江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考数学(理)试题含答案

南昌二中2017～2018学年度上学期第五次考试
高三数学（理）试卷
出题人：徐 欢 审题人:张 婷
一、选择题（每小题5分，共60分.每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．已知集合{|lg }A x y x ==，
2
{|230}B x x x =--<，则A B ⋂=（ )
A 。

()0,3
B 。

()1,0- C. ()(),03,-∞⋃+∞ D. ()1,3-
2. 已知()3323i z i ⋅=-（i 是虚数单位),那么z 的共轭复数对应的点位于复
平面内的( ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 若l 、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ）
A. 若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n
B. 若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C 。

若//,,l ααβ⊥则l β⊥ D 。

若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
4。

已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭的前
100
项的和为（ ） A 。

200101
B 。

100101
C 。

1101
D 。

2
101
5. 若0,0x y >>，且280x y xy +-=,则xy 的最小值为( )
A 。

8 B. 14 C 。

16 D 。

64
6.D 是ABC ∆所在平面内一点，
()
,AD AB AC R λμλμ=+∈，则01,01λμ<<<<是点
D
在ABC ∆内部(不含边界)的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D 。

既不充分也不必要
7。

已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的大小依次成等差数列，角,,A B C 的对
边分别是,,a b c ，并且函数()22f x ax x c =++的值域是[)0,+∞,则ABC ∆的面积
是 （ ） A.
3
4
B.
32
C.
33
D.
3
8。

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
表面积是（ ）
A. 3222++
B.
53222++
C 。

3
322++
D 。

73222
++
9. 设0.6
0.6a =，
1.50.6b =， 0.61.5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A 。

a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D 。

b c a <<
10。

已知函数
()
y f x =是定义域为R
的偶函数. 当
x ≥时，
5sin() (01)42
()1() 1 (1)
4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨
⎪+>⎪⎩。

若关于x 的方程2
[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈），有且
仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( ）
A ．59(,)24--
B ．9(,1)4--
C ．599(,)(,1)
244----
D ．5(,1)2
--
11。

已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数,
()
'f x 为其导函数，当
0x >且
1
x ≠ 时，
()()2'0
1
f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率
为
3
4-
,则 ()1f =（
）
A 。

0
B 。

1 C.
38
D.
15
12。

已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1
2
1
2,()x x x x <，则（ )
A 。

()()1210,2f x f x >>-
B 。

()()121
0,2f x f x <<-
C 。

()()1210,2f x f x ><-
D 。

()()1210,2f x f x <>-
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位
置上）
13. 在等比数列
{}n
a 中,
23a a ==112011
172017a a a a +=
+__________．
14. 在平面内，···6AB AC BA BC CACB ===，若动点,P M 满足
2,AP PM MC
==，则
BM
的最小值是__________．
15. 已知区域2:2010y D x y x y ≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则圆
()()22
:22
C x a y -+-=与区域
D 有公共点，
则实数a 的取值范围是__________.
16. 在三棱锥S ABC -中， ABC ∆是边长为3的等边三角形， 3,23SA SB ==,
二面角S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为
__________．
三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
（本题满分10分）在ABC ∆中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ,c ,
已知
C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．
(Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若C p B sin sin =,且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．
18。

（本题满分12分） 如图，ABC ∆的外接圆
O 的半径为5,CD O ⊥所
在的平面，//BE CD ，4CD =，2BC =，且1BE =，tan 25AEB ∠=．
（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．
(2）试问线段DE 上是否存在点M ,使得直线AM 与平面ACD 所成角的正
弦值为27？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．
19. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量
()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量
ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）若π
6βα=-
，求向量OA 与OB 的夹角；
（2)若
2AB OB
≥ 对任意实数,αβ都成立,求实数λ的取值范围．
20. （本题满分12分)如图，已知四棱锥P ABCD -的底面的菱形，
60BCD ︒∠=，点E 是BC 边的中点，AC DE 与交于点O ,PO ABCD ⊥平面
（1)求证:PD BC ⊥； （2）若
AB PC P AD C ==--的大小；
(3）在(2）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值.
21。

(本题满分12分）已知数列{}n
a 的前n 项和n
S 满足：
21n n S a =-.
(1）数列{}n
a 的通项公式；
（2)设
1
1
11n n n n n a a
b a a ++=
-+-，且数列{}n
b 的前n 项和为n
T ，求证：
13n T <
.
22。

（本题满分12分）已知函数
()()2
11ln 2f x x m x x =
+-+.
(1）若函数()f x 存在单调递减区间,求实数m 的取值范围;
（2）设1
2
1
2,()x x x
x <是函数()f x 的两个极值点，若
7
2m ≥
,求()()12f x f x -的最
小值.
南昌二中2017～2018学年度上学期第五次考试
高三数学(理）试卷参考答案
1．已知集合{|lg }A x y x ==， 2{|230}B x x x =--<，则A B ⋂=( ）
A. ()0,3
B. ()1,0- C 。

()(),03,-∞⋃+∞ D 。

()1,3-
【答案】A
2.已知(
)
3z +⋅=-i 是虚数单位），那么z 的共轭复数对应的点位于
复平面内的( )
A. 第一象限 B 。

第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B
【解析】(
)
33i z +
⋅=-，
3
z -∴===, ∴ z 的共轭复数对应的点的坐
标是
12⎛- ⎝⎭， ∴ z 对应的点在第二象限,故选B 。

3。

若l 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ )
A 。

若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B. 若,l αβα⊥⊂,则l β⊥ C 。

若//,,l ααβ⊥则l β⊥ D 。

若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 【答案】D
【解析】对于A ，由//,,l n αβαβ⊂⊂可得l ∥n 或l 与n 异面，故A 不正确； 对于B ，由,l αβα⊥⊂可得l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种,故B 不正确;
对于C,由//,l ααβ⊥可得l 与β的位置关系不确定，故C 不正确；
对于D ，由//l β，设经过l 的平面与β相交于直线c ，则l ∥c ，又因为l α⊥，故c α⊥，又因为c β⊂，所以αβ⊥,故D 正确. 故选D.
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭的前
100项
的和为（ ） A.
200
101
B.
100101
C.
1101
D.
2101
【答案】A 【解析】
()14341423243,10,5,2
2
a a a S a a a a a +∴==
=∴+=+==
所以等差数列{}n
a 的公差3
2121,1d a
a a a d =-=∴=-= ，通项公式为n
a n =，
则其前n 项和为
()()1121
1=
,2211n n n n S S n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
则数列1n S
⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项的和为111
11120021....212231001001101101⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
故选A
5。

若0,0x y >>，且280x y xy +-=,则xy 的最小值为（ ） A 。

8 B. 14 C. 16 D. 64
【答案】D 【解析】（1)∵，且，∴
，∴，∴
,当且
仅当
时取等号，故的最小值为64,故选D 。

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题（1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼"“凑”等
技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 6.D 是ABC ∆所在平面内一点,
()
,AD AB AC R λμλμ=+∈，则01,01λμ<<<<是点D
在ABC ∆内部（不含边界）的（ ）
A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C. 充要条件 D 。

既不充分也不必要 【答案】B
【解析】若(),AD AB AC R λμλμ=+∈，点D 在ABC ∆内部,则01,01λμ<<<<，反之不成立，例如
1
2λμ==
时,点D 为边BC 的中点， 01,01λμ∴<<<<是点D 在
ABC ∆内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B.
7.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的大小依次成等差数列，角,,A B C 的对边分别是
,,a b c
，并且函数
()22f x ax x c
=++的值域是[)0,+∞,则ABC ∆的面积是
（ ）
A 。

B 。

C 。

D 。

【答案】A 【解析】∵在AB C
中，，角A B C 、、 依次成等差数列,
180{
2A B C A C B ++︒
∴+＝＝
，
解得60B =︒ , 函数
()22f x ax x c
=++的值域是[)0,+∞,即函数
()f x 的最小值2
420,14ac ac a -=∴=
则ABC ∆的面积1sin 2
S ac B =⨯⨯=
故选A
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( ）
A 。

322+
B 。

5322 C 。

3
32 D 。

7322
【答案】D
【解析】由三视图可知，几何体为下面一个直三棱柱，上面一个三棱锥
三棱柱的底面面积为: 11
1122⨯⨯=,侧面积为：
21122+=；
三棱锥的侧面积为：
2
1133
11112
122⨯⨯+⨯⨯+=+
.
该几何体的表面积是7322
. 故选D 。

点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
（1）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
（2）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 9.设0.6
0.6a =，
1.50.6b =， 0.61.5c =，则,,a b c 的大小关系是( )
A. a b c <<
B. a c b << C 。

b a c << D 。

b c a <<
【答案】C
【解析】因为0.6x
y =是减函数,所以0.6
1.50.6
0.6a b =>=,又0.6
y x
=是()0,+∞上的增
函数，故0.6
0.61.5
0.6c a =>=，综上b a c <<，故选C 。

点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁"作用，来比较大小． 10.已知函数
()
y f x =是定义域为
R
的偶函数. 当
x ≥时，
5
sin() (01)42
()1() 1 (1)
4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨
⎪+>⎪⎩.若关于x 的方程2
[()]()0f x af x b ++=（
,a b R ∈),有且仅有6
个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．59(,)24--
B ．9(,1)4--
C ．599(,)(,1)
244----
D ．5
(,1)2
--
【答案】C 【解析】
试题分析：作出
5sin() (01)42
()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨
⎪+>⎪⎩的图象如下，
又∵函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数, 且关于x
的方程
2
[()]()0f x af x b ++=， a,b∈R 有且仅有6个不同实数根,
∴x 2+ax+b=0的两根分别为451,4521<<=
x x 或45
1,1021<<≤<x x ；
由韦达定理可得a x x -=+21
，
若451,4521<<=
x x ，则2549<-<a ，即49
2
5-<<-a ； 若
451,1021<
<≤<x x ，则491<-<a ，即1
49
-<<-a ;
从而可知
4925-<<-
a 或149-<<-a ；
故选C ．
考点：根的存在性及根的个数判断．
11。

已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()'f x 为其导函数，当0x >且
1x ≠时,
()()
2'0
1
f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为
34-
，
则 ()1f =（ ) A. 0 B. 1 C. 38
D 。

1
5
【答案】C
【解析】当0x ＞
且1x ≠ 时，
()()
2'0
1
f x xf x x +>-，可得：
1x ＞
时， 2'0f x xf x +（）（）＞；
10x ＞＞ 时，
2'0f x xf x +（）（）＜．
令
20g x x f x x =∈+∞（）（），（，）． []2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ∴=+=+（）（）（）（）（）．
可得： 1x ＞
时, '0g x （）＞
; 10x ＞＞ 时， '0g x （）＜．
可得:函数g x （）在1x =处取得极值,
3
'121'10'14g f f f ∴=+==-（）（）（），（），
133
1248f ⎛⎫∴=-⨯-=
⎪⎝⎭（） ．
故答案为3
8
12.已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1
2
1
2,()x x x
x <,则（ ）
A. ()()1210,2f x f x >>-
B 。

()()1210,2f x f x <<-
C.
()()1210,2f x f x ><-
D 。

()()1210,2f x f x <>-
【答案】D
【解析】求导得: ()ln 21
f x x ax -'=+.易得ln y x =在点P （1，0）处的切线为
1y x =-.当021a <<时，直线21y ax =-与曲线ln y x =交于不同两点（如下图），
且1
21x
x <<,
()()()()111111111ln 2110
f x x x ax x ax ax x ax =-=--=-<.
()()2222222222ln 1ln 1ln111ln ln 2222x x x x f x x x ax x x +-⋅-⎛
⎫=-=-=>=- ⎪
⎝
⎭.选D
点睛：比较函数值大小,一般作差，利用条件等量代换，将差转化为一元函数,再利用导数研究差函数单调性或最值，根据单调性或最值确定差的符号，即大小关系。

13.在等比数列{}n
a 中
,
23a a =，则112011
172017a a a a +=
+__________．
【答案】8
9
【解析】依题意知等比数列{}n a
的公比32q a a ==
，
故
()1120111120116617201711201118
9
a a a a a a q a a q ++===
++.
14。

在平面内,···6AB AC BA BC CACB ===，若动点,P M 满足2,AP PM MC
==，则
BM
的最小值是__________． 【答案】2
【解析】由···AB AC BA BC CACB ==得三角形ABC 为等边三角形，
且边长为 ，以AC 所在直线为x 轴，AC 中点为坐标原点建系,
则
())()
()(
),,0,3,,22A C
B M x y P x y
⇒设 ，
因此
2221
x y =⇒+= ，所以312
BM ≥-=
15。

已知区域
2
:2010y D x y x y ≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则圆
()()22
:22
C x a y -+-=与区域
D 有公共点，
则实数a 的取值范围是__________。

思路：先在坐标系中作出区域D ，圆
C
的圆心为(),2a ，半径为
2，所以只需确定圆心
的取值范围即可,通过左右平移圆可观察到圆C
与
直
线
1:20l x y +-=和2:10l x y --=相切是a 取值的临界条件.当圆与1:20l x y +-=相
切时,则122
2
C l a d a -=
=⇒=±，由圆心位置可得2a =-；当圆与2
:10l
x y --=相
切时，
2325
2
C l a d a --=
=⇒=，所以[]2,5a ∈-
答案：[]2,5a ∈-
16.在三棱锥S ABC -中， ABC ∆是边长为3的等边三角形， 3,23SA SB ==，
二面角S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为
__________． 【答案】21π
【解析】由题可得：球心O 在过底面ABC ∆的中心G 的垂直底面的直线上,又二面角S AB C --的大小为120°,取AB 的中点为M ，SB 的中点为N ，故120NMG ︒
∠=，又
33333
120,,2222NMG NM CM MG NG ︒∠==
=⇒==,过M 做
MH=GO ，且MH 垂直底面,所以
3
2
MH =
,
32
GO =
，故球的半径为
()
2
2
2321324R ⎛⎫=
+=
⎪⎝⎭
，所以球的表面积为21π 18.
在ABC ∆中，内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ,c ，已知
C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若C p B sin sin =,且ABC ∆是锐角三角形,求实数p 的取值范围． 【答案】(I ）3π
=
A ；（II ）221
<<p ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得
)cos(3)sin(3C B C B +=+-，从而可求得3)tan(-=+C B ，即可解得A 的大小;
（Ⅱ)由已知得
21
tan 23sin )120sin(sin sin +
=-︒==
C C C C B p ，由ABC ∆是锐角三角形，3
π=A ，可
求得C tan 的取值范围，即可解得实数p 的取值范围． 试题解析: （Ⅰ） 由题意得
C B C B C B C B C B cos cos 4sin cos 3cos sin 3cos cos sin sin 3=--+
⇒)cos(3)sin(3C B C B +=+-
323)tan(π
=+⇒-=+⇒C B C B
3π
=
∴A
(Ⅱ）
21
tan 23sin )120sin(sin sin +=-︒==
C C C C B p
ABC
∆ 为锐角三角形，且
3π
=
A
33
tan 2
6
>
⇒<
<∴
C C π
π
221
<<∴p ．
考点：三角函数中的恒等变换应用;正弦定理． 18。

（本题满分12分） 如图，
ABC ∆的外接圆
O CD O
⊥所在的平面，
//BE CD ，4CD =,2BC =，且1BE =，tan AEB ∠=．
（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE．
(2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为2
7
？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案详见解析;（2)存在，且
1
3
DM DE
=．
【解析】
试题分析:(1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD，易得BE⊥平面ABC,则BE⊥AB,由BE=1,tan25
AEB
∠=，易得AB是⊙O的直径，则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；（2）方法一:过点M 作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，可得∠MAN 为MA与平面ACD所成的角，设MN=x,则由直线AM与平面ACD 所成角的正弦值为2
7
，我们可以构造关于x的方程，解方程即可求出x值，进而得到点M的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量（含参数λ)，由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为2
7
，根据向量夹角公式,我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M的位置．
试题解析：（1)∵CD ⊥平面ABC，BE//CD
∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB
∵BE=1，tan AEB ∠= ∴
AE =
从而AB =∵⊙O
的半径为是直径, ∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC ，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
BC ⊂平面
BCDE,∴平面ADC ⊥平面BCDE
（2）方法1：
假设点M 存在，过点M 作MN⊥CD 于N ，连结AN ，作MF⊥CB 于F ，连结AF
∵平面ADC ⊥平面BCDE ，
∴MN⊥平面ACD ，∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角 设MN=x ，计算易得，DN=32
x ，MF=342
x -
故AM =
=
2sin 7
MN
MAN AM
∠=
== 解得:83
x =-（舍去) 4
3
x =
，11分
故23
MN CB =，从而满足条件的点M 存在，且23
DM DE =
方法2：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,
则：A(4，0，0），B （0,2，0），D （0，0，4），E(0,2，1）,O （0，0，0），则(0,2,3)DE =-
易知平面ABC 的法向量为(0,2,0)OB =,假设M 点存在，设(,,)M a b c ，则
(,,4)DM a b c =-,再设,(0,1]DM DE λλ=∈00224343a a b b c c λ
λλλ==⎧⎧⎪⎪
∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩
， 即(0,2,43)M λλ-，从而(4,2,43)AM λλ=--…10分 设直线BM 与平面ABD 所成的角为θ,则：
22sin cos ,72164AM OB θλ==
=+
解得423
3
λλ=-=或，其中4(0,1]3
λ=-∉应舍去，而2(0,1]3
λ=∈故满足条件的点M 存在,且点M 的坐标为4(0,,2)3
考点：1、面面垂直的判定；2、直线和平面所成的角．
19。

在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，
向量
ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）若π
6βα=-
，求向量OA 与OB 的夹角；
（2）若
2AB OB
≥ 对任意实数,αβ都成立,求实数λ的取值范围．
【答案】（1）3π
（2）3λ≥
【解析】试题分析：（1）根据向量夹角公式cos OA OB OA OB
θ⋅=
⋅得()cos sin θαβ=-,
再将
π6βα=-
代入得1cos sin 62πθ==
，即得向量OA 与OB 的夹角为3
π。

（2）先
根据向量的模化简
2AB OB
≥得
()22sin 30
λλαβ---≥，分类变量得
()23sin 2λαβλ-≥-,根据恒成立条件得23
12λλ-≥，解不等式得实数λ的取值范
围
试题解析：解：(1）由题意， ()cos ,sin (0)
OA λαλαλ=>，
()
sin ,cos OB ββ=-,
所以
OA λ
=，
1
OB =，
设向量OA 与OB 的夹角为θ，
所以()()
cos sin sin cos cos sin 1
OA OB OA OB
λαβλαβ
θαβλ-+⋅=
=
=-⋅⋅。

因为
6π
βα=-
，即
6π
αβ-=
，所以
1
cos sin
6
2π
θ==。

又因为[]0,θπ∈,所以3π
θ=
，即向量OA 与OB 的夹角为3π。

（2）因为2AB OB
≥对任意实数,αβ都成立，而
1
OB =,
所以2
4
AB ≥，即()
2
4
OB OA -≥任意实数,αβ都成立。

.
因为OA λ
=，所以2
230OA OB λ-⋅-≥任意实数,αβ
都成立.
所以
()22sin 30
λλαβ---≥任意实数,αβ都成立。

因为0λ>，所以()
23
sin 2λαβλ-≥-任意实数,αβ都成立.
所以23
1
2λλ-≥，即2230λλ--≥,
又因为0λ>，所以3λ≥
20.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面的菱形,60BCD ︒
∠=，点E 是BC 边的
中点,AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面
（1)求证:PD BC ⊥； （2)若6
3,62AB PC P AD C ==--，求二面角的大小；
(3）在（2）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值。

【答案】（1）（2)4π(32
【解析】
试题分析:（1）因为PO ⊥平面ABCD ，所以DE 是PD 在平面ABCD 内的射影，要证PD BC ⊥ ，只要证DE BC ⊥，连结BD ，由题设易知三角形BCD 为正三角形,而DE 是其边BC 上的中线，所以DE BC ⊥.
（2）由（1）知,,BC DE BC PD ⊥⊥ ,而且//AD BC ,可以发现PDO ∴∠为二面角
P AD C --的平面角，再利用直角三角形PDO 求其大小；
（3）取AD 中点H ，连结,,HB HO OB 易证//HB DE ，HB 与PB 所成的角就是DE 与PB 的成的角；先利用勾股定理求出,OH PH ,再用余弦定理求解。

试题解析：解答一：（1）在菱形ABCD 中,连接,DB 则BCD ∆是等边三角形。

点E 是边BC 的中点
DE BC ∴⊥
PO ⊥平面ABCD
OD 是斜线PD 在底面ABCD 内的射影 PD BC ∴⊥
（2)DE BC ⊥由（1）知 菱形ABCD 中，//AD BC
DE AD ∴⊥
又PO ⊥平面ABCD ,DE 是PD 在平面ABCD 内的射影
PD AD ∴⊥
PDO ∴∠为二面角P AD C --的平面角
在菱形ABCD 中,AD DE ⊥，由（1）知，BCD ∆等边三角形 点E 是BC 边的中点，AC 与BD 互相平分
∴点O 是BCD ∆的重心
63AB =又在等边三角形BDC ∆中，
22336363323DO DE BC =
=⋅==
6OC OD ∴==
62,6PC PO =∴=
所以在Rt POD ∆中，
6
tan 16PO PDO DO ∠=
==
4PDO π
∴∠=
∴二面角P AD C --的大小为4π
.
（3）取AD 中点H ，连结HB ,HP 则//HB DE
HB ∴与PB 所成角DE 与PB 所成角
连结,OH OB
PO ⊥平面ABCD ,OH 、OB ⊂平面ABCD ,PO OH PO OB ∴⊥⊥
在Rt DOH ∆中,3
3,6HD OD ==
37OH ∴=
在Rt DOH ∆中，22
99PH PO OH =+= 在Rt POB ∆中，
226,62OB OC PB PO OB ===+= 由(2）可知,9DE HB == 设HB 与PB 所成的角为α
则
2222
cos 24HB PB PH HB PB α+-==
⋅⋅ 所以异面直线PB 、DE 所成角的余弦值为
2
4
解法二：（1)同解法一;
（2）过点O 作AD 平行线交AB 于F ,以点O 为坐标原点,建立如图的坐标系
(
)(
)()()()6,0,,,0,6,0,0,0,6A B C D P ∴---
(
)()
6
3,0,0,0,6,6AD PD ∴=-=--
设平面PAD 的一个法向量为(),,s a m n =
则00s PD s AD ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪
⎩，即0660000a m n a m n ⋅--=⎧⎪⎨-+⋅+⋅=⎪⎩0a m n =⎧∴⎨
=-⎩ 不妨设()0,1,1s =-
()0,0,6OP =ADC 2
cos ,2||||s OP s OP s OP ⋅∴<>=
=
⋅
∴二面角P AD C --的大小为
4
π （3)由已知，可得点(0,3,0)E
(33,3,6),(0,9,0).2cos ,4||||
PB DE PB DE
PB DE PB DE ∴=-=⋅∴<>==
⋅
即异面直线PB DE 、考点:1、三垂线定理；2、二面角及其平面角；3、异面直线所成的角。

21。

已知数列{}n
a 的前n 项和n
S 满足:
21n n S a =-.
(1）数列{}n
a 的通项公式；
（2）设
1
1
11n n n n n a a
b a a ++=
-+-,且数列{}n
b 的前n 项和为n
T ,求证:
13n T <
.
【答案】（1)*
13n
n a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，(2）见解析
【解析】试题分析：(1）根据当2n ≥时，
1n n n a S S -=-,得到数列{}n a 的递
推关系式13n
n a
a -=，再根据等比数列定义及通项公式求数列{}n a 的通项
公式;（2)将数列{}n
a 的通项公式代入n
b 化简得
111
3131n n n b +=
-
+-，再根据大
小关系放缩为
11
1111
313133n n n n n b ++=
-<-+-，最后利用裂项相消法求和得
2231111111
111133333333
3n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-+
+-=-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭． 试题解析:(Ⅰ）解：当1n =时， 1121a a =-，所以
11
3a =
，
当2n ≥时,
1n n n a S S -=-，即12n n n a a a -=-+, 13n n a a -=，
113n n a a -=
，
所以数列{}n a 是首项为13，公比也为1
3的等比数列，
所以
1
*111·333n n
n a n N -⎛⎫⎛⎫
==∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，.
（Ⅱ)证明：
11
11
111
113311
1131311133n n n n n n n n n n n a a
b a a +++++=
-=-=-+-+-+-．
由11
1111
313313n n n n ++<>
+-,,
所以11
1111
313133n n n n n b ++=
-<-+-，
所以1222311
11111
11133333333n n n n n T b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+<-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭．
因为
1103n +-
<,所以1
111333n +-<，即13n T <．
点睛：给出n
S 与n
a 的递推关系求n
a ,常用思路是:一是利用1,2
n
n n a
S S n -=-≥转化为n
a 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为n
S 的递推关系，先求出n
S 与n 之间的关系,再求n
a . 应用关系式
11,1
{
,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要
注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起。

22.已知函数
()()2
11ln 2f x x m x x =
+-+。

（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （2）设1
2
1
2,()x x x
x <是函数()f x 的两个极值点，若
7
2m ≥
，求()()12f x f x -的最
小值.
【答案】(1）3m >（2）
15
2ln28-+
【解析】试题分析：（1）函数()f x 存在单调递减区间,等价于()0f x '<在
()0+∞，上有解,即()2110x m x +-+<在()0+∞，上有解，根据实根分布可得21
02(1m)40m ->∆=-->⎧⎪⎨
⎪⎩，，解不等式可得实数m 的取值范围;(2）12,x x 为()2110
x m x +-+=两根，所以
12121{
1x x m x x +=-=，，
代入()()1
2
f x f x -消m 化简得
1122211ln
2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．令1
2x t x =，
转化研究函数
()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小值，先根据72m ≥
，确定自变量取值范围:
1
04t <≤
，再利用导数研究函数单调性： ()h t 在104⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，
进而确定函数最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为()()2
11ln 2f x x m x x =
+-+，
所以()()2
11
11x m x f x x m x x +-+=+-+=
',
又因为()0f x '<在()0+∞，上有解，
令
()()211
g x x m x =+-+，则()010g =>,
只需21
02
(1m)40m ->∆=-->⎧⎪⎨⎪⎩，，
解得131m m m >>⎧<-⎨
⎩，
或，即3m >．
（Ⅱ)因为
()()211
x m x f x x
+-+'=
,令
()0
f x '=，即
()2110
x m x +-+=,
两根分别为12x x ，,则121211x x m x x +=-=⎧⎨
⎩，
，
又因为
()()()()22
12111222111ln 1ln 22f x f x x m x x x m x x -=
+-+----
()()()()()
222222
111212*********ln ln 22x x x x m x x x x x x x x =
-+--+=---+
()
22
221112112122212221111ln ln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=--=-=-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
．
令1
2x t x =,由于12x x <，所以01t <<．
又因为72m ≥
,
()()22
122514x x m +=-≥
， 即
()
2
121212
21
2x x x x
x x x x +=
++，即
125
24t t ++≥
, 所以2
41740t
t -+≥，解得4t ≥或
14t ≤
,即1
04t <≤．
令
()111
ln (0)
24h t t t t t ⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭， ()()2
2222
11112102222t t t h t t t t t ----=--'==<,
所以()h t 在104⎛⎤
⎥⎝⎦，上单调递减，
()min 111115ln 42ln244248h t h ⎛⎫⎛⎫
==--=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
所以()()1
2
f x f x -的最小值为
15
2ln28-+
．
点睛:导数与函数的单调性
（1)函数单调性的判定方法:设函数()y f x =在某个区间内可导，如果
()0
f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区
间为减函数。

(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导,转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法。