xxds-61

第七章二次型
二次型的问题起源于化二次曲线和二次曲面
为标准形的问题.
本章主要讨论二次齐次多项式的一些重要性质。

在解析几何中, 为了便于研究二次曲线
⎩⎨
⎧'+'='-'=.
cos sin ,sin cos θθθθy x y y x x 把方程化为标准形
.
2
2
d y n x m ='+'的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换
ax 2+ bxy +cy 2= d (I)
(I) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题.
第一节二次型及其矩阵表示
一、二次型的定义及其矩阵表示
F 12,,,n
x x x 1211(,,,),1,2,,n
n
n ij i j j i j j i i f a x x x a x i j n a x =====∑∑ （其中,）
121312111
12131222n n a a a x x x x x x x a =++++ 22222
23232222n n nn n
a x a x x a x x a x
++++++ 1、设是一个数域，以F 中的数作系数的的二次齐次多项式：
(*)
F n 称为数域上的一个元二次型，简称为二次型。

本
章讨论实数域上的二次型。

二次型(*) 可以写成
f (x 1, x 2, ···, x n ) = a 11x 12+ a 12x 1x 2+ ···+ a 1n x 1x n
+ a 21x 2x 1+ a 22x 22+ ···+ a 2n x 2x n + …………
+ a n 1x n x 1+ a n 2x n x 2+ ···+ a nn x n
2
∑∑∑===+++=n
j j
nj n n
j j j n
j j j x a x x a x x a x 1
1
221
11
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n j j nj n j j j n
j j j n x a x a x a x x x 1121121),,,( ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x
2121
222211121121),,,(
[]12,,,T n X x x x = 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
,(,1,2,,)ij ji a i j a n == 12(,,,)T
n f x x x X AX = A *2、令，，其中
，则二次型()可以写成：，此时称矩阵为二次型(*对应矩阵。

)的
注:二次型与它的矩阵是相互唯一决定的。

222123112132233
(,8,6)2f x x x x x x x x x x x x
=+++-- 33
11144
11A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎢⎣-⎦
-⎥⎥例1二次型是实数域上的 3 元二次型，它对应的矩阵为:
242
2
1234131
23
1(,,,)2452x x f x x x x x x x
x x x =++++ 12
1
220000000
21512
A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
例2二次型是实数域上的 4 元二次型，它对应的矩阵为:
二、二次型的线性替换
讨论二次型的主要问题是：
用变量的线性替换来化简二次型。

1212,,,,,,,n n y y x y x x F 11111221221122221122n n n n n
n n nn n
x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=
+++⎩ ()
**1、设是两组变量，系数在数
中的一组关系式：
域12,,,n y y y 12,,,n x x x 称为由到的一个线性替换。

如果系数矩阵：
11121212221
2
n n n n nn c c c c c c C c c c ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
0C ≠()**F = C ()**是非退化的（即），则称线性替换是非退化的或可逆的。

当时，如果系数矩阵称线性替换是正交的，正交的线性替换简称为正交是正交的，则
替换。

例如，前面我们讲过的坐标旋转公式
⎩⎨
⎧'+'='-'=,
cos sin ,sin cos θθθθy x y y x x 是一个线性替换，且
,
01cos sin sin cos ≠=-θ
θθ
θ所以它是非退化的,也是正交的.
2、二次型经过线性替换后还是二次型。

[][]1212,,,,,,,T
T
n n X x x x Y y y y == ()**X CY =111121122122221
2
n n n n n nn n x c c c y x c c c y x c c c y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3、令，则线性替换写为：，即：
可以
表出：'''11121'''121
22
2'''1
2
n n
n n nn c c c c c c C c c
c -⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
12,,,n y y y 12,,,n
x x x ，则也可由'
''
11111221'
''
2
2112222'
''11
2
2n n n n
n
n n nn
n
y c x c x c x
y c x c x c x
y c x c x c x ⎧=+++⎪=+++⎪⎨
⎪⎪=
+++⎩ 该线性替换与线性替换()**表示同一个线性替换。

()**C 1
Y C X -=4、如果线性替换是非退化的，则可逆，从而。

设
111112212
21122221122n n n n n
n n nn n
y d z d z d z y d z d z d z y d z d z d z =
+++⎧⎪=+++⎪⎨
⎪⎪=+++⎩
12,,,n
y y y 12,,,n z z z 11121212221
2
n n n n nn d d d d d d D d d d ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
[]12,,,T n Z z z z = 5、设是
的一个线性替换，它的系数矩阵是：。

令，则
到
,()()C Y DZ Y DZ X C CD Z ====，这说明，两个线性替换
连续施行（或称可乘）的结果，还是一个线性替换，它的系数矩阵等于原来两个线性替换的矩阵的乘积。

6、可逆的线性替换连续施行的结果还是可逆的；两个
正交替换连续施行的结果还是一个正交替换。

三、矩阵合同
1. 概念的引入
我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次
型还是变成二次型.现在来讨论替换前后的二次型
的矩阵之间的关系.
, x2, … , x n) = X T AX，A = A T，是一个设f(x
1
二次型，作非退化线性替换X = CY.得到一个关
于y
, y2, … , y n的二次型Y T BY.现在来看矩阵B 1
与A的关系.
f(x1, x2, … , x n) = X T AX
= ( CY)T A( CY)
= Y T C T ACY
= Y T( C T AC )Y
= Y T BY .
又因为矩阵C T AC 也是对称的(验证)，由此即得
B =
C T AC .
这就是前后两个二次型的矩阵的关系.
2. 定义
定义设A，B为两个n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C，使
B =
C T AC
则称矩阵A与B合同，或A合同于B.记为
~
A B
3. 性质
合同是矩阵之间的一个关系，合同关系有以下性质：
1) 反身性对任一n 阶矩阵A ，有2) 对称性
如果3) 传递性
如果A A.~A B ~，则有B A.
~A B ,~B C ,~则A C.
~
4、合同矩阵都可逆或都不可逆；且合同矩阵有相同的
秩。

12(,,,)T
n f x x x X AX = X CY =12,,,n y y y T Y BY ,A B
()T
T
T
T
T
Y C ACY Y C AC Y Y BY
===T
B C AC =A B 5、二次型经过非退化线性替换
得到的一个二次型，其中都是对称矩阵，则:
12(,,,)()T T
n f x x x X AX CY ACY
== 从而，故
1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 例4 证明：在上，对称矩阵与不合同；但上，对称矩阵是在1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦与合同。

10100101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
P 10100101T P P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦10
1
0101T P P =-21T P P P ==-P ∈ 证明：（反证法）设在，则存在实数上可逆矩阵，使得从而，即，但 上域，注合同关系与数域有关。

20P >1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
因而，矛盾。

从而与不合同。

，从而1P i ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦P 10100101T P P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦10100101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 在复数域，则是复数域上的可逆矩阵，且。

令。