【全国百强校】福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学(理)试题

福建省厦门第一中学2019届高三（下）市二检模拟考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集U R =，{}2019|log (1)A x y x ==-，{
|B y y ==，则()U A C B =I （ ）
A.()1,2
B.(]1,2
C.[)1,2
D.[]1,2
2.已知i 为虚数单位，若
1
(,)1a bi a b R i
=+∈-，则b a =（ ）
A.1
C.
2
D.2
3.下列说法中，正确的是（ ）
A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B.命题“0x R ∃∈，2
000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”
C.命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D.已知x R ∈，则“1x >是2x >”的充分不必要条件
4.设函数2,3,
()(1),3
x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 的值为（ ）
A.3
B.6
C.8
D.12
5.圆22
1x y +=的一条切线与圆2
2
4x y +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，则
1212x x y y +=（ ）
A.-
B.2-
C.2
D.6.已知抛物线2
4x y =，斜率为1
2
-
的直线交抛物线于A ，B 两点.若以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ，则点P 到直线AB 的距离为（ ）
C.
D.7.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的结果为（ ）
A.15
B.31
C.63
D.127
8.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图如图.
若甲地和乙地用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ，标准差分别为1s ，2s ，则下列结论正确的是（ ） A.12m m >，12s s >
B.12m m >，12s s >
C.12m m >，12s s >
D.12m m >，12s s >
9.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是（ ）
A.20π
B.
1015
π
C.25π
D.22π
10.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直
线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =uu u r uu r
，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
2
B.
2
C.
3
11.如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若1AB =，2AD =cos sin DBC CD BCD =∠+∠，则BCD S △的最大值为（ ）
A.
7
4
B.
4
C.
4
D.
72
12.已知函数()x
f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值是________
14.若929
0129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，当5126a =时，实数a 的值为________
15.在ABC △中，角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，23
A π
=，若当b ，c 变化时，(,)g b c b c
λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围是________
16.已知()tan f x x =，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，0,2n a π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且13
a π
=
，()
1n f a +=，
则使得121
sin sin sin 10
k a a a ⋅<
L 成立的最小正整数k 为________ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
已知等差数列{}n a 满足2
(1)2,n n a n n k k R +=++∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2
1
4n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（12分）
如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒. （1）求证：1AB A D ⊥；
（2）求二面角1A A D C --的余弦值.
19.（12分）
某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：
已知A 、B 、C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元. （1）求保险公司在该业务所获利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.
根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
20.（12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的四个项点组成的四边形的面积为，且经过点2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的下顶点为P ，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的
最大值.
21.（12分） 已知21
()(ln )ln 1()2
f x x x k x k R =-
--∈. （1）若()f x 是(0,)+∞上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个极值点，判断函数()f x 零点的个数.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()1,A ρϕ，2,6B πρϕ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，()3123,,06,C πρϕρρρ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭都在曲线M 上.
（1
123ρρ=+；
（2）若过B ，C
两点直线的参数方程为2212
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求四边形OBAC 的面积.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数()|2|||f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；
（2）对于满足22
1b c bc ++=的任意实数b ，c ，关于x 的不等式，()3()f x b c ≥+恒有解，求a 的取值
范围.。