直角三角形全等的判定课件(浙教版)
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∵ AB=A’B’，AC=A’C’
∴ BC²=B’C’ ²
∴ BC=B’C’ ∴三角形全等
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等（简写成“斜边、
直角边”或“HL”）
例：已知P是∠ AOB内部一点，PD ┴ OA， PE ┴ OB
D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在∠ AOB的平分线上。请说明理由。
解作射线OP ∵ PD ┴ OA，PE ┴ OB， ∴ ∠ PDO= ∠ PEO=RT ∠
∵又OP=OP，PD=PE ∴ RT Δ PDO ≌ RT Δ PEO
（HL） ∴ ∠ 1= ∠ 2，即点P在∠
AOB的平分线上。
角的内部，到角的两边距离相等的点 ， 在这个角的平分线上
练习1如图，在Δ ABC中，D是BC的中点， DE ┴ AB于E，DF ┴ AC于F，且DE=DF，
1. 作一个三角形使得它满足， BC=2.5cm，AC=3.5cm，∠A=40° .
C
C
A 40°
B
40°
A
B
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等
2.已知线段a、c(a﹤c)
a
画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，
c
一直角边CB=a，斜边AB=c.
画法：1.画∠MCN=90 °.
N
2.在射线CM上取CB=a.
A
3.以B为圆心，c为半径画弧，
c
交射线CN于点A.
4连结AB .
MB a C
△ABC就是所要画的直角三角形.
从上面画直角三角形中，你发现了什么？
斜边与一条直角边长一定时，所画的直角三角形 就是唯一的。
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个三角 形全等（可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”）
侧。
解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 ° ∴ BCB’在同一直线上，AC ┴ BB’
∵ AB=A’B’ ∴ BC=B’C’（等腰三角形三线合一）
∵ AC=A’C’（公共边） ∴ RTΔABC ≌ RTΔA’B’C’（SSS）
（你还有其他方法吗？）
∵ AB²=BC²+AC²，A’B’ ²=B’C’ ²+A’C’ ²（勾股定理） ∴ BC²=AB²-AC²，B’C’ ²=A’B’ ²-A’C’ ²
如图∠C= ∠D=Rt ∠ ，要证明△ACB≌ △BDA ， ，应补充什么条件？把它们分别写出来。
CHale Waihona Puke DAB小结
1直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应 用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形 特殊的判定方法——“HL”公理。
2角的内部，到角的两边距离相等的点 ， 在这个角的平分线上）。
则AB=AC。说明理由。
解∵ DE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ （垂直意义） ∵ DE=DF（已知）
∵ BD=CD（中点意义）
∴ RT Δ BDE ≌ RT Δ CDF（HL）
∴ ∠ B= ∠ C（全等三角形对应角相等） ∴ AB=AC（等角对等边）
练习2如图，已知CE ┴ AB，DF ┴ AB，AC=BD， AF=BE，则CE=DF。请说明理由。
解∵ CE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
∴ ∠ AEC= ∠ BFD=RT ∠ ∵ AF=BE （已知） 即AE+EF=BF+EF AE=BF ∵ AC=BD
∴ RT Δ ACE ≌ RT Δ BDF（HL）
∴ CE=DF（全等三角形对应边相等）
练习3
已知Δ ABC如图，请找出一点P，使它到三边 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）
如图在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∠ C= ∠ C’=RT ∠ AB=A’B’， AC=A’C’ 说明Δ ABC和Δ A’B’C’ 全等的理由。
分析：AC=A’C’，无论RT Δ ABC和RT Δ A’B’C’的位置如何。
我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形，如 图，即Ａ‘Ｃ’ 和ＡＣ重合，点Ｂ‘和点Ｂ分别在ＡＣ两
∴ BC²=B’C’ ²
∴ BC=B’C’ ∴三角形全等
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等（简写成“斜边、
直角边”或“HL”）
例：已知P是∠ AOB内部一点，PD ┴ OA， PE ┴ OB
D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在∠ AOB的平分线上。请说明理由。
解作射线OP ∵ PD ┴ OA，PE ┴ OB， ∴ ∠ PDO= ∠ PEO=RT ∠
∵又OP=OP，PD=PE ∴ RT Δ PDO ≌ RT Δ PEO
（HL） ∴ ∠ 1= ∠ 2，即点P在∠
AOB的平分线上。
角的内部，到角的两边距离相等的点 ， 在这个角的平分线上
练习1如图，在Δ ABC中，D是BC的中点， DE ┴ AB于E，DF ┴ AC于F，且DE=DF，
1. 作一个三角形使得它满足， BC=2.5cm，AC=3.5cm，∠A=40° .
C
C
A 40°
B
40°
A
B
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等
2.已知线段a、c(a﹤c)
a
画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，
c
一直角边CB=a，斜边AB=c.
画法：1.画∠MCN=90 °.
N
2.在射线CM上取CB=a.
A
3.以B为圆心，c为半径画弧，
c
交射线CN于点A.
4连结AB .
MB a C
△ABC就是所要画的直角三角形.
从上面画直角三角形中，你发现了什么？
斜边与一条直角边长一定时，所画的直角三角形 就是唯一的。
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个三角 形全等（可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”）
侧。
解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 ° ∴ BCB’在同一直线上，AC ┴ BB’
∵ AB=A’B’ ∴ BC=B’C’（等腰三角形三线合一）
∵ AC=A’C’（公共边） ∴ RTΔABC ≌ RTΔA’B’C’（SSS）
（你还有其他方法吗？）
∵ AB²=BC²+AC²，A’B’ ²=B’C’ ²+A’C’ ²（勾股定理） ∴ BC²=AB²-AC²，B’C’ ²=A’B’ ²-A’C’ ²
如图∠C= ∠D=Rt ∠ ，要证明△ACB≌ △BDA ， ，应补充什么条件？把它们分别写出来。
CHale Waihona Puke DAB小结
1直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应 用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形 特殊的判定方法——“HL”公理。
2角的内部，到角的两边距离相等的点 ， 在这个角的平分线上）。
则AB=AC。说明理由。
解∵ DE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ （垂直意义） ∵ DE=DF（已知）
∵ BD=CD（中点意义）
∴ RT Δ BDE ≌ RT Δ CDF（HL）
∴ ∠ B= ∠ C（全等三角形对应角相等） ∴ AB=AC（等角对等边）
练习2如图，已知CE ┴ AB，DF ┴ AB，AC=BD， AF=BE，则CE=DF。请说明理由。
解∵ CE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
∴ ∠ AEC= ∠ BFD=RT ∠ ∵ AF=BE （已知） 即AE+EF=BF+EF AE=BF ∵ AC=BD
∴ RT Δ ACE ≌ RT Δ BDF（HL）
∴ CE=DF（全等三角形对应边相等）
练习3
已知Δ ABC如图，请找出一点P，使它到三边 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）
如图在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∠ C= ∠ C’=RT ∠ AB=A’B’， AC=A’C’ 说明Δ ABC和Δ A’B’C’ 全等的理由。
分析：AC=A’C’，无论RT Δ ABC和RT Δ A’B’C’的位置如何。
我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形，如 图，即Ａ‘Ｃ’ 和ＡＣ重合，点Ｂ‘和点Ｂ分别在ＡＣ两