新北师大版八年级数学下册第4章 因式分解 同步单元试题及答案

第4章因式分解
一．选择题（共10小题）
1．若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（）A．m＝4，n＝8B．m＝﹣4，n＝8C．m＝4，n＝﹣8D．m＝﹣4，n＝﹣8 2．计算9992+999的结果是（）
A．999999B．999000C．99999D．99900
3．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）
A．2种B．3种C．4种D．5种
4．多项式9a2x2﹣18a4x3各项的公因式是（）
A．9ax B．9a2x2C．a2x2D．a3x2
5．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知ab＝2，a﹣3b＝﹣5，则代数式a2b﹣3ab2+ab的值为（）
A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12
7．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）
A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）
C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）
8．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（）
A．3整除B．4整除C．6整除D．8整除
9．下列各式变形中，是因式分解的是（）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．2x2+2x＝2x2（1+）
10．若m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+2019的值为（）
A．2020B．2019C．2021D．2018
二．填空题（共6小题）
11．在实数范围内分解因式：3x2﹣6＝．
12．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为．13．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．
14．分解因式：x2﹣6x+9＝．
15．因式分解：x2y﹣4y3＝．
16．已知：x2+4y2+z2＝9，x﹣2y+z＝2，则2xy+2yz﹣xz＝．
三．解答题（共9小题）
17．分解因式：
（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
18．用简便方法计算：123×6.28+628×1.32﹣15.5×62.8．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．20．因式分解：﹣p（q+r﹣1）﹣q（r+q﹣1）+（1﹣q﹣r）2．
21．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你选出两个进行加（或减）运算，使所得结果是一个多项式且可以因式分解，并将结果进行因式分解．
22．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②
所以c2＝a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣2x＝y
原式＝y•（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4
请你模仿以上方法对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解．
24．问题背景：对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：x2﹣140x+4756；
（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．
25．提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图（1）所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab ＝x2+（a+b）
x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，
常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成图（2）中的两个﹣4x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14
（3）综合运用：灵活运用知识进行因式分解：x3﹣7x+6
参考答案一．选择题（共10小题）
1．
C．
2．
B．
3．
D．
4．
B．
5．
B．
6．
B．
7．
A．
8．
B．
9．
B．
10．
A．
二．填空题（共6小题）
11．
3（x+）（x﹣）．
12．
120
13．
9．
14．
（x﹣3）2
15．
y（x﹣2y）（x+2y）．
16．
．
三．解答题（共9小题）
17．解：（1）原式＝﹣3（a2﹣2ab+b2）＝﹣3（a﹣b）2；
（2）原式＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
18．解：123×6.28+628×1.32﹣15.5×62.8
＝6.28×（123+132﹣15.5×10），
＝6.28×（123+132﹣155），
＝628．
19．解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）20．解：﹣p（q+r﹣1）﹣q（r+q﹣1）+（1﹣q﹣r）2＝﹣p（q+r﹣1）﹣q（q+r﹣1）+[﹣（q+r﹣1）]2
＝﹣p（q+r﹣1）﹣q（q+r﹣1）+（q+r﹣1）2
＝（q+r﹣1）（﹣p﹣q+q+r﹣1）
＝（q+r﹣1）（﹣p+r﹣1）．
21．解：答案不唯一，如：
（x2+2xy）﹣（y2+2xy），
＝x2+2xy﹣y2﹣2xy，
＝x2﹣y2，
＝（x+y）（x﹣y）．
22．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；
（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），
移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，
因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．
23．解：（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4
设x2﹣4x＝y，则
（y+2）（y+6）+4
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
故原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．
24．解：（1）x2﹣140x+4756
＝x2﹣2×70x+702﹣702+4756
＝（x﹣70）2﹣144
＝（x﹣70）2﹣122
＝（x﹣70+12）（x﹣70﹣12）
＝（x﹣58）（x﹣82）；
（2）∵一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，
∴这个长方形的长是：（a2+8ab+12b2）÷（a+2b）＝（a+2b）（a+6b）÷（a+2b）＝a+6b，即这个长方形的长是a+6b．
25．解（1）x2﹣5x﹣24
＝（x﹣8）（x+3）
（2）3x2﹣19x﹣14
＝（3x+2）（x﹣7）
（3）解法一：
x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6
＝（x3﹣x）﹣（6x﹣6）
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）[x（x+1）﹣6]
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）
解法二：
x3 ﹣7x+6＝x3﹣x2+x2 ﹣7x+6
＝x2（x﹣1）+x2 ﹣7x+6
＝x2（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣6）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）。