湖南省长沙市望城区第一中学2016-2017学年高二上学期

2016年望城一中高二年级第二次调研考试
数学卷
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（每小题5分，共12小题，总60分）
1．设()f x 是定义在R 上的函数，则“函数()f x 为偶函数”是“函数()xf x 为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．若0()2f x '=，则000()()
lim
2k f x k f x k
→--等于（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．1
2
3．以椭圆
149
242
2=+y x 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（ ） A ．1242522=-y x B ．1252422=-y x C ．124252
2=-x y D ．
1252422=-x y 4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如右图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图
象中y ＝f (x )的图象大致是( )
5． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，
且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m
－n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．若1
2
()2()f x x f x dx =+⎰
，则1
()f x dx ⎰＝（ ）
A ．－1
B ．－13
C ．1
3
D ．1
7．已知A （2，－5，1），B （2，－2，4），C （1，－4，1），则
与
的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8.直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A.110
B.25
C.3010
D.2
2
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2
＋6，C ＝π3，则△ABC
的面积是( )
A ．3 B.9 32 C.3 3
2 D ．
3 3
10．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )
A ．d <0
B ．d >0
C ．a 1d <0
D ．a 1d >0
11．设12,F F 是椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左右焦点，过点12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四
点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ）
A ．2
D
12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”，已知函数21
()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x
=∈=<=，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在
(x ∈内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-；
④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-． 其中真命题的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4
二、填空题（每题5分，共4题，总20分）
13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
14． 设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10＋y 2
＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离
是 ． 15．1
21
sin x xdx -⎰
=________.
16．设函数f (x )＝3sin πx
m
，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋2＜m 2
，则m 的取值范围
是 .
三、解答题（共6题，共70分）
17．(本题10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B .
F
E
D
C
B
A
P
18．(本题12分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2
＋y 2
＝1相交”；q ：“mx 2
－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，¬ p 为真，求m 的取值范围．
19．（本题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，
PB 与DC 所成角为 45， F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点.
（Ⅰ）证明：PE AF ⊥；
（Ⅱ）若AB BE BC 322==，求直线AP 与平面PDE 所成角的大小.
20．（本小题12分）
等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.
(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
21．（本小题满分12分）
已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，F 是椭圆E 的右焦点，直线
AF 的斜率为
23
3
，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
22．（本题12分）已知函数)0(1)(>--=a ax e x f x
，（e 为自然对数的底数） （1）求函数)(x f 的最小值；
（2）若0)(≥x f 对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：))(1ln(1
...31211*∈+>++++
N n n n
参考答案
1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C 11．A
12．C
试题分析：(1)=，，则解得
，所以在内单调递增;故①正确．
(2)和之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为，当“隔离直线”与
同时相切时，截距最小，令切点坐标为，则切线方程为所以，故，所以
，此时截距最小，故②正确；此时斜率为，k的取值范围是．故③错误．
④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），再令F′（x）═=0，x＞0，得x=，从而函数h（x）和m（x）的图象在x=处有公共点．
因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e．
由h（x）≥kx-k+e可得 x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k2-4k+4e=≤0，只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．
同理证明，由φ（x ）≤kx-k +e ，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：
y=2
x-e ．
综上可得，函数f （x ）和g （x ）存在唯一的隔离直线y=2x-e ，故④正确．
13．1 14．62 15．0
16．(－∞，－2)∪(2，＋∞)函数f (x )的极值点满足
πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122
＋3<m 2
.因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋122
的最小值为
14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2
>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
17．解：由题设和正弦定理得
3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .
因为tan A ＝1
3，所以cos C ＝2sin C ，
所以tan C ＝1
2.
所以tan B ＝tan ＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1， 所以B ＝135°.
18.解 对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2＜1.
∴－2＋1＜m ＜2＋1.
对q ：方程mx 2
－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＞0，f (0)＜0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＜0，
f (0)＞0解得0＜m ＜4.
又∵¬ p 为真，∴p 假． 又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m ＜4. 故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4.
19．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．
设2==AB AP ，a BE =
则），，（000A ，），，（），，，（），，，（110200020F P B ，），，（02a E
于是，)2,2,(-=a ，)1,1,0(=， 则0=⋅，
所以AF PE ⊥．………………6分
（Ⅱ）若AB BE BC 322==，则)0,0,34(D ，),2,0,34(-=PD )2,2,32(-=PE ， 设平面PDE 的法向量为),,(z y x n =，
由 ⎝
⎛=⋅=⋅0
0，得：⎩⎨⎧=-+=-022320
234z y x z x ，令1=x ，则3,32==y z ， 于是)32,3,1(=n ，而)2,0,0(=AP 设AP 与平面PDE 所成角为θ，所以2
3
sin =
=
θ， 所以AP 与平面PDE 所成角θ为
60．
20.解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，
因此d ＝－3.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝
1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫
17－110＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫110－3n －110＝
n 10（10－3n ）.
21．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233
，得c ＝ 3.
又c
a ＝
32
，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝1. 故E 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
将y ＝kx －2代入x 2
4
＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2
－16kx ＋12＝0，
当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>3
4
时，
x 1，2＝8k ±24k 2
－34k 2
＋1， 从而|PQ |＝k 2
＋1|x 1－x 2| ＝4k 2
＋1·4k 2－34k 2
＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝2
k 2＋1
.
所以△OPQ 的面积
S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2
－34k 2
＋1
.
设4k 2
－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝
4t t 2
＋4＝4
t ＋
4
t
. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7
2时等号成立，满足Δ>0，
所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7
2
x －2.
22．（1）
min ()ln 1
f x a a a =--；（2）1=a ；（3）见解析。