广西柳州市铁一中高三9月月考(理数)

柳州市铁一中 2021届9月月考（理数）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设i 为虚数单位，R a ∈，若
i
ai
+-11是纯虚数，则=a （ ） A.2 B.2 C. 1 D. 1
2.已知集合{}
0342>-+=x x x A ，{}
12+==x y y B ，则=⋃B A （ ） A.（0，4） B.（1，+∞） C. （0，+∞） D. （1，4）
3.设l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若l ⊥m ，m ⊂α，l ⊂β，则α⊥β B.若l ⊥α，l ∥m ，α∥β，则m ⊥β C.若l ∥α，α∥β，m ⊂β，则l ∥m D.若l ∥α，m ∥β，α⊥β ，则l ⊥m
4.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前5项和为（ ） A ．23 B ．25 C ．43 D ．45
5.双曲线)0,0(1:
22
22
>>=-b a b
y a x C 的右焦点F （4，0）到其渐近线的距离为2，则其渐近线方程为（ ） A ．x y 55±
= B ．x y 5±= C ．x y 3
3±= D ．x y 3±= 6.函数x x x f ln sin )(⋅=的图像大致是（ ）
A B C D
7.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
32 B ．34 C ．37 D ．3
8
8.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 在R 上单调递
增，若a ，b ，
c 成等差数列，且0>b ，则下列结论正确的是（ ） A ．0)(<b f ，且0)()(>+c f a f B ．0)(<b f ，且0)()(<+c f a f
C ．0)(>b f ，且0)()(>+c f a f
D ．0)(>b f ，且0)()(<+c f a f
9.如果执行右图的框图，输入5=N ，则输出的数等于（ ）。

A ．
45 B ．54 C ．56 D ．65
10.已知函数)sin()(ϕω+=x x f )0(> ω图像的一个对称中心为)0,2(
π
，且2
1
)4(=πf ，则ω的最小值为（ ） A ．
32 B ．1 C ．34
D ．2
11. 设抛物线x y C 4:2
=
的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A,B 两点,若3
16
=AB ,且BF AF >,则=BF
AF （ ）
A ．3
B ．
2
5
C ．2
D ．4 12. 已知曲线a
x e y +=与2
x y =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）
A .[22ln 2-，+∞) B.(2ln 2，+∞) C.(∞，22ln 2-] D.(∞，22ln 2-)
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13.已知)2,2(-=a ，1=b ，a 与b 的夹角为135°，且0=++c b a ，则=c
14.已知变量若x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-+≥-0
1040
y y x y x ，则1+x y 的最小值为
15.已知n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-122)(*
∈N n 的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 1项的系数是
16.已知三棱锥PABC 中，AB ⊥BC ，AB=22，BC=3，PA=PB=23，且二面角PABC 的大小为150°，则三棱锥PABC 外接球的表面积为
三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17（本题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD 中,AB=4，AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=120°。

(Ⅰ)若
BC=(Ⅱ)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围。

18（本题满分12分）
为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值。

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：
判定规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲等；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁。

试判断设备M 的性能等级。

（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品。

①从设备M 的生产流水线上随机抽取2件零件，计算其中次品个数Y 数学期望)(Y E ； ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E 。

19.如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面
ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2，E 是PE 的中点。

（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角PACE 的余弦值为3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值。

20.（本题满分12分）
如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2
1
=e 。

过1F 的直线交椭圆于A ，B 两
点，且△2ABF 的周长为8。

（1）求椭圆E 的方程。

（2）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

21.（本题满分12分）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
23.[选修45：不等式选讲]（本题满分10分） 已知函数112)(++-=x x x f
（1）求不等式3)(<x f 的解集M ；
（2）设M b a ∈,21<-<-ab b。