分式的化简求值经典练习题(带答案)

分式的化简
一、比例的性质：
⑴ 比例的基本性质:
a c
ad bc b d
=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积。

⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b
c d a c d c
b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项
⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d
b d a c
=⇒=
⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd
b d b d ±±=⇒=
（k 为任意实数） ⑸ 等比性:如果....a c m b d n ===，那么......a c m a
b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法：a c a c
b d b d
⋅⋅=⋅
分式的除法：a c a d a d
b d b
c b c ⋅÷=⨯=⋅
乘方：()n n
n n
n a a a
a a a
a a
b b b
b b b
b b ⋅=⋅
=⋅个
个
n 个
＝(n 为正整数） 整数指数幂运算性质:
⑴m n m n a a a +⋅=（m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数） ⑶()n n n ab a b =（n 为整数）
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数） 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时,1
n n a a
-=(0a ≠),即n a -(0a ≠）是n a 的倒数 分式的加减法法则：
知识点睛
中考要求
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减,
a b a b
c c c
+±=
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式再加减，
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在。

一、分式的化简求值
【例1】 先化简再求值:
2
11
1x x x
---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南郴州
【解析】原式()()111x x x x x =
---()11
1x x x x -==- 当2x =时,原式112x =
=
【答案】12
【例2】 已知：22
21()111
a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =
【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】
【解析】22
22
2
1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-
【答案】4-
【例3】 先化简，再求值：
22144
(1)1a a a a a
-+-÷
--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，安徽省中考
【解析】()()
222
1144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛
⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式11
2123a a -=
==---
【答案】1
例题精讲
【例4】 先化简，再求值：
22
91333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中1
3x =. 【考点】分式的化简求值
【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题
【解析】原式()()()
331
33x x x x x +-=
⋅-+ 1
x
=
当1
3
x =时,原式3=
【答案】3
【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11
x x x -
÷+-+-，其中x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年,湖北省十堰市中考试题
【解析】原式()()()11
1121
x x x x x +-=
⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-
当x 2
24=
-=．
【答案】4
【例6】 先化简，后求值:22121
(1)24
x x x x -++÷
--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年,广东省肇庆市中考试题
【解析】22
121(1)24
x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =2
1(2)(2)
2(1)x x x x x -+-⋅-- =
2
1
x x +- 当5-=x 时,原式21x x =
+-521
512
+-=-=-. 【答案】
12
【例7】 先化简,再求值：532224x x x x -⎛
⎫--÷
⎪++⎝⎭
，其中3x ． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题
【解析】原式2453(3)(3)2(2)
22(2)22(3)3
x x x x x x x x x x ---+-+=⨯=+++-=
÷+，当3x =时，原式=。

【答案】
【例8】 先化简,再计算：231124a a a +⎛
⎫+÷
⎪--⎝
⎭，其中3a =． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题
【解析】原式()()222
3221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯ ⎪--+⎝⎭ ()()22121
a a a a a +-+=
⨯-+ 2a =+
【答案】2a +
【例9】 当1
2x =-时，求代数式2222
6124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭
的值 【考点】分式的化简求值
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】原式2224(1)1
(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=
⨯==+--+- 【答案】1
3
【例10】 先化简分式22
222936931
a a a a a a a a a ---÷-
+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．
【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年,广东省深圳市中考试题
【解析】原式()()()()2
2
3332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，
，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4,6
【例11】 先化简:22222a b ab b a a ab a ⎛⎫
-+÷+ ⎪-⎝⎭
，当1b =-时,再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求
值．
【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题
【解析】原式()()()()222
21
a b a b a ab b a b a a a b a a a b
a b +-+++=÷=⋅=-++ 在22a -<<中，a 可取的整数为101-，
，，而当1b =-时， ①若1a =-，分式22
2a b a ab
--无意义；
②若0a =，分式2
2ab b a
+无意义；
③若1a =，分式
1
a b
+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
【例12】 已知212242
x
A B C x x x =
==
--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ．
【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，河南省中考试题
【解析】选一：()()()21
221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时,原式1
132==-
选二：()212121
24222x A B C x x x x x x x -÷=
-÷=-=--+--， 当3x =时，原式1
3
=
【答案】选一：当3x =时，原式1
132
=
=- 选二：当3x =时,原式1
3
=
【例13】 先化简，再求值:
2
24125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a = 【考点】分式的化简求值
【难度】3星
【题型】解答 【关键词】
【解析】原式2
22
4(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)
a a =-- 当4a =时，原式441
(34)(3)(344)(43)2
a a =
==--⨯-- 本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似,分式的四则混合运算 的顺序是：先算乘方,再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】1
2
【例14】 已知20102009x y ==，，求代数式22xy y x y
x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭÷的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年,顺义一模试题
【解析】22xy y x y
x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
÷ 222x xy y x
x x y -+=-
2()x y x
x x y -=-
x y =-
当2010x =,2009y =时，原式=201020091x y -=-=．
【答案】1
【例15】 已知22a b ==，试求a b
b a
-的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题
【解析】∵22a b ==
∴4a b +=，a b -=1ab =
而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==
∴
a b b a -=
()()a b a b ab
+-==
【答案】
【例16】 先化简,再求值：
()()
x y
y x y x x y -++，其中11x y ，．
【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年,湖南湘潭市中考试题
【解析】原式()()
22
x y xy x y xy x y =
-++ ()22
x y xy x y -=+()()()
x y x y xy x y -+=
+x y xy -=
当 11x y =，时，
1122
1
x y
xy
-
-=== 【答案】2
【例17】 化简，再求值:11-a b b a ⎛⎫+ ⎪
+⎝⎭ab a b
÷+。

其中1a =， b = 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，黄石市中考试题
【解析】原式()()()()()2
b a a b a b a b b a ab a b b
++-+=
⋅=-+-
∵1a b =，
∴原式1b =，
∴
===
【例18】 先化简，再求值：22
112b a b a b a ab b
⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b =+=【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，宣武一模试题
【解析】原式()()()()
()()2
2a b a b a b a b a b a b b a b
+----=⋅=
-++
当11a b =+==
=
【答案】
【例19】 先化简，再求值：222
11x y
x y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭
，其中11x y =， 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式222222
2
x y x y x y
x y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y
++--=⨯-
222x x y xy
=
=
当11x y =， 原式
2
2
131
xy
=
==
=-
【答案】1
【例20】 求代数式()()22
2
2222222
2a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，2
3
c =- 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】()()2
2
2
22222222a b c
a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-
()()()()()
()()()()2
a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b c
a b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时,原式12123112
+
+
=
-1313263=⨯=． 【答案】13
3
二、条件等式化简求值
1. 直接换元求值
【例21】 已知：2
2
44a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b b
a b a ab b a b
--÷-
++++的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年,石景山二模
【解析】由2244a b ab +=得2b a =
原式2a b a b
-=+
当2b a =时，
原式42a a
a a
-=+1=-
【答案】1-
【例22】 已知x y z ，，满足235x y z z x =
=-+，则52x y
y z -+的值为（ ） A 。

1 B.13 C 。

13
- D.1
2
【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】2007年,全国初中数学联赛试题
【解析】B ；由235x y z z x ==-+得3
32y x z x ==，，
∴
5531
2333x y x x y z x x --==++ 【答案】1
3
【例23】 已知：34x y =，求222
2222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值
【考点】分式的化简求值
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】2222
222()()()3
2()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】
3
4
【例24】 已知：2
20x -=，求代数式222(1)11
x x x x -+
-+的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年,丰台一模
【解析】原式=22
(1)1)(1)1
x x x x x -++-+（
=2111x x x x -+
++ =211
x x x +-+ ．
∵220x -=，∴22x =．
∴原式=
211
111
x x x x +-+==++．
【答案】1
【例25】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y
x xy y x y x y
的值．
【考点】分式的化简求值
【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，海淀一模
【解析】y x y y x y x y xy x x
-++-⋅+-222222
2 2
2()()2()x x y x y y
x y x y x y -+=
⋅++--
22()x y x y x y =
+--
2()
()
x y x y +=
-．
当
2
1
=y x 时，x y 2=。

原式2(2)
6(2)
x x x x +=
=--。

【答案】6-
【例26】 已知221547280x xy y -+=，求x
y
的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，
由题意可知:0y ≠，
73x y =-或45
x y =-。

【答案】4
5
-
【例27】 已知22690x xy y -+=，求代数式
22
35(2)4x y
x y x y +⋅+-的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，海淀二模
【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．
∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)
x y
x y x y x y +=⋅++-
352x y
x y +=-
3(3)52(3)y y
y y
+=
-
145=
． 【答案】14
5
【例28】 已知x =，求35
1x x x
++的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】降次，整体置换
【解析】
21x -=,整理得，21x x =+，0x ≠．
则()2
33245555111x x x x x x x x
x x x ++++=====
【例29】 已知20x y -=,求22
()2x y xy
y x x xy y -⋅-+的值．
【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年,东城二模
【解析】22
()2x y xy
y x x xy y -⋅-+
=2222
2x y xy
xy x xy y -⋅-+ =2()()()x y x y xy
xy x y -+⋅-
=
x y
x y
+-。

∵20x y -=， ∴2x y =.
∴
x y x y +-=
2332y y y
y y
y +==-。

∴原式 3.=
【答案】3
【例30】 已知3a b =,23a c =，求代数式a b c a b c
+++-的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】（法1)注意将未知数划归统一，2,33a a b c ==,12
3331233
a a a
a b c a b c
a a a ++++=
=+-+- （法2）3a b =，223233a c b b =
=⨯=，32332a b c b b b a b c b b b ++++==+-+-
【答案】3
【例31】 已知
123a b c a c ==
++,求c
a b
+的值． 【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛
【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c a
a b a ==++．
【答案】2
【例32】 已知2232a b ab -=，0a >,0b >，求证:
25
2
a b a b +=- 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-
∵0a >，0b >，∴3a b =，则
23255
322
a h
b b b a b b b b ++===-- 【答案】
5
2
【例33】 已知:2232a b ab -=，求2a b
a b
+-的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星
【题型】解答
【关键词】清华附中暑假作业
【解析】变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以
212a b a b +=--或5
2
. 【答案】12-或5
2
【例34】 已知2
2(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy
a x a
b y b xy
++++的值．
【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】第9届,华罗庚金杯总决赛1试 【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297
=。

【答案】
7297
【例35】 已知分式
1x y
xy
+-的值是m ,如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？
【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由题可知：()()()1.1x y
m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪
⎨-+-⎪=⎪---⎩
，
①②
由②得：11x y x y
n m xy xy
--+=
=-=---． ∴m n =-,∴0m n +=． 所以m n ，的关系为互为相反数．
【答案】m n ，的关系为互为相反数
【例36】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n
． 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】∵0x ≠，∴由2
33mx y +=，得：()()231133y y y m x x
+--==． 由222nx y -=,得:()22
2122y y n x x ++==． ∵1y ≠-,∴0n ≠,
∴231121y y y m n x x +-+=÷()
2
31121y y x x y +-=⋅
+312x y -=． 【答案】
()312
x y -
【例37】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=,且0abc ≠,求333
2223273a b c ab bc a c
-++-的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由题意可知:2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩,解得43a c b c =⎧⎨=⎩
，33332223
32151
73453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】1
3
-
【例38】 已知方程组：230
230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩
（0xyz ≠），求：::x y z
【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =。

【答案】::7:5:1x y z =
【例39】 若4360x y z --=,270x y z +-=(0xyz ≠），求222
222
522310x y z x y z +---的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】全国初数数学竞赛
【解析】由43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩，得32x z
y z =⎧⎨=⎩,代入得原式13=-.
【答案】13-
【例40】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件
5
8
x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】黄冈市初中数学竞赛
【解析】58x y =,58y m =，85m y =,864
525
n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y =
5864
12520032051211578525
x y m n y y y y +++=+++=+++=
【例41】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222
111
b c a c a b a b c
+++-+-+-的值为___________. 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】1996年,武汉市初中数学竞赛试题 【解析】由0a b c ++=，得2222a b c a ab b c +=-++=，，∴2222a b c ab +-=-。

同理，22222222b c a bc c a b ca +-=-+-=-，。

故原式11102222a b c
bc ca ab abc
++=++==----
【答案】0
【例42】 已知实数a 、b 、c 满足11a b c ++=与
1111317
a b b c c a ++=+++，则a b c
b c c a a b ++
+++的值是 ． 【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2008年，青少年数学国际城市邀请赛，个人赛 【解析】因为()11a b c =-+,所以,
所以，
()11111b c a b c b c b c -+==-+++． 故c a b a b b c c a ++
+++ 111111111a b b c c a
=-+-+-+++ 1
11113a b b c c a ⎛⎫=++- ⎪+++⎝⎭
139********=⨯-=．
【答案】92
17
【例43】 已知非零实数a b c ，
，满足0a b c ++=。

求证： （1）3333a b c abc ++=
(2）9a b b c c a c
a b c
a b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭。

【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2005年，北京市初二数学竞赛试题 【解析】（1）由0a b c ++=，得a b c +=-，
∴()3
3a b c +=-。

于是3223333a a b ab b c +++=-，
故()()333333a b c ab a b ab c abc ++=-+=--=。

（2）∵2211a b b c c a c b c c a c
c c a b a b a b a b ab -----⎛⎫⎛⎫++⋅=++⋅=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 同理221a b b c c a a a c a b b c bc ---⎛⎫++⋅=+ ⎪-⎝⎭，221a b b c c a b
b c
a b c a ac ---⎛⎫++⋅
=+ ⎪-⎝⎭. ∴a b b c c a c a b c a b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭
()333222222223111339a b c c a b abc ab bc ac abc abc
++⨯=+++++=+=+=
【答案】9
2、设参辅助求值
【例44】 已知234
x y z
==，则
222x y z xy yz zx ++=++___________． 【考点】分式的化简求值
【难度】3星 【题型】填空
【关键词】“希望杯"试题;设参
【解析】令2234x y z k x k ===⇒=，3y k =，4z k =，故原式222222491629
612826k k k k k k ++==
++; 【答案】29
26
【例45】 若a b c d b c d a ===，求a b c d
a b c d
-+-+-+的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】；设参
【解析】设a b c d
k b c d a
====,则d ak =，2c dk ak ==，3b ck ak ==,4a bk ak ==
故41k =，故1k =±.
若1k =，则0a b c d a b c d -+-=+-+；若1k =-，则2a b c d
a b c d
-+-=-+-+。

【答案】0或2-
【例46】 化简：()()()()()()
(2)(2)(2)(2)(2)(2)y x z x z y x y x z y z x y z x y z x y z y z x y z x x y z ------++-++-+-+-+--+
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】设参
【解析】设x y a -=，y z b -=，z x c -=
则有2()()x y z x y y z a b -+=---=-， 2()()x y z y z z x b c +-=---=-，
2()()y z x z x x y c a +-=---=-。

故原式()()()()()()ca ab bc a b b c b c c a c a a b ---=++------()()()
()()()ca c a ab a b bc b c a b b c c a -+-+-=----
222()()()
()()()
c a b c a b ab a b a b b c c a ---+-=-
---()()()1()()()a b c a c b a b b c c a ---=-=---。

【答案】1
【例47】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，
求分式222(1)(1)(1)
(1)(1)(1)
bc ca ab a b c ++++++的值.
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】设参
【解析】设,,a b x b c y c a z -=-=-=，则已知条件化为222222()()()x y z z x x y y z ++=-+-+-
展开并化简可得，2222220x y z xy yz zx ++---=。

又0x y z a b b c c a ++=-+-+-=， 故2222220x y z xy yz zx +++++=。

从而22200x y z x y z a b c ++=⇒===⇒==。

于是可得2
22(1)(1)(1)
1(1)(1)(1)
bc ca ab a b c +++=+++。

【答案】1
【例48】 已知232332234a b c b c a c a b +--+++==
，则2332a b c
a b c
-++-=____________. 【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】五羊杯试题；设参
【解析】设232332234a b c b c a c a b
k +--+++===,则有
232233324a b c k
b c a k c a b k
+-=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩,求得911a k =，811b k =，111c k =.故2343231a b c a b c -+=-+-.
【答案】431
-
【例49】 已知345x y y z z x ==+++，则222
x y z xy yz zx
++++=__________。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】重庆市数学竞赛试题；设参
【解析】由
345k x y y z z x ===+++，可得345
x y k
y z k x z k ⎧+=⎪⎪
⎪
+=⎨⎪
⎪+=⎪⎩
，可得213x k y k z k ⎧
=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，则2221411x y z xy yz zx ++=++。

【答案】14
11
【例50】 设1x y z u +++=,()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+,
则733x y z u +++=___________．
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】“五羊杯”试题；设参
【解析】令2222234
y z z u u x
x y k ++++====,则有
2 (1)22 (2)2
3 (3)2
4 (4)
x y k y z k z u k u x k +=⎧⎪+=⎪
⎨
+=⎪⎪+=⎩ (1)2(2)⨯-可得，40 (5)x z -= (3)2(4)⨯-可得,42 (6)z x k -=
由(5)、(6)可得，215x k =
，8
15z k = 代入(1)、(3)可得，1115y k =,29
15u k =
又1x y z u +++=,故2811293
11515151510k k k k k +++=⇒=
故203
7332310
x y z u +++=⨯=．
【答案】2
【例51】 若
x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()
x y y z z x xyz
+++的值. 【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】天津市竞赛题；设参
【解析】设
x y z x y z x y z
k z y x
+--+-++=== 则(1)x y k z +=+，(1)y z k x +=+,(1)x z k y +=+，三式相加可得2()(1)()x y z k x y z ++=+++，
若0x y z ++≠，则1k =，
()()()
8x y y z z x xyz
+++=； 若0x y z ++=，则
()()()
1x y y z z x xyz
+++=-。

【答案】8或1-
【例52】 已知
x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++++++的值．
【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】解答 【关键词】设参
【解析】可得(13)()0k x y z u -+++=
⑴如果分子0x y z u +++≠，则由分母推得x y z u ===．此时， x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++++++11114=+++=． ⑵如果分子0x y z u +++=,则()x y z u +=-+，()y z u x +=-+． 此时，
x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++++++()()()()11114=-+-+-+-=-． 【答案】4或4-
【例53】 已知
x y z
b c a c a b a b c
==
+-+-+-,求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】设参
【解析】设x y z
k b c a c a b a b c ===+-+-+-，则有
()2()()2()()x b c a k
y x a b k y c a b k z x a c k z a b c k
=+-⎧-=-⎧⎪
=+-⇒⎨⎨-=-⎩⎪=+-⎩
故[]()()()()()()()b c x c a y a b z c a a b x c a y a b z -+-+-=--+-+-+- ()()()()2()()2()()0c a y x a b z x a b c a k a c a b k =--+--=--+--=。

【答案】0
【例54】 已知a ，b ,c 都是互不相等的非零实数，x ，y 中至少有一个不为零，且bx cy cx ay ax by
a b c
+++==。

求证：0a b c ++=。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】设参
【解析】设bx cy cx ay ax by
k a b c +++===,则有
(1) (2) (3)bx cy ak cx ay bk ax by ck +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
不妨设0x ≠,由(1)、(2)消去y 可得 ()()
22 (4)ab c x a bc k -=- 由(2)、(3)消去y 可得 ()()
22 (5)bc a x b ca k -=- 由(4)、(5)消去k 可得
()()()2
2220ab c b ca a bc x ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦
故()()()2
2220ab c b ca a bc --+-=
()()()()222
0a a b c a b b c c a ⎡⎤++-+-+-=⎣⎦
由0a ≠，a ,b ，c 互不相等可知，0a b c ++=． 【答案】0
【例55】 已知9p q r ++=，且
222p q r
x yz y zx z xy
==---，则 px qy rz
x y z
++++的值等于（ )
A. 9 B 。

10 C 。

8 D 。

7
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】选择
【关键词】第11届，“希望杯"试题，设参
【解析】设2
22p q r
k x yz y zx z xy
===---,又9p q r ++=， 故()
2229k x y z xy yz zx ++---=
又()
333px qy rz k x xyz y xyz z xyz ++=-+-+-()
3333k x y z xyz =++-
()()222k x y z x y z xy yz zx =++++---
()9x y z =++，故
9px qy rz
x y z
++=++,选A ．
【答案】A
【例56】 已知2220(0)x yz y zx z xy
xyz a b c
---==≠≠，求证:222a bc b ca c ab x y z ---==。

【考点】分式的化简求值 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】
【解析】略,设参
【答案】设222x yz y zx z xy
k a b c
---===，则2x yz ka -=,2y zx kb -=，2z xy kc -=，所以
222222()()()()k a bc x yz y zx z xy -=----
4222223322x x yz y z y z xy xz x yz =-+-++- 333(3)x x y z xyz =++-。

因为0x ≠，0k ≠,所以23332
3a bc x y z xyz
x k -++-=。

同理可得2233323b ca c ab x y z xyz y z k --++-==，从而222a bc b ca c ab
x y z
---==.
【例57】 已知()()()()()()222222
222x y y z z x x y z y z x z x y -+-+-=+-++-++-，
求
()()()
2
22111111xy yz zx x
y z ++++++的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】6星 【题型】解答
【关键词】第9届，“江汉杯”初中数学竞赛试题,设参
【解析】设A x y B y z C z x =-=-=-，
，,则0A B C ++=。

已知的等式可化为：()()()2
2
2
222A B C B C C A A B ++=-+-++， 化简得2222220A B C AB BC CA ++---= ①
∵0A B C ++=，∴()22220A B C AB BC CA +++++= ② 由①、②得2220A B C ++=，故0A B C ===， 于是x y z
==，得
()()()()()()()()()()()()
2222
2
2
2
2
2
1111111111111x
y z xy yz zx x y z x
y z ++++++=
=++++++
【答案】1
2. 整体置换
【例58】 已知2
0x x -=，求222
141
2211
x x x x x x --⋅÷+-+-的值. 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，门头沟一模
【解析】222
141
2211x x x x x x --⋅÷+-+- =
21(2)(2)
(1)(1)2(1)x x x x x x x -+-⋅⨯+-+- =(2)(1)x x -+
=22x x --
当20x x -=时，原式22022x x =--=-=-
【答案】2-
【例59】 已知,12ab a b =-+=，
,则_______.b a
a b
+＝ 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2010年，湖北省黄冈市中考试题，整体思想 【解析】略 【解析】6-
【例60】 已知1
,12x y xy +==，求代数式
222()3x y x y xy +++的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】2星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】
2221
2222()172()()()3331212x y x y x y x y xy xy ⨯
++++=++=+=⨯ 【答案】7
12
【例61】 已知210a b +-=，求代数式22()(1)()a
a b a b a b
-+÷-+的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，密云二模,整体思想 【解析】（本小题满分5分）
22()(1)()a
a b a b a b
-+÷-+
21
()()a b a b a b a b a b
+=-+⨯⨯
+- 2a b =+．
∵210a b +-=,∴21a b +=． ∴原式1=．
【答案】1
【例62】 已知224a a +=，求
1
21
111122+-+÷--+a a a a a 的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2010年，朝阳二模,整体思想
【解析】原式2
11(1)1(1)(1)1a a a a a -=-⋅++-+ 2
111(1)a a a -=-++ 2
2(1)a =+ 当224a a +=时，原式22(1)a =
+5
2
=
【答案】
25
【例63】 当220x x +-=时，求代数式32
331x x x x +⎛
⎫+÷ ⎪+⎝⎭
的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星
【解析】(本小题满分5分）
32
331x x x x +⎛
⎫+÷ ⎪+⎝⎭
3233x x x x x x +⎛⎫=+⋅ ⎪+⎝⎭
23()
3x x x x x x ++=⋅
+ 2x x =+
当220x x +-=时，原式=2。

【答案】2
【例64】 已知3a b
a b
-=+,求代数式
2()4()3()a b a b a b a b +---+的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】2星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】
2()4()1410
233()333a b a b a b a b +--=⨯-⨯=--+. 【答案】10
3
-
【例65】 已知2
10x x +-=,求22
2(1)(1)(1)121
x x x x x x x --÷+---+的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2010年，崇文一模，整体思想
【解析】解：22
2(1)
(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+ =2
121(1)(1)
[
]11(1)x x x x x x x ---+⋅--+- =11(
)11
x x x x +--- 2
1
x x -=
- ∵210x x +-=,∴21x x -=- ∴原式=1．
【答案】1
【例66】 已知：2
380x x +-=,求代数式21441
212
x x x x x x -+-⋅-
-++的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答，
【解析】原式21(2)1
212x x x x x --=⋅-
-++ 21
12
x x x x --=-
++ 2
3
32
x x -=++ 当2380x x +-=时，238x x +=
原式382
-=+3
10=-
【答案】3
10
-
【例67】 已知：12xy =-，4x y +=-，求
11
11
x y y x +++++的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】
2222211(1)(1)2()2()2()2()234
11(1)(1)()1()115x y x y x y x y x y x y xy y x x y xy x y xy x y +++++++++++++-+====-++++++++++ 【答案】34
15
-
【例68】 已知210x y xy +=,求代数式4224x xy y
x xy y ++-+的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】
422(2)20217
242410462x xy y x y xy xy xy x xy y x y xy xy xy +++++====-++--. 【答案】7
2
【例69】 已知：111x y x y +=+，求y x
x y
+的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】由111x y x y +=+可得2
()x y xy +=，222()21y x x y x y xy x y xy xy
++-+=
==- 【答案】1-
【例70】 设
1114x y -=,求2322y xy x
y x xy
+--- 【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】新加坡中学生数学竞赛，整体思想
【解析】由1114x y -=，知4()xy y x =-，则
23232()12()2()
22()2()8()
y xy x xy y x y x y x y x xy y x xy y x y x +-+--+-===--------。

【答案】2-
【例71】 设113x y -=,求3237y xy x
x xy y +-+-的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】由113x y -=，知3x y xy -=-，则
3233()211
77()4y xy x y x xy x xy y xy y x +--+==+---。

【答案】11
4
【例72】 如果235x y y x +=-，求22
22
410623x xy y x y +++的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】22
22
410623x xy y x y +++461023x y y x x y y x ++=+2321023x y y x x y y x
⎛⎫++ ⎪⎝⎭=
+()251005⋅-+==-。

【答案】0
【例73】 已知111m n -=，求575232m mn n
n mn m
+---的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】(法1）：由111m n -=可得,1n m
mn
-=，即n m mn -=，
5755()75722322()323m mn n m n mn mn mn
n mn m n m mn mn mn
+--+-+===------
（法2):根据题意可得0m ≠，0n ≠,所以（分式的分子分母同除以mn )
551175()7
5752
221123232()3m mn n n m m n n mn m m n m n +---++-===-------
【答案】2-
【例74】 已知a ，b ，c 为实数，且
13ab a b =+,14bc b c =+，15ca c a =+，求
abc
ab bc ca
++。

【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】第11届,“希望杯”试题，整体思想
【解析】由已知可知 11311
4115a b b c
c a ⎧+=⎪⎪
⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，三式相加得，1116a b c ++=,
故
111
1116
abc ab bc ca ab bc ca abc a b c
===++++++。

【答案】1
6
【例75】 已知13x x +=，则代数式221
x x
+的值为_________．
【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2010年，广西省桂林市中考试题，整体思想 【解析】略 【答案】7
【例76】 已
知：1x x -
=,求221
x x
+的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】
∵1x x -∴22127x x +-=，∴221
9x x
+=
【答案】9
【例77】 已知：2213a a
+=，求1
a a -的值.
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】∵2213a a +=,∴22121a a +-=，即21()1a a -=,1
1a a
-=±
【答案】1±
【例78】 已知x 为实数,且12x x +=，则441
x x
+=__________．
【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】整体思想
【解析】2
4
22242111()2()222x x x x x x ⎡⎤
+=+-=+--=⎢⎥⎣⎦
．
【答案】2
【例79】 设1x x
-
1
x x +的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】∵1x x -∴22125x x -+=，∴22211()29x x x x +=++=，所以1
3x x
+=±
【答案】3±
【例80】 若
11a a
-=，求1
a a +的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】2
22111()21a a a a a a -=-⋅⋅+=，分析可得0a >，10a a +>,
则222221111()221a a a a a a a a -=-⋅⋅+=-+=,则2
213a a +=
2
22111()2325a a a a a +=+⋅⋅+=+=,1a a
+
【例81】 若1
2x x +=，求2421x x x ++的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2005年，山东省潍坊市中考试题，整体思想
【解析】由12x x +=可知，21()4x x +=,2
212x x
+=，故24222
111131x x x x x ==
++++。

【答案】1
3
【补充】若13x x +=,则334
417
13
x x x x
++++=___________．
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】“希望杯"试题，整体思想
【解析】解析：由221137x x x x +=⇒+=，故23232
4242111
17
72511502131x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫++++ ⎪⎝
⎭． 【答案】12
【例82】 已知a 是2
310x x -+=的根，求5432
225281
a a a a a -+-+的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】因为a 是2310x x -+=的根，所以2310a a -+=
所以
2235432322222(1)58252811(8)(39)311133a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+-⎣⎦==-=-=-=-++ 利用条件2
310a a -+=的各个变形,对分式进行整体降幂是解题的关键。

【答案】1-
【例83】 已知：2
10x x --=,求45
21x x x
++ 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】广西省竞赛试题，整体思想
【解析】
422522221(1)21421425353
1(1)(21)(32)3253
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++======++++++ 利用条件210x x --=的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.
【答案】1
【例84】 设21x
a x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++
【考点】分式的化简求值
【难度】5星 【题型】填空
【关键词】湖北黄冈市初级数学竞赛,倒数法
【解析】∵0a ≠，∴0x ≠，于是211
x x x a
++=，即111x x a +=-，
42
222
2221111121()1(1)1x x a x x x x x a a ++-=++=+-=--=，2242112x a x x a =
++- 【答案】2
12a a -
【例85】 设211x
x mx =-+,求36
33
1
x x m x -+的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】1994年,四川省初中数学竞赛试题，整体思想
【解析】由条件知0x ≠，因而21
1x mx x
-+=,即11x m x +=+，
633
33
33233
11111()3()32x m x x m x x x m m x x x x x -+=+-=+-⋅+-=- 36332
1
132x x m x m =-+- 【答案】21
32
m -
【例86】 已知:2710x x -+=,求⑴1x x +；⑵221x x +;⑶441
x x
+的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】⑴∵2
710x x -+=，∴0x ≠，∴2710x x x
-+=，即17x x +=
⑵∵17x x +=，∴221249x x ++=，∴221
47x x
+=
⑶∵22147x x +=，∴44122209x x ++=，∴441
2207x x
+=
【答案】2207
【例87】 已知：2
510a a -+=，求422
1a a a ++的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】由2510a a -+=，可知0a ≠，得150a a -+=，即1
5a a
+=
422
2221111()2124a a a a a a a
++=++=+-+= 【答案】24
【例88】 已知：2310x x -+=,求221
x x
+的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】整体思想
【解析】∵2310x x -+=,∴0x ≠，∴13x x +=，∴22129x x ++=,∴221
7x x
+=
【答案】7
【补充】若2
310x x -+=，则74843231
x x x x x ++=++________．
【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】整体思想
【解析】由22211
31037x x x x x x
-+=⇒+=⇒+=，
故原式23232
4242111
132
3250115013
1x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫++++ ⎪⎝
⎭． 【答案】1
【例89】 已知：2
10a a --=，且4232232932112
a xa a xa a -+=-
+-,求x 的值。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】上海市高中理科实验班招生试题，整体思想
【解析】由条件知：11a a -=，又221
2()3931112()2a x
a a x a
+-=--+，即2(12)39312112x x +-=-
+，解得1510x =- 【答案】1
510
-
【例90】 已知2
410a a ++=，且4232
1533a ma a ma a
++=++，求m 。

【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】第17届,江苏省竞赛试题，整体思想
【解析】由已知可得14a a +=-,24223211145133123()a m a ma m a a ma a m a m a
+
++++===++-+++，解得372
m = 【答案】372
m =
【例91】 已知代数式25342
()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为1,求该代数式当1-=x 时的值． 【考点】分式的化简求值
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】第11届，“希望杯”邀请赛试题，整体思想 【解析】当1=x 时，25342()11x ax bx cx a b c x dx d
++++==++； 当1x =-时,25342()()111x ax bx cx a b c a b c x dx d d
++----++===-+++ 【答案】1-
4. 其他条件等式化简求值
【例92】 已知10x y z m n p m n p x y z ++=++=，，求222
222x y z m n p
++的值。

【考点】分式的化简求值
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】1996年,天津市初中数学竞赛 【解析】由0m n p x y z ++=,得0myz nxz pxy xyz
++=，∴0myz nxz pxy ++= 故()22222212121x y z x y z xy xz yz pxy nxz myz m n p m n p mn mp np mnp ⎛⎫⎛⎫++=++-++=-⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】1
【例93】 已知()30x y z a a ++=≠，
那么()()()()()()()()()
222x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值为__________。

【考点】分式的化简求值
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】吉林省初中数学竞赛预赛试题 【解析】12
-;由3x y z a ++=，得()()()0x a y a z a -+-+-=， 故()()()()()()()()()2222x a y a z a x a y a y a z a z a x a -+-+-=---+--+--⎡⎤⎣⎦。