个零点,
故a=log2x(x〉2）,∴a>1.
故选C。

5.已知函数f(x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时, f(x）=x2-2x,若函数g(x）=f（x）-m （m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是。

答案(—1,0)
解析画出函数f（x）的图象如图所示，若函数g（x）=f(x）—m（m∈R)恰有4个零点,则函数f（x）的图象与直线y=m有4个交点,由图易得m的取值范围为（-1，0）。

6。

（2016北京东城一模）已知函数f（x）=
（1)若f（f(—1)）=0，则实数a= ；
（2)在（1）的条件下,若直线y=m与y=f(x）的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是。

答案(1）—1 （2)（—∞，0)∪［1,+∞）
解析（1）f(f（—1）)=f（2）=a+1=0，∴a=—1。

（2)在（1）的条件下画出f(x）的图象如图所示.
若y=m与y=f(x)的图象有且只有一个交点，
则m≥1或m<0.
7。

(2017北京顺义二模,14)已知函数f(x)=函数g（x)=f（x）—k。

（1)当m=2时，若函数g（x）有两个零点，则k的取值范围是;
（2)若存在实数k，使得函数g(x)有两个零点，则m的取值范围是.
答案（1)(4，8］(2)(—∞，0)∪(1，+∞）
解析(1)当m=2时， f（x)=的图象如图所示,
要使函数g（x)有两个零点,则方程f(x）-k=0有两个根，则函数f（x)的图象与直线y=k有
两个交点,由图可知4〈k≤8。

(2）可以把问题转化成函数在R上不单调，再作出图象(图略）,变化m的位置,根据图象特征可知m〈0或m>1。

8。

已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两个不相等的实数根,其中一个在区间(—1，0)内,另一个在区间（1,2)内，求m的取值范围.
解析由题意知，二次函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和（1,2）内,
如图所示,
则⇒
即-〈m<-.故m的取值范围是。

9.已知函数f(x）=—x2—2x,g（x）=
(1）求g[f(1)］的值;
（2)若方程g[f (x)]—a=0有4个实数根，求实数a的取值范围。

解析(1)∵f（1)=-12—2×1=-3，
∴g［f（1)］=g（-3)=-3+1=-2.
（2）若f(x)=t,则g[f(x）]—a=0可化为g(t)=a。

易知方程f(x）=t仅在t∈(-∞，1）时有2个不同的解,
则原方程有4个解等价于函数y=g(t)（t<1）与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g（t）（t〈1）的图象，如图所示,
由图象可知,当1≤a<时,函数y=g（t）（t<1)与y=a的图象有2个不同的交点，即所求a的取值范围是。

B组提升题组
10。

用max{a,b}表示a，b两个数中的较大数,设f（x)=max｛-x2+8x—4,log2x｝,若g（x)=f （x)-kx有2个零点,则k的取值范围是( ）
A.（0，3）
B.（0，3］
C.(0，4)
D.［0, 4］
答案 C 函数g（x)=f（x）-kx有2个零点等价于函数f(x)的图象与直线y=kx有2个交点。

在平面直角坐标系内画出函数f(x）的图象如图所示，
由图易知当k≤0时,两曲线有1个交点,所以k>0。

当k〉0且直线y=kx与函数y=-x2+8x—4在第一象限内的图象相切时,
两曲线有1个交点,联立得消去y，
整理得x2+（k—8）x+4=0，
由两曲线相切得Δ=(k—8)2-4×4=0,
解得k=4或k=12（此时两曲线在第三象限相切,舍去）。

所以k的取值范围是(0,4)，故选C.
11。

(2017北京海淀期中)已知定义在R上的函数f（x)=若方程f(x)=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（)
A.—≤a<
B.0≤a<C。

0≤a<1 D.- <a≤0
答案 A 当x≤0时，a〈f(x)≤1+a，
若a>0,当x>0时, f（x)=ln（x+a)〉ln a，
∵方程f(x)=有两个不相等的实数根，
∴即得-≤a〈，
∵a>0，∴0<a<.
若a≤0，当x〉0时,f(x)=ln(x+a）,
此时方程f（x）=有一个解，
当x≤0时, f（x）=有一个解需满足a<≤1+a,
得-≤a<，
又a≤0,∴—≤a≤0。

综上，—≤a<,故选A。

12.(2017北京丰台一模）已知函数f（x）=
（1)若a=0，x∈［0，4]，则 f（x)的值域是; (2)若f(x)恰有三个零点，则实数a的取值范围是。

答案(1)[—1,1] (2）（—∞，0）
解析（1）a=0时， f(x)=
∴f(x)在［0，1］上单调递减，在(1，4]上单调递增。

∵f（0)=0, f(1)=—1， f(4)=1,
∴f(x)在［0,4]上的值域为［-1，1]。

(2）当x≤1时，易得f(x)的零点为x=2a和x=a.
当x>1时，令f（x)=0，得=1-a,
∴x= (1—a）2（1-a〉1).
∵f（x)恰好有三个零点,
∴解得a〈0。

13。

（2017北京东城二模,14）已知函数f（x)=
①若f（x)=a有且仅有一个根,则实数a的取值范围是；
②若关于x的方程f(x+T)=f(x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是.
答案①（1,+∞)②（—4，—2)∪(2,4)
解析①如图, f(x)=
由图可知，若f（x)=a有且仅有一个根，则a∈(1,+∞).
②T〈0时,如图，A'（1-T，0),∴3〈1—T〈5⇒—4〈T〈-2.
T〉0时，如图,B'（5-T,0),∴1<5-T<3⇒2〈T<4。

综上，实数T的取值范围为（-4，-2）∪（2,4）.
14.(2017北京石景山期末，14)已知函数f(x)=
(1)方程f(x）=-x有个实根；
(2）若方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是.
答案（1）1 （2)
解析（1)函数f(x)=与y=—x的图象如图:
观察图象可知方程f(x）=—x有1个实根。

（2)∵方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,
∴y=f（x)与y=ax的图象有2个不同的交点,
x>1时,f ’（x）=，
当y=ax与f（x)（x〉1）相切时,
设切点为(x0，y0），则切线方程为y-y0=(x—x0），又切线过原点,
∴y0=1,x0=e,此时，y=ax的斜率为，
又∵直线y=ax与y=x+1平行时，直线y=ax的斜率为，∴实数a的取值范围是。

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