高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 a选修21a高二选修21数学课件
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解：设 M(x，y)，则 kMA＝x＋y 1，kMB＝x－y 1(x≠±1)， ∴x＋y 1×x－y 1＝－2， ∴x2＋y22＝1(x≠±1)． 故动点 M 的轨迹方程为 x2＋y22＝1(x≠±1)．
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第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
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第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
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第一页，共三十九页。
2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
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第二页，共三十九页。
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自主(zìzhǔ)学习导航
梳理知识(zhī shi) 夯实基础
第三页，共三十九页。
目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
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第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
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第二十四页，共三十九页。
已知点 A(－1,0)，B(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且 kMA·kMB＝－2.求点 M 的轨迹 C 的方程．
答案：B
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第十五页，共三十九页。
题型二 求曲线的方程 (1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么曲线？
(2)方程 2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示的图形是什么？ 【思路探索】 为了判断方程表示什么曲线(图形)，对方程 进行变形，再判断．
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第十六页，共三十九页。
12/12/2021
第六页，共三十九页。
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重点难点突破(tūpò)
解剖难点(nádiǎn) 探究提高
第七页，共三十九页。
曲线的方程与方程的曲线强调：(1)曲线上点的坐标都是这 个方程的解，即曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯 粹性)；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，即符合 条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上(完备性)．
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第九页，共三十九页。
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课堂互动(hù 探究 dònɡ)
归纳(guīnà)透析 触类旁通
第十页，共三十九页。
题型一 曲线的方程与方程的曲线的概念辨析 分析下列曲线上的点与相应方程的关系．
(1)到两坐标轴距离相等的点与方程 y＝x 的关系； (2)以坐标原点为圆心，半径为 2 的圆与方程(x2＋y2－4)(x －y)＝0. 【思路探索】 利用曲线的方程与方程的曲线的定义解题．
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第二十七页，共三十九页。
[名 师 点 拨]
当动点 C 在某曲线上运动，动点 G 依赖点 C 的运动而运
动．这种轨迹问题常用的方法是相关点法，其基本步骤为：(1)
设 G(x，y)，C(x1，y1)，(2)找出 x1，y1 与 x，y 之间的关系
x1＝fx，y， y1＝gx，y，
(3)将 C(x1，y1)代入已知曲线，便可得到所求动
【思路探索】 由于 Q 点与 P 点有关，故利用相关点法求 解．
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第二十六页，共三十九页。
【解】 设 Q(x，y)，P(x1，y1)，
∵Q 为 PM 的中点，∴xy11＋ ＋30＝ ＝22xy， ， ∴xy11＝ ＝22xy－ . 3， 又∵P(x1，y1)在 x2＋y2＝1 上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1. 即点 Q 的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
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第八页，共三十九页。
求曲线的方程时，如果题中没有确定坐标系，首先要选取 适当的坐标系，建立坐标系时，通常选取特殊位置为原点，以 运算简单为原则．在第二步求方程时，要仔细分析曲线的特征， 注意揭示其隐含条件，抓住与曲线上任意一点 M 有关的等量关 系，列出等式化简，在化简时，注意运算的合理性与准确性， 尽量避免“失解”或“增解”．最后一步的说明可以省略不写， 但某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定 方程中 x(或 y)的取值予以剔除．
又∵点 P(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上， ∴2(－2－x)－4＋y＋3＝0， ∴2x－y＋5＝0.
答案：D
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第三十五页，共三十九页。
4．方程 x＋|y－1|＝0 表示的曲线是( )
解析：由 x＋|y－1|＝0，得 x≤0，结合图象知，应选 B. 答案：B
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即 xy00＝＝22xy－＋42，.
∵点 Q(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上， ∴(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
故所求的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
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第三十页，共三十九页。
12/12/2021
课堂基础(jīchǔ)达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng
【解】 (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0，
得 xx－ ＋1y－≥10＝，0
或 x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.
∴方程(x＋y－1) x－1＝0 表示直线 x＝1 和射线 x＋y－1＝
0(x≥1)．
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第十七页，共三十九页。
(2)方程配方，得 2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴2y＋x－112＝2＝00，， ∴xy＝ ＝－ 1，1. ∴方程表示的图形是点(1，－1)．
() A．y＝x，y＝ x2 C．|y|＝|x|，y2＝x2
B．y＝x，yx＝1 D．|y|＝|x|， y＝ x
解析：∵|y|＝|x|⇔y2＝x2，∴|y|＝|x|与 y2＝x2 表示同一曲线． 答案：C
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第二十页，共三十九页。
已知在 Rt△ABC 中，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点 C 的轨迹方程．
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第十四页，共三十九页。
解析：设点 A(2,0)，B(0,2)，则线段 AB 的方程是 x＋y－2 ＝0(0≤x≤2)，故 A 不正确；当 m＝0 时，曲线 2x2－3y2－2x＝0 过原点；若曲线 2x2－3y2－2x＋m＝0 过原点，则 m＝0，故 B 正 确；易知 C、D 不正确．
【思路探索】 需要根据条件，建立适当的坐标系，设出 动点坐标，再求解．
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第二十一页，共三十九页。
【解】 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，则有 A(－a,0)，B(a,0)，设顶点 C(x，y)．
解法一：由△ABC 是直角三角形，可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2， 即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.
依题意，可知 x≠±a. 故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．
12/12/2Байду номын сангаас21
第二十二页，共三十九页。
解法二：由△ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC， 所以 kAC·kBC＝－1，则x＋y a·x－y a＝－1(x≠±a)，化简得，直 角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)． 解法三：由△ABC 是直角三角形，可知|OC|＝|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以 x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点 C 的 轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．
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第十二页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 曲线的方程与方程的曲线的定义中所列的两个条件：(1)曲 线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲 线上．这两个条件缺一不可.
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第十三页，共三十九页。
下列判断正确的是( ) A．设点 A(2,0)，B(0,2)，则线段 AB 的方程是 x＋y－2＝0 B．曲线 2x2－3y2－2x＋m＝0 过原点的充要条件是 m＝0 C．点 M( 5，2 5)在方程 x2＋y2＝25(x≤0)表示的曲线上 D．与坐标轴距离相等的点的曲线方程为 y＝x
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第五页，共三十九页。
2．求曲线的方程的步骤 (1)建立适当的坐标系，用_有__序_实__数__(s_hì_sh_ù)_对_(_x_，__y)______表示曲 线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝_{_M_|_p_(_M_)_} ___； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程__f_(x_，__y)_＝__0__； (4)化方程__f(_x_，_y_)_＝__0 __为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0
B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y＋5＝0
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第三十四页，共三十九页。
解析：设 Q(x，y)，P(x0，y0)， 由|PM|＝|MQ|，可知 M 为 P，Q 的中点，
∴xy＋＋22 xy00＝＝－2，1，
∴xy00＝＝－4－2－y，x，
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：由 x2＋xy＝x，得 x(x＋y－1)＝0，
∴x＝0 或 x＋y－1＝0，
∴方程表示两条直线．
答案：C
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第三十三页，共三十九页。
3．已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－
1，2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点
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第十八页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中 一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线 就不是原方程的曲线，变形时常用配方、因式分解等方法.
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第十九页，共三十九页。
下列各对方程表示的是相同曲线的是
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第十一页，共三十九页。
【解】 (1)方程 y＝x 上的点都在一、三象限的角平分线上， 即这些点到两坐标轴的距离相等．反之，到两坐标轴距离相等 的点的坐标，不一定在 y＝x 上，而是在 y＝－x 上．
(2)以坐标原点为圆心，以 2 为半径的圆上的点的坐标，都 满足方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0，但以满足(x2＋y2－4)(x－y)＝0 的 解为坐标的点不一定在以原点为圆心，以 2 为半径的圆上．
12/∴12/2y02＝1 3x2－53即为所求的轨迹方程．
第三十六页，共三十九页。
5．设 P 为 y＝x2＋1 上的一动点，A(0，－3)，A→Q＝13A→P，
求点 Q 的轨迹方程． 解：设 Q(x，y)，P(x1，y1)，
∵A→Q＝13A→P，∴xy＝＋133x＝1，13y1＋3，
即 xy11＝＝33xy，＋6.
又 P(x1，y1)在 y＝x2＋1 上， ∴3y＋6＝(3x)2＋1＝9x2＋1，
点的轨迹方程.
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第二十八页，共三十九页。
求点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点 连线的中点的轨迹方程．
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第二十九页，共三十九页。
解：设点 Q(x0，y0)为圆 x2＋y2＝4 上任意一点， PQ 的中点为 M(x，y)，
由题意，得xy＝ ＝xy00＋ －22 42，，
quàn)
第三十一页，共三十九页。
1．与 y 轴距离等于 2 的点的轨迹方程是( )
A．y＝2
B．x＝2
C．y＝±2
D．x＝±2
解析：与 y 轴距离等于 2 的点的轨迹方程是|x|＝2，即 x＝±2.
答案：D
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第三十二页，共三十九页。
2．方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是( )
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第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
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第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
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第一页，共三十九页。
2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
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第二页，共三十九页。
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第三页，共三十九页。
目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
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第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
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第二十四页，共三十九页。
已知点 A(－1,0)，B(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且 kMA·kMB＝－2.求点 M 的轨迹 C 的方程．
答案：B
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第十五页，共三十九页。
题型二 求曲线的方程 (1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么曲线？
(2)方程 2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示的图形是什么？ 【思路探索】 为了判断方程表示什么曲线(图形)，对方程 进行变形，再判断．
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第十六页，共三十九页。
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第六页，共三十九页。
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重点难点突破(tūpò)
解剖难点(nádiǎn) 探究提高
第七页，共三十九页。
曲线的方程与方程的曲线强调：(1)曲线上点的坐标都是这 个方程的解，即曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯 粹性)；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，即符合 条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上(完备性)．
12/12/2021
第九页，共三十九页。
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归纳(guīnà)透析 触类旁通
第十页，共三十九页。
题型一 曲线的方程与方程的曲线的概念辨析 分析下列曲线上的点与相应方程的关系．
(1)到两坐标轴距离相等的点与方程 y＝x 的关系； (2)以坐标原点为圆心，半径为 2 的圆与方程(x2＋y2－4)(x －y)＝0. 【思路探索】 利用曲线的方程与方程的曲线的定义解题．
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第二十七页，共三十九页。
[名 师 点 拨]
当动点 C 在某曲线上运动，动点 G 依赖点 C 的运动而运
动．这种轨迹问题常用的方法是相关点法，其基本步骤为：(1)
设 G(x，y)，C(x1，y1)，(2)找出 x1，y1 与 x，y 之间的关系
x1＝fx，y， y1＝gx，y，
(3)将 C(x1，y1)代入已知曲线，便可得到所求动
【思路探索】 由于 Q 点与 P 点有关，故利用相关点法求 解．
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第二十六页，共三十九页。
【解】 设 Q(x，y)，P(x1，y1)，
∵Q 为 PM 的中点，∴xy11＋ ＋30＝ ＝22xy， ， ∴xy11＝ ＝22xy－ . 3， 又∵P(x1，y1)在 x2＋y2＝1 上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1. 即点 Q 的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
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第八页，共三十九页。
求曲线的方程时，如果题中没有确定坐标系，首先要选取 适当的坐标系，建立坐标系时，通常选取特殊位置为原点，以 运算简单为原则．在第二步求方程时，要仔细分析曲线的特征， 注意揭示其隐含条件，抓住与曲线上任意一点 M 有关的等量关 系，列出等式化简，在化简时，注意运算的合理性与准确性， 尽量避免“失解”或“增解”．最后一步的说明可以省略不写， 但某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定 方程中 x(或 y)的取值予以剔除．
又∵点 P(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上， ∴2(－2－x)－4＋y＋3＝0， ∴2x－y＋5＝0.
答案：D
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4．方程 x＋|y－1|＝0 表示的曲线是( )
解析：由 x＋|y－1|＝0，得 x≤0，结合图象知，应选 B. 答案：B
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即 xy00＝＝22xy－＋42，.
∵点 Q(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上， ∴(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
故所求的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
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第三十页，共三十九页。
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【解】 (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0，
得 xx－ ＋1y－≥10＝，0
或 x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.
∴方程(x＋y－1) x－1＝0 表示直线 x＝1 和射线 x＋y－1＝
0(x≥1)．
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第十七页，共三十九页。
(2)方程配方，得 2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴2y＋x－112＝2＝00，， ∴xy＝ ＝－ 1，1. ∴方程表示的图形是点(1，－1)．
() A．y＝x，y＝ x2 C．|y|＝|x|，y2＝x2
B．y＝x，yx＝1 D．|y|＝|x|， y＝ x
解析：∵|y|＝|x|⇔y2＝x2，∴|y|＝|x|与 y2＝x2 表示同一曲线． 答案：C
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第二十页，共三十九页。
已知在 Rt△ABC 中，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点 C 的轨迹方程．
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第十四页，共三十九页。
解析：设点 A(2,0)，B(0,2)，则线段 AB 的方程是 x＋y－2 ＝0(0≤x≤2)，故 A 不正确；当 m＝0 时，曲线 2x2－3y2－2x＝0 过原点；若曲线 2x2－3y2－2x＋m＝0 过原点，则 m＝0，故 B 正 确；易知 C、D 不正确．
【思路探索】 需要根据条件，建立适当的坐标系，设出 动点坐标，再求解．
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【解】 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，则有 A(－a,0)，B(a,0)，设顶点 C(x，y)．
解法一：由△ABC 是直角三角形，可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2， 即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.
依题意，可知 x≠±a. 故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．
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第二十二页，共三十九页。
解法二：由△ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC， 所以 kAC·kBC＝－1，则x＋y a·x－y a＝－1(x≠±a)，化简得，直 角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)． 解法三：由△ABC 是直角三角形，可知|OC|＝|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以 x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点 C 的 轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠±a)．
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[名 师 点 拨] 曲线的方程与方程的曲线的定义中所列的两个条件：(1)曲 线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲 线上．这两个条件缺一不可.
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下列判断正确的是( ) A．设点 A(2,0)，B(0,2)，则线段 AB 的方程是 x＋y－2＝0 B．曲线 2x2－3y2－2x＋m＝0 过原点的充要条件是 m＝0 C．点 M( 5，2 5)在方程 x2＋y2＝25(x≤0)表示的曲线上 D．与坐标轴距离相等的点的曲线方程为 y＝x
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2．求曲线的方程的步骤 (1)建立适当的坐标系，用_有__序_实__数__(s_hì_sh_ù)_对_(_x_，__y)______表示曲 线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝_{_M_|_p_(_M_)_} ___； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程__f_(x_，__y)_＝__0__； (4)化方程__f(_x_，_y_)_＝__0 __为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0
B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y＋5＝0
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第三十四页，共三十九页。
解析：设 Q(x，y)，P(x0，y0)， 由|PM|＝|MQ|，可知 M 为 P，Q 的中点，
∴xy＋＋22 xy00＝＝－2，1，
∴xy00＝＝－4－2－y，x，
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：由 x2＋xy＝x，得 x(x＋y－1)＝0，
∴x＝0 或 x＋y－1＝0，
∴方程表示两条直线．
答案：C
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3．已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－
1，2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点
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[名 师 点 拨] 判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中 一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线 就不是原方程的曲线，变形时常用配方、因式分解等方法.
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下列各对方程表示的是相同曲线的是
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【解】 (1)方程 y＝x 上的点都在一、三象限的角平分线上， 即这些点到两坐标轴的距离相等．反之，到两坐标轴距离相等 的点的坐标，不一定在 y＝x 上，而是在 y＝－x 上．
(2)以坐标原点为圆心，以 2 为半径的圆上的点的坐标，都 满足方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0，但以满足(x2＋y2－4)(x－y)＝0 的 解为坐标的点不一定在以原点为圆心，以 2 为半径的圆上．
12/∴12/2y02＝1 3x2－53即为所求的轨迹方程．
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5．设 P 为 y＝x2＋1 上的一动点，A(0，－3)，A→Q＝13A→P，
求点 Q 的轨迹方程． 解：设 Q(x，y)，P(x1，y1)，
∵A→Q＝13A→P，∴xy＝＋133x＝1，13y1＋3，
即 xy11＝＝33xy，＋6.
又 P(x1，y1)在 y＝x2＋1 上， ∴3y＋6＝(3x)2＋1＝9x2＋1，
点的轨迹方程.
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求点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点 连线的中点的轨迹方程．
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解：设点 Q(x0，y0)为圆 x2＋y2＝4 上任意一点， PQ 的中点为 M(x，y)，
由题意，得xy＝ ＝xy00＋ －22 42，，
quàn)
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1．与 y 轴距离等于 2 的点的轨迹方程是( )
A．y＝2
B．x＝2
C．y＝±2
D．x＝±2
解析：与 y 轴距离等于 2 的点的轨迹方程是|x|＝2，即 x＝±2.
答案：D
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2．方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是( )