三年级第5讲.和倍问题.教师版

第五讲 和倍问题
知识点拨：
和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求1份数：
l 份数×(倍数－1)=两数差.
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题精讲：
【例 1】 果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？
【解析】 把梨树的棵数看作l 份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数，分别求出梨
树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.
（法１）梨树：54(51) 9÷+=(棵)，苹果树：9545⨯=(棵)，苹果树比梨树多：45936-=(棵) （法２）梨树：54(51)9÷+=(棵)，苹果树比梨树多：9(51)36⨯-=(棵)
【巩固】 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【解析】 设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于
乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：
乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本）
验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

【巩固】 小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只．白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、
黄鸡、黑鸡一共有多少只?
【解析】 ⑴黄鸡多少只？ 18(21)÷-=(只)
⑵白鸡多少只？ 182⨯=(只)
⑶黑鸡多少只？ 18
13-=(只) ⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ 1836559++=(只)
【例 2】 北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。

已知红花的朵数比黄花的2
倍少30朵。

问两种花各有多少朵？
【解析】 我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：
从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。

所以黄花朵数为：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。

红花朵数为：300-110=190（朵）。

【例3】甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？【解析】解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本
书（见下图）。

甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150（本）
甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3（倍）
乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）（120-20）+（30+20）＝150 （本）答：甲班给乙班
20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。

【例4】大桶里有油60千克，小桶里有油30千克．将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍．问两个桶各剩油多少千克？
【解析】用下图表示它们的关系：
卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题．小桶所剩
的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多413
-=（倍）．而大桶比小桶多的油总保持不变，是603030
-=（千克）．再利用差倍问题的公式就可解决．小桶剩下的油是：30310
⨯=（千克）．
÷=（千克），大桶剩下的油是：10440
【巩固】两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果原来各有多少千克？
【解析】用下图表示它们的关系：
设乙筐余下的千克数为1份，则甲筐余下的千克数为3份，甲、乙两筐余下的苹果相差312
-=（份）．原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克，说明甲筐
比乙筐少卖出19712
-=（千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少12千克，所以甲、乙两筐
余下的差是12千克，所对应的份数差是2，从而可以求出1份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果数相差19712-=（千克），乙筐余下苹果的数是12316÷-=（）（千克）
，甲、乙两筐原来各有苹果的数量61925+=（千克）．
【例 5】 甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米
的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？
【解析】 甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）
甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）
甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）
经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。

【巩固】 甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶
油是乙桶油的2倍？
【解析】 甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：
当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2+1）=220（千克）：
由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

【例 6】 学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍．排球比足球多4个．问
学校买来的篮球、足球、排球各多少个？
【解析】 可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正．
从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l 份数，这时三种球一共(494-)个，总份数是(131++)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数．
如果排球减少4个，三种球一共多少个？ 49
44-=(个)
足球多少个？ 45(131÷++=(个)
篮球多少个？ 932⨯=(个)
排球多少个？ 9+4=(个)
【巩固】 一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克．已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨
少3千克．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？
【解析】 梨的重量是：(1123)(113)23+÷++=（千克）
苹果的重量是：23369⨯=（千克）
香蕉的重量是：23320-=（千克）
【巩固】 玩具厂生产红、黄、白气球共125个，其中红气球的个数是黄气球的3倍，白气球比黄气球
少25个．问三种气球各生产了多少个？
【解析】 黄气球：(12525)(311)30+÷++=（个）；红气球：30390⨯=（个）；白气球：30255-=（个）
【例 7】 四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其
余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四
个班共有多少人？
【解析】由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，甲班比丁班多3个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也
就是说乙、丙两班总人数是丁班的2倍还多2人．从而可以求出丁班的人数为：
-÷=（人）．
(1312)343
因此这四个班的总人数为13443177
+=（人）．
【例8】某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的．开始时长蜡烛是短蜡烛长度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍．短蜡烛燃烧掉的长
度是5厘米．问原来两根蜡烛各有多长？
【解析】我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)．所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度2
=倍原短蜡烛长度，差为1倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度3
=倍后短蜡烛长度，差为2倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度=倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了1倍后短蜡烛长度，为5厘米，所以原短蜡烛长10
2
厘米，原长蜡烛长20厘米．
【巩固】某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛．这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长
度的3倍．这次停电时间是多少小时？
【解析】两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为3:5．现在可以维持5小时的那支蜡烛剩下的长度是另外
一支的3倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3535
⨯÷=倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以
燃烧的时间要长532
-=小时．所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2(51)0.5
÷-=小时，这次停电的时间为30.5 2.5
-=小时．
【例9】甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？
【解析】我们把丙数看作一份，画出线段图如下：
假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7
凑成3份，则这时候三个数的总和为：
183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。

所以，一份数即丙数为：180÷6=30；
乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。

【例10】盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，
那么盒子里有红球和白球各多少个？
【解析】方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球，因此如果再增加150个白球，可以使得
“每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第
一种取法，白球会剩下50150200
+=（个），这说明白球增加150个后，白球的数量是红球的3倍且白球比红球多200个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是
⨯=（个），不过这个数量是白球÷=（个），此时白球的数量是：1003300
2002100
增加150个之后的结果，所以原来盒子里有白球300150150
-=（个），红球100个．方法二：用下图表示它们的关系：
把红球的数量减去50个看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的数量是（5050
+）个．所以红球的数量有5050502100
（）（个），白球的数量比红球多50个，有10050
++÷=
+ =（个）．可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系．
150
【例11】小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。

这本小说一共多少页？
【解析】小月第一天比冬冬多看了28页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看28页才能和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了2822-154
÷=
（）天，那么可以知道这本小说一共：
（）页。

⨯+=
50415110
+⨯=页，验证2241110
【例12】(2008年湖北省第六届“创新杯”全国数学邀请赛六年级)某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的
男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有
人．
【解析】因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人，而六年级学生至多有7人；
因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男
生多”，所以六年级男生至少有6人，而六年级男生不能多于6人，否则再加上六年级的女生
至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人，这不可能．因此，六年级的男生恰好有有
6人。

【例 13】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240，而减数是差的5倍．求差是多少？【解析】引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，并认识它们之间的转化．我们先看下面一道简单的减法算式：
15－ 10= 5
被减数减数差
被减数、减数、差这三个数有下面的关系：被减数=差+减数，如15=5+10
这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30，
30是被减数的2倍，30215
÷=，就得被减数，也就是
减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和
是15，减数是差的2倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15(21)5
÷+=．列式：减数与差的和是多少？2402120
÷=，
差是多少？120(51)20
÷+=
【巩固】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于1039．原来的
被除数是 ，除数是 ．
【解析】 被除数、除数都扩大到原来的4倍，它们的商还是7、余数为5420⨯=，所以被除数与除数
的和为103920710--=，而此时被除数比除数的7倍大20，所以除数为(101220)(71)124-÷+=，所以原来的除数为124431÷=，被除数原来为3175222⨯+=．
【例 14】 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36
支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？
【解析】 铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的
3216++=倍．1723333638424951289+++++++=除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．
【巩固】 (第五届小数报数学竞赛初赛)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494
六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．
【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张
卡片上的数之和应是3的倍数．
计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565+++++=，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．
【例 15】 有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3
堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？
【解析】 作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它
们的关系：
最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有22244⨯=（个）；较大的2堆，苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个，说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：445746-+=（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：444690+=（个），较大的3堆苹果之和：26378⨯=（个），较小的3堆苹果之和：18354⨯=（个），较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和．
所以，中间堆的数量是：785490221+-÷=（）（个），最大堆与次大堆的和是：782157-=（个），
最大堆有苹果：575231+÷=（）（个），次大堆有：573126-=（个），同理最小堆有苹果：
5421-（ 7213-÷=）（个），次小堆有苹果：13720+=（个）．
课后作业
练习1.有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？
【解析】现在大桶水比小桶水多：8216
⨯=（千克），所以现在小桶中的水是：16(31)8
÷-=（千克），而原来大桶中有水是：8216
⨯=（千克）．
练习2.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
【解析】下图
可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵
数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么
就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为
552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。

梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）
桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）
苹果树的棵数：140-20=120（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

练习3.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，这两根绳子原来长多少米？
【解析】用下图表示它们的关系：
两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根
的长度是第一根的3倍．应该把变化后的第一根长度看作1倍，而121426
+=（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍．所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了．所以，第一根截去12米剩下的长度：
12143113
+÷-=
（）（）（米）两根绳子原来的长度：131225
+=（米）．
练习4.被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？
【解析】由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；被除数为：70×2=140。