2024-2025学年北京市丰台区第二中学高三上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年北京市丰台区第二中学高三上学期10月月考数学试题
1.已知集合A ={x ∈Z|(x +2)(x−1)<0}，B ={−2,−1}，那么A ∪B =( )
A. {−2,−1,0,1}
B. {−2,−1,0}
C. {−2,−1}
D. {−1}
2.设复数z 满足(2−i )z =2+i ，则z 在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知角α的终边经过点P (2,−1)，则cos α=( )A. 5
5 B. − 5
5 C. 2 55 D. −2 5
5
4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )
A. y =ln x
B. y =3−|x |
C. y =−x 2+1
D. y =|x |+1
5.设a =log 30.4,b =log 43,c =30.4，则( )
A. a <c <b
B. b <c <a
C. a <b <c
D. b <a <c
6.如图，在▵ABC 中，点D 是BC 边的中点，AD =3GD ，则用向量AB ，AC 表示BG 为( )
A. BG =−23AB +13AC
B. BG =−13AB +2
3AC C. BG =23AB−13AC D. BG =23AB +13AC 7.若函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值是( )
A. π3
B. π6
C. π4
D. π
128.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0.那么tmin 后物体的温θ(单位：
℃)
可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为(ln3≈1.10,ln7≈1.95)( )
A. 0.25
B. −0.25
C. 0.89
D. −0.89
9.设{a n}是公比为q(q≠−1)的无穷等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“q>0”是“S n存在最小值”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)=|x−t2|.若f(x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为( )
A. 3
B. 8
3C. 2 D. 8
5
11.函数f(x)=lg (3x+1)
1−x
的定义域是．
12.数列{a n}是公差为−2的等差数列，记{a n}的前n项和为S n，且a1,a3,a4成等比数列，则 a1=；S n =．
13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，BC=2BP，则AP⋅BD=．
14.设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)
①给出一个ω的值，使得f(x)的图像向右平移π
6
后得到的函数g(x)的图像关于原点对称，ω=；
②若f(x)在区间(0,π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是．
15.已知函数f(x)={2x+a,x<a
x2+2ax,x≥a给出下列四个结论：
①当a=−1
2
时，f(x)存在最小值；
②当a=0时，f(x)存在唯一的零点；
③f(x)的零点个数为g(a)，则函数g(a)的值域为{0,1,2,3}；
④当a≥1时，对任意x1，x2∈R，f(x1)+f(x2)≥2f(x1+x22)．
其中所有正确结论的序号是．
16.已知α∈(π2,π)，且sinα=45．
(1)求tan(α−π4)的值；
(2)求sin2α−cos2α
1+cos2α
的值．
17.已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a4+a5=24．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列{b n}的前n项和S n．
条件①：设b n=log2a2n−1；
条件②：设b n=a n+2n．
18.已知函数f(x)=sin2x+3sin x cos x−1
．
2
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最值，并求出此时对应的x的值；
(3)若g(x)=f(x)+m在区间[0,π2]上有两个零点，直接写出m的取值范围．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45∘，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90∘,AD=2,PA=BC=1．
(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；
(2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；
(3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M(不包括端点)，使得点P到平面BMN距离为1
．
3
20.已知二次函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且该函数的图象经过点(2,−3)，在x轴上截得的线段长为4，设g(x)=f(x)−ax．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)在区间[0,2]上的最小值；
(3)设函数ℎ(x)=9x−3x+1−2，若对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使得ℎ(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围．
21.已知Q:a1,a2,⋯,a k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在a i,a i+1,a i+2 ,⋯,a i+j(j≥0)，使得a i+a i+1+a i+2+⋯+a i+j=n，则称Q为m−连续可表数列．
(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；
(2)若Q:a1,a2,⋯,a k为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若Q:a1,a2,⋯,a k为20−连续可表数列，且a1+a2+⋯+a k<20，求证：k≥7．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.C
6.A
7.A
8.A
9.A
10.B
11.(−1
3
,1)
12.8；−n2+9n
13.−1
14.3
2
(答案不唯一)
(7 4,11 4 ]
15.②③
16.(1)∵α∈(π
2,π)，sinα=45，∴cosα=−1−sin2α=−35，∴tanα=sinα
cosα
=−4
3
，
∴tan(α−π4)=tanα−tan π4
1+tanπ
4tanα
=
−4
3
−1
1−4
3
=7．
(2)由(1)知：tanα=−4
3
，
∴sin2α−cos2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2α
2cos2α
=2tanα−1
2
=−
8
3
−1
2
=−11
6
．
17.解：(Ⅰ)根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，
若a1+a2=3，a4+a5=24，则q3=a4+a5
a1+a2
=8，解可得q=2，又由a1+a2=a1+a1q=3，则有a1=1，
故a n=a1q n−1=2n−1，
(Ⅱ)根据题意，
若选择条件①：则b n =log 2a 2n−1=2n−2，此时S n =0+2+4+6+……+2n−2=
(0+2n−2)×n 2
=n 2−n ；
若选择条件②：则b n =a n +2n =2n−1+2n ，
此时S n =(1+2)+(2+4)+(4+6)+……+(2n−1+2n)=(1+2+4+……+2n−1
)+(2+4+6+……+2n)
=2n −1+n 2+n ． 18.(1)因为f (x )=1−cos 2x 2+ 32sin 2x−12= 32
sin 2x−12cos 2x =sin (2x−π6)，所以f (x )最小正周期为T =2π2=π，又y =sin x 增区间为[−π2+2kπ,π2
+2kπ],k ∈Z ，令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k ∈Z 得：−π6+kπ≤x ≤π
3+kπ,k ∈Z ，
所以f (x )的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z ．(2)因为0≤x ≤π2，所以−π6≤2x−π6≤5π6
．当2x−π6=−π6，即x =0时，f (x )取最小值−12；
当2x−π6=π2，即x =π3时，f (x )取最大值1．
(3)由题意，f (x )与y =−m 在区间[0,π2]上有两个交点，而f (x )在[0,π2]上图象如下：
由图知：12≤−m <1，即−1<m ≤−1
2．
19.(1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB,AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，
又因为∠BAD =90∘，所以AB ⊥AD ，
因为PB 与底面所成的角为45∘，所以∠PBA =45∘，故AB =PA =1，
以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立的空间直角坐标系O−xyz ，如图所示，
因为AD =2，PA =BC =1，可得B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，C (1,1,0)，所以PB =(1,0,−1)，PC =(1,1,−1)，PD =(0,2,−1)，
设平面PCD 的一个法向量为m =(x,y,z )，可得{m ⋅PC =x +y−z =0m ⋅PD =2y−z =0,取z =2，则x =1,y =1，可得m =(1,1,2)，
设PB 与平面PCD 所成的角为θ，
则sin θ=|cos m ,PB |=|m PB ||m ||PB |=|1+0−2| 6×
2= 36，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为 36
．(2)根据题意，平面PBA 的一个法向量n =12AD =(0,1,0)，
由(1)知，平面PCD 的一个法向量为m =(1,1,2)，
则cos m ,n =m n |m |⋅|n |=(1,1,2)⋅(0,1,0) 1+1+4×1=11× 6= 6
6，所以平面PBA 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为
66
．(3)因为N 为AD 中点，所以N(0,1,0)，设PM =λPC,λ∈(0,1)，M (s,t,r )，则(s,t,r−1)=(λ,λ,−λ)，
解得s =λ,t =λ,r =1−λ，故M (λ,λ,1−λ)，∴BN =(−1,1,0),BM =(λ−1,λ,1−λ)，
设平面BMN 的法向量为p =(a,b,c)，则{p
⋅BN =−a +b =0p ⋅BM =(λ−1)a +λb +(1−λ)c =0
,令a =λ−1，则b =λ−1,c =2λ−1，即p =(λ−1,λ−1,2λ−1)，∵BP =(−1,0,1)，
∴点P 到平面BMN 距离为d |BP p ||p |λ 6λ2−8λ+3=1
3(1λ)2−8(1λ)+6，当λ∈(0,1)时，则1
λ∈(1,+∞)，
∴3(1λ)2−8(1λ)+6=3(1λ−43)2+23≥23，当1λ=43时取等号，则d ∈(0, 6
2],
综上，点P 到平面BMN 距离的取值范围的最大值为 62
．
20.(1)因为f (2−x )=f (x )，则f (x )的图象关于直线x =1对称且在x 轴上截得的线段长为4，f (x )的图象与x 轴的交点分别为(−1,0)，(3,0)，所以设f (x )=a (x +1)(x−3)(a ≠0)．
该函数的图象经过点(2,−3)，解得a =1，所以f (x )=x 2−2x−3．
(2)因为g (x )=x 2−(a +2)x−3，其对称轴方程为x =a +22，
当a +22<0，即a <−2时，y min =g (0)=−3．
当0≤a +22≤2，即−2≤a ≤2时，y min =g (a +22)
=(a +2)24−3当a +2
2>2，即a >2时，y min =g (2)=−2a−3
综上所述，当a <−2时，y min =−3，
当−2≤a ≤2时，y min =−(a +2)24−3，当a >2时，y min =−2a−3．
(3)若对于任意x 1∈[0,2]，总存在x 2∈[0,2]，使得ℎ(x 1)≥g (x 2)成立，
等价于[ℎ(x )]min ≥[g (x )]min
函数ℎ(x )=9x −3x +1−2=(3x )2−3⋅3x −2=(3x −32)2−17
4，因为x ∈[0,2]，所以1≤3x ≤9，所以当3x =32时，ℎ(x )取得最小值−174
当a <−2时，[ℎ(x )]min ≥[g (x )]min ，所以−174≥−3，不成立
当−2≤a ≤2时，[ℎ(x )]min ≥[g (x )]min ，所以−174≥−
(a +2)24
−3，解得a ≤−2− 5或a ≥ 5−2，所以 5−2≤a ≤2当a >2时，[ℎ(x )]min ≥[g (x )]min ，所以−174≥−2a−3，解得a ≥5
8，所以a >2综上所述，a 的取值范围是[ 5−2,+∞)．
21.解：(1)由于2+1=3，1+4=5，故Q为5−连续可表数列.而Q数列无法找到连续的若干个数和为6，故Q不是6−连续可表数列．
(2)当k≤3时，至多可以表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3
这6个数，不符题意.当k=4时，取数列Q:3，1，4，2满足题意.故k的最小值为4．
(3)先证k≥6.若k≤5，则至多可以表示15个数，不符题意．
当k=6时，由于a1+a2+⋯+a k<20，故数列中存在为负的项，
且仅有一个为负的项，不妨设该项为a i(i∈{1,2,3,4,5,6})，因此
数列中一定存在若干项正数的和为20.由于对称性，我们只需考察i=1，2，3的情况．
(i)当i=2时，由于a1+a2+⋯+a6<20，而数列中一定有若干个连续整数和为20，
因此a1或a3+a4+a5+a6为连续若干个数的和中最大的数．
而由于6个数的数列Q最多能表示21个数，且其中有一个为负，因此除了a i以外，其它连续若干个数的和分别表示1，2，⋯，20，
故有a1+a2，a2+a3+a4+a5+a6∈{1,2,⋯,20}.若a1为连续若干个数的和中最大的数，
则a1+a2+⋯+a6>a1，矛盾.若a3+a4+a5+a6为连续若干个数中的最大的数，同理可得矛盾．
(ii)当i=3时，与i=2同理，不符合题意．
(iii)当i=1时，则连续若干个数的和中最大的数为a2+a3+⋯+a6=20，那么有：
19∈{a1+a2+⋯+a6,a2+a3+a4+a5,a3+a4+a5+a6}.由前文分析可知a1+a2>0，
因此19∈{a1+a2+⋯+a6,a2+a3+a4+a5}.
若a1+a2+⋯+a6=19，则a1=−1.如果a2+a3+a4+a5=18，
那么a6=2，并且此时a3+a4+a5+a6=17，有a2=3，则a6=a1+a2，矛盾．
如果a3+a4+a5+a6=18，那么a2=2，并且此时a2+a3+a4+a5=17，有a6=3.下面我们考察a3，a4，a5．
注意到a3+a4+a5=15且a3，a4，a5≠1，2，3，则{a3,a4,a5}={4,5,6}，
并且由于a2+a3=a3+2，a1+a2+a3=a3+1，由不重复的原则可知
a3=6.如有a4=4，a5=5，那么a5+a6=8=a2+a3，矛盾;如有a4=5，a5=4，那么a5+a6=7=a1 +a2+a3，矛盾.故该假设不成立．
若a2+a3+a4+a5=19，那么a6=1，并且有a1+a2+⋯+a6=18并且a3+a4+a5+a6=17，
则此时a1=−2，a2=3，那么此时a1+a2=a6，矛盾.故该假设不成立．
因此k≠6.综上所述，k≥7.。