第3章 内压薄壁容器的应力分析

解答过程：
1)
相同。因为液体高度相同，所以三个容器底板上的
静压强相等，其总压力也就相等； 不同。支撑反力等于液体重量。
2)
3)
相同。因为底板上所受到的液体总压力P是通过支
座以下的筒体将力传递到支座和上部圆筒上去的。 相同。
m
P R2 S
4)

第三节、内压圆筒边缘应力

薄膜应力：由载荷所引起的，并随着载荷的增大而增大直至 破裂，也称为一次应力；
2RS m R H
2
m
HR
2S

HD
4S
常数

例题：如图所示的三个容器，他们的中径、壁厚和高度 都相同，容器内充满着压力为P的液体，液体重度均为 γ ，三个壳体均通过悬挂式支座支撑于立柱上，试问：
1) 三个容器底板所受到的液体总压力是否相等？ 2) 三个容器所受到的支撑反力是否相等？ 3) 三个容器A-A截面上的径向应力是否相等？ 4) 三个容器筒体上各对应点(按同一高度考虑)的环向应力 是否相等？
• 径向应力产生在经线方向，作用在圆锥面与壳体相割所形成的锥截
面上； • 不同纬线上各点的径向应力不同，而同一纬线上的径向应力相等。
４.2
环向应力的计算
•
由于所取单元体很小，可以认为ab、cd上 的环向应力相同，ad、bc上的径向应力也
相等，
ab dl1
ad dl2
Qm 2 m S dl2
内压圆筒径 向应力的计 算公式
m

PD 4S
2.3


圆筒环向应力与径向应力的关系
PD p 2S S 2 D
m
PD P 4S S 4 D
S/D体现着圆筒承压能力的高低，S/D越大，圆筒承压能力 越强。因此，看一个圆筒能耐多大的压力，不能光看它的 壁厚大小； 对于圆筒，其环向应力是径向应力的两倍；
碟形封头的组成：

bb段是半径为R的球壳； ac段为半径为r的圆筒； ab段为连接球顶与圆筒的 褶边，是过渡半径为r的 圆弧段。

对于球顶部分与圆筒部分，分别按相应公式计算其薄膜应力； 对于褶边过渡部分：
2R2 sin S m sin R2 sin P
PR2 PD 2S 4S
球壳显著的特点。
3. 受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
椭圆壳的经线为一椭圆，设其经线方程为 椭圆的长短轴半径。由此方程可得第一曲率半径为： ，式中 a、b分别为
m
P a4 x2 a2 b2 2Sb



P a4 x2 a2 b2 2Sb

第一曲率半径R1的简单求法：经线的曲率半径；

第二曲率半径R2的简单求法：经线到回转轴的距离。
a b
R2=a? R2=b?
R2=a
3.２

基本假设
小位移假设：壳体受力以后，各点的位移远小于壁厚； 直线法假设：壳体变形前后直线关系保持不变； 不挤压假设：壳体各层纤维变形前后均互不挤压。
４. 任意回转体薄膜应力的计算
0 0


Dil：承压曲面在假想纵截面的投影面积 ，实际上，
作用在任意曲面上的介质压力，其合力等于压力与该 曲面沿合力方向所得投影面积的乘积，而与曲面形状
无关。
• 与介质内压P相平衡的是作用在单元体筒壁纵向剖面上
的内力的合力Ny ：
N y 2S l
显然， Py N y
DlP 2Sl
４.3

薄膜理论的应用范围
回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变； 曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的；

载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，无突变； 壳体边界的固定形式应该是自由支撑的； 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边 界上无横剪力和弯矩。
第二节、薄膜理论的应用
M点的曲率半径称为第一曲率半径，用R1表 示；

过M点作一与回转轴垂直的平面，该平面与
回转轴的交线是一个圆，称为回转曲面的平 行圆，也称为纬线，此平行圆的圆心一定在 回转轴上； 过M点再作一与经线AB’在M点处切线相垂 直的平面，该平面与回转曲面相交又得一曲 线，这一曲线在M点的曲率半径称为第二曲

2
有： m

PR2 2S
依理论：
PR2 PR2 R2 PR2 R2 2 S 2S r1 2S r1 D r1 r r1 2 R2 r1 r1 sin sin
６. 受液体静压作用的圆筒壳

中间面：与壳体内外表面等距离的
中曲面；

法线：n，通过经线上任意一点M
垂直于中间面的直线，其延长线必 与回转轴相交。
过M点可作无数平面，每一平面与回转曲面 相交均有交线，每条交线都在M点有不同的曲率 半径，但我们只关心下面三个：

过M点与回转轴作一平面，即MAO平面，
称为经线平面。在经线平面上，经线AB’上
６ .１ 沿底部边缘支撑的圆筒

圆筒底部各点受到的液体静压力随着 液体深度增加而增加：
P P0 x
m


R

P0 x
S

P0 x R P0 x D
S 2S

对底部支撑来说，液体重量直接由支承传 给了基础，圆筒壳不受轴向力，故圆筒中 因液体重量而引起的径向应力为零，只有 由气压引起的径向应力，即：
①段：受压前后经线仍近似保 持直线，这部分只承受拉应力，
称为薄膜应力，没有弯曲应力。
②③ 段：由于筒体与封头的变 形不同，其中筒体变形大于封
头的变形，因此在这种连接处
形成了一种相互约束，从而导 致在附近产生附加的弯曲应力，
称为边缘应力。
本章重点介绍薄膜应力，简单 介绍边缘应力。

当圆筒容器承受内压力P作用以后，其直径要稍微增大，故圆筒内 的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的纵截面上必定有应力产生， 此应力称为环向应力，以 表示； 由于容器两端是封闭的，在承受内压后，筒体的“纵向纤维”也 要伸长，则筒体横向截面也有应力产生，此应力称为径向应力， m 以 表示。
P0 R P0 D m 2S 4S
• 若容器上方为开口，或无气体压力时：
m 0
• 容器上方的压力P0为表压。
６ .２
沿顶部边缘支承的圆筒
P x
m


R

x
S

x R
S

xD
2S
• 径向应力作用于圆筒任何截面上的轴向应力均为液体 重量所引起，作用于底部液体重量经筒体传给悬挂支 座，应有下列平衡方程式：
1. 受气体内压的圆筒形壳体
R1
PR2 PD m 2S 4S
D R2 2
PD 2S
2. 受气体内压的球形壳体
D R1 R2 R 2
m
• 球壳上各点的应力相同；
• 球壳的径向应力和环向应力在数值上相等； • 球壳的环向应力比同直径、同壁厚的圆筒小一半，这是
率半径，用R2表示；

若自K2点向回转曲面作一个与回转曲面正交的圆锥面，则该圆
锥面与回转曲面的交线也是一个圆——纬线；

就普通回转体而言，用与轴线垂直的平面截取得到的壳体截面 与用上述圆锥面截取得到的壳体截面是不一样的，前者是壳体
的横截面，并不能截出壳体的真正厚度(圆柱形壳体除外)，而
后者称为壳体的锥截面，截出的是回转体的真正壁厚；

径向应力作用面
环向应力作用面

径向应力作用于筒体的横截面上，方向平行于筒体的轴线； 环向应力作用于筒体的纵截面上，方向为切线方向，每一点环 向应力的方向不同。
2. 内压圆筒薄膜应力的计算
2.1

环向应力的计算
外力在y轴方向上投影合力Py
dPy dP sin
Py dP sin Ri l P d sin 2Ri l P Di l P DlP
若需要在圆筒上开椭圆孔，应按照a还是b开孔呢？
对于圆筒，环向应力是径 向应力的两倍，开椭圆孔时， 应按照b开，以尽量减少纵截 面的削弱程度，从而使环向应 力增加少一些。


a
b
3. 回转体的基本概念与基本假设
3.1 回转体的基本概念

母线：AB 经线：AB’，如果通过回转轴作一
纵截面与壳体曲面相交所得的交线， 与母线的形状相同；
PD 2S
内压圆筒环向应 力的计算公式
2.2
径向应力的计算
• 作用在封头内表面上的外力，即介质压力在轴向的合力Pz，
不管封头形状如何，其值均为：
Pz

4
Di P
2

4
Di
内径
D2P
• 作用在圆筒形截面上的应力的合力Nz ：
N z DS m
显然， Pz N z

4 D 2 P DS m
４.1 径向应力的计算
Pz

4
D2P
N z m DS sin

4
D 2 P m DS sin
R2
D D 2 R2 sin 2 sin
PR2 m 2S
• 这个公式是计算承受气体内压的回转体在任意纬线上经向应力的一 般公式，称为区域平衡方程式；
组内力所产生的应力就是边缘应力。

(a)为没有承压时平板封头与筒体在径向的相对位置； 承压后，假若筒壁没有受到封头的约束，筒壁应胀到(b)中虚线位置； 但由于筒壁受到封头的约束，实际上筒体与封头的连接处的直径并没 有胀大，可以认为已被内压所胀大的筒壁又被拉回来了； 不过应注意，当筒壁被拉回来时，筒体的端面应该发生向内转动，形 成φ 角，但实际上，筒体端面由于受到封头的约束并不存在φ 角， 这说明：平板封头不但限制了筒体段部直径的胀大，而且限制了筒体 端部的转动； 伴随着前一种限制所产生的应力称为二次薄膜应力，伴随着后一种限 制所产生的应力称为二次弯曲应力。
4. 受气体内压的锥形壳体
R1
Pr 1 m 2S cos
R2
r cos
Pr 1 S cos
薄膜应力随着r的增大而增加，在锥 底处应力最大，而在锥顶处应力为零； 因此如果在锥体上开孔，应开在锥顶 处； 薄膜应力随着锥角的增大而增大。
5. 受气体内压的碟形封头

边缘应力：是由于相互联结的两个零件各自所欲发生的变形
受到对方的限制而引起的，也称为二次应力。
1. 圆筒与平板封头的边缘应力问题

当圆筒受到内压时，圆筒半径增大，而平板封头只发生
弯曲变形，直径却不会增大；可是筒体与封头又连在一
起，所以二者的变形将相互受到对方的限制；这种相互 约束必导致产生一组大小相等、方向相反的内力，由这
环向应力在x=0处时大于零；在 x=a处却不一定：
a2 2 2 0时，即a / b 2时， 0； b a2 2 2 0时，即a / b 2时， 0； b a2 2 2 0时，即a / b 2时， 0； b
当a/b=2时，为标准椭圆形封头；


a4 2 4 2 2 2 a x a b
椭圆形封头上的应力分布
在x=0处， m 2S b
Pa 在x=a处， m 2S
Pa a2 2 2 2S b
Pa a
径向应力恒为正值，且最大在x=0处，最小值在x=a处；
第3章 内压薄壁容器的应力分析
第一节、回转壳体的应力分析——薄膜理论
第二节、薄膜理论的应用 第三节、内压圆筒边缘应力的概念
第一节、回转壳体的应力分析 ——薄膜理论
1. 内压薄壁容器及其应力特点
薄壁容器：
S 0.1 Di
Do Di 2S S K 1 2 1.2 Di Di Di
F Pdl1 dl2
Q 2 S dl1
Pdl1 dl2 Qm sin
d1 d d d Q sin 2 Qm 1 Q 2 2 2 2 2
Pdl1 dl2 m S dl2 d1 S dl1 d 2
P m d1 d 2 S dl1 dl2
dl1 R1 sin d1 R1 d1
dl2 R2 sin d 2 R2 d 2
P m S R1 R2
• 这个公式是计算承受气体内压的回转体环向应力的一般公式，称 为微体平衡方程式； • 环向应力产生在纬线方向，作用在经线平面与壳体相割所形成的 纵向截面上。