线性代数居余马版第四章详细课后题答案

1、由过渡矩阵的定义，设从基1234,,,εεεε到基1234,,,γγγγ的过渡矩阵为A ，则
()()12341234,,,,,,A A γγγγεεεε==，初等行变换求得1111111111111141111A -⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭，所以1
1111151111211111111144111111A γβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2(1)、记γ在基123,,ααα下为*γ. 设从基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为A ，则
()()123123,,,,A A αααεεε==，初等行变换求得11875521311A --⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
，所以 1187532*5216131121A γγ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2(2)、设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为C ，记()123,,B βββ=，则
()()123123,,,,C βββααα=，即AC B =，所以
1187535127714152112192093114164128C A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2(3)、记γ在基123,,βββ下为**γ，所以1
1
***C B A γγγ--==，经初等变换得
11811319452761811261913365212644284099997104B A -⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪
- ⎪
⎪=--=--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝
⎭，
所以 11
5276181225311***3652126110644284099183C B A γγγ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪===---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3(1)、记()1234,,,A αααα=，()1234,,,B ββββ=，记γ在基1234,,,ββββ下为*γ.设从基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵为P ，所以由过渡矩阵的定义有B AP =，则1P A B -=，经初等变换可得
11001110101110
010P A B -⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪
⎪⎝⎭，10111110000011111P --⎛⎫
⎪
-
⎪= ⎪ ⎪
--⎝⎭
所以，()1
*0101P γγ-==-.
3(2)、设ξ在基1234,,,αααα下的记为*ξ，从基1234,,,ββββ到基1234,,,αααα的过渡矩阵为Q ，所以由过渡矩阵的定义有A BQ =，则1
1
1
1()
Q B A A B P ----===，所以
()1*1311T
Q P ξξξ-===-
3(3)、记α在基1234,,,ββββ下为*α，所以()1
*3102P αα-==.
4、记()1234,,,E εεεε=，()1234,,,B ββββ=. 设从基1234,,,εεεε到基1234,,,ββββ的过渡矩阵为P ，由过渡矩阵的定义知()()12341234,,,,,,P ββββεεεε=，即P B =. 设
()T
a b c d γ=，又γ在基1234,,,ββββ下的坐标不变，所以P P γγγγ=⇒=，即
2
0561********
013a a b b c c d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25633623a c d a a b c d b a b c d c a c d d ++=⎧⎪+++=⎪⇒⎨-+++=⎪⎪++=⎩560
2360020
a c d a
b
c
d a b c d a c d ++=⎧⎪+++=⎪
⇒⎨-+++=⎪
⎪++=⎩，其系数矩
阵10561
0011
2360
1011111001110120
000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
⎪= ⎪
⎪- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭初等变换，所以0a d
b d P A
c
d d d
γγγ=-⎧⎪=-⎪=⇒=⇒⎨=-⎪⎪=-⎩，所以γ的通解为()1111,T
k k R γ=-∈.
5(1)、略
5(2)、设与向量,,αβγ都正交的向量为()1234,,,T
x x x x ξ=，则
()()(),0,0,0αξβξγξ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
⇒12341234123420230220x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩，其系数矩阵121110552311013311220000--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭初等变换 得基础解系为()5
310T -，()5301T
-
所以与向量,,αβγ都正交的向量为()()1253105301T
T
k k ξ=-+-
6、设向量()1234,,,T
x x x x ξ=与所给向量均正交，所以
12341234123400230x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，其系数矩阵41001111311110100211310013⎛
⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝
⎭初等变换， 基础解系为4
1013
3T
⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以可取()4013T ξ=--，
)4013T
--.
7、证：已知()()()12,,,0m βαβαβα==
==，记i i k αγ=∑，其中i k 为任意常数，则
γ为12,,,m ααα的任一线性组合。

()()
()()()
()()()
11221122112212,,,,,,,,000=0
m m m m m m m k k k k k k k k k k k k βγβαααβαβαβαβαβαβα=+++=+++=+++=⋅+⋅+
+⋅
得证。

8(1)、设11221α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，21153α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，332
87α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
正交化：111221βα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，()()2122111112123,10523,10312αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()
31323312112231222231,,30268231,,10267122αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
标准化：312123123122231,,231122βββγγγβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-⎪⎪⎪
======⎪⎪⎪--⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
8(2)、设11112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，25823α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，33938α⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，易得31272ααα=-+，即123,,ααα线性相关，又12,αα线性无关，所以12,αα为123,,ααα的极大线性无关组，只需对12,αα进行施密特正交化。

正交化：111112βα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭，()()2122111512815,21211,7323αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
标准化：1212121215,1123ββγγββ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎪====⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
8(3)、设12131α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，27433α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，31160α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，457
78α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
记()1234271
51417141
70119,,,336700067130
80000A αααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--
⎪
⎪== ⎪
⎪-
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
经初等变换，得
()3r A =，所以1234,,,αααα线性相关，取其极大线性无关组124,,ααα 正交化：112131βα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，()()21
22111723412,30333,15311αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-
=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()41423412112252317125,,3007331,,152381110αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
标准化：312123123231125,,3311110βββγγγβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪⎪
======⎪⎪⎪-⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
9(1)、正交化：11111βα⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭，()()2122111012,22111,33111αββαβββ-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()313233121122111120,,213301116,,3211119αβαββαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
标准化：3121231231201,1,1111βββγγγβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪
======-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭
设从123,,εεε到123,,γγγ的过渡矩阵为A ，则()()123123,,,,A A γγγεεε==，经初等
变换可得1
A-
⎛
⎪
=
⎪
⎝
，所以向量
1
1
α
⎛⎫
⎪
=- ⎪
⎪
⎝⎭
在新基
123
,,
γγγ下的坐标为
1
00
1
*1
A
αα
-
⎛⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎛⎫
⎪
⎪
==-==
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝
9(2)、正交化：
11
1
1
1
βα
⎛⎫
⎪
==- ⎪
⎪
⎝⎭
，
()
()
21
221
11
111
,12
111
,33
112
αβ
βαβ
ββ
--
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
=-=--=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭()
()
()
()
()
3132
3312
1122
4
111
,,12
3
1111,1,0
8
,,33
112
3
αβαβ
βαββ
ββββ
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
-
⎪ ⎪ ⎪
=--=---⋅=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
标准化：3
12
123
123
111
1,1,1
120
β
ββ
γγγ
βββ
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪
==-====
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎭⎭
设从
123
,,
εεε到
123
,,
γγγ的过渡矩阵为A，则()()
123123
,,,,A A
γγγεεε
==，经初等
变换可得1
A-
⎛
⎪
=
⎪
⎝
，所以向量
1
1
α
⎛⎫
⎪
=- ⎪
⎪
⎝⎭
在新基
123
,,
γγγ下的坐标为
1
1
*1
3
A
αα
-
⎛⎛
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎛⎫
⎪
⎪
==-==-
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
10、证法1（利用标准正交基的定义）：因为{}123,,ααα是一组标准正交基，则(),1i i αα=，
(),0,,1,2,3i
j
i j i αα=≠=，那么只需证明()(),1,,0,,1,2,3i
i
i
j
i j i ββββ==≠=。

利用内积的性质和()(),1,
,0,,1,2,3i i i
j
i j i αααα==≠=即可得证
()()111231231,22,229
ββαααααα=+-+-
()()()()()11121321221
2,22,22,2,22,29
αααααααααα=++-++⎡⎤⎣⎦ ()()()()233132331
2,,2,2,9
αααααααα+-+-+-+--⎡⎤⎣⎦ ()()()11223314,4,,19αααααα=++=⎡⎤⎣
⎦ 同理可证，()()()()()2233121323,,1,,,,0ββββββββββ===== 即123,,βββ是标准正交基。

证法2：因为()()1231232211,,212,,3122βββααα-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，且22112123122-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
和()
123,,ααα均为正交矩阵，所以()123,,βββ也是正交矩阵，所以123,,βββ为一组标准正交基。

11、因为Q 为正交矩阵，则各行各列均为单位向量，所以
第1行：22
232177a ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
3649a ⇒=67a ⇒=±；
将2
3649a =代入第1列：2
23631497b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭2449b ⇒=
27b ⇒=± 第2列：22
232177c ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
3649c ⇒=67c ⇒=±
第3行：22
232177e ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
3649e ⇒=67e ⇒=± 将2
3649e =代入第3列：2
22361749d ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
2949d ⇒=
37d ⇒=± 又因为，正交矩阵的不同行、不同列的向量正交，所以
(第1行，第3行)332207777a e =--⋅+=14216e a ⇒-= 67a e ⇒==- (第1行，第2行)632
0777b c d =--+= ①
(第2行，第3行)326
0777
b c d =-+-= ②
由①和②得2
3
b d =-，2
c
d =，所以有两组解：
62636,,,,77777a b c d e =-=-===-或62636,,,,77777
a b c d e =-==-=-=-
12、A 是正交矩阵，则T AA E =，||1A =±，A 可逆
当||1A =时，所以*
||AA A E E ==，所以**T T
AA AA A A =⇒=，
所以，****
()()()T T T T T AA E A A E A A E =⇒=⇒=，即*
A 正交； 当||1A =-时，所以*
||AA A E E ==-，所以**T T
AA AA A A =-⇒=-，
所以，******
()()()()()()T T T T T T AA E A A E A A E A A E =-⇒=-⇒-=-⇒=，即*
A 正
交
13(i)、A 正交2
||||||||1||1||1T
T
T
AA E AA E A A A A ⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=±
13(ii)、因为||10A =±≠，所以A 可逆。

所以，111
T T T AA E A AA A E A A ---=⇒=⇒=
14(1)、“对称、正交⇒对合”：2
,T
T
T
A A AA E A AA AA E ==⇒===，得证； (2)、“对称、对合⇒正交”：2
2
,T
T
A A A E AA AA A E ==⇒===，得证； (3)、“对合、正交⇒对称” ：
22111,T T T AA E A E AA A A AA A AA A A ---==⇒=⇒⋅=⋅==，得证；
15、略
16、不妨设A 为下三角矩阵，1212212n n nn a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，则
111121121
22
22
212n n T
n n nn nn a a a a a a a a AA a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎪
= ⎪⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2111121111
222111212221122222111121222111
1n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪++ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭
所以有
222
2
2
1121221112111121122212122211,1,1 1.1,1,
,1,
0,0
00
n nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=+=+
+===+=+=+
+=
得，除主对角线元素的平方等于1外其余元素均为零
补充题
51(1)、因为A 正交，所以有1
1
()T
T
T AA E A A A A --=⇒=⇒=，
1
111111
11111
()()()()()()()()()()()()()T T
T T T I A I A I I A A I A I A A I A I A I A A I A IA AA I A A E -------------+=+-+=+-+⎡⎤=+-+⎣⎦=+-+=+-+
1111111
1
1111
()()()()()()()()()()()()()T T
T T T I A I A I A I I A A
I A I A A I A A I A I A A I A A I A A E ------------+-=+-+=+-+⎡⎤=+-+⎣⎦=+-+=+-+
所以，1
1()()()()I A I A I A I A ---+=+-，即1()()I A I A --+可交换
51(2)、11
()()()()T
I A I A I A I A --⎡⎤-++-+⎣⎦
111
1
11
111
11111111111()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(T
T T T T T T T T T T T T T T I A I A I I A A I A I A I A I A A I A I A I A I A A I A I A I I A A I A A I A I A I A A I A A I A I A A --------------------⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎡⎤=+-++-+⎣⎦=+-++-+=+-+++-+=+-+++-+=+-1
1
111111111
)()()()()()()()()()()T T
T T T T T T I A I A I A A I A AI AA I A IA AA I A A I I A A I O
-----------⎡⎤⎡⎤+++-+⎣⎦⎣⎦
=+-+++-+=+-+++-+=
所以，11()()()()T
I A I A I A I A --⎡⎤-+=--+⎣⎦
所以1
()()I A I A --+为反对称矩阵。

52(1)、A 正交T AA E A E ⇒==，又*
AA A E =，两式相减，得*
()T
A A A O -=
又A 正交A ⇒可逆，所以*T A A O -=，即*
T A A =，所以ij ij a A =
52(2)、A 正交T AA E A E ⇒==-，又*
AA A E =，两式相加，得*
()T
A A A O +=
又A 正交A ⇒可逆，所以*T A A O +=，即*
T A A =-，所以ij ij a A =-
53、设12,,,n m R ααα∈证明：12,,,m ααα线性无关的充要条件是：
1112121
22212(,)(,)(,)(,)(,)(,)det 0(,)(,)
(,)m m m m m m αααααααααααααααααα⎛⎫
⎪
⎪
≠ ⎪
⎪
⎝⎭
解法1：设11121212221212(,)(,)(,)(,)(,)(,),,,(,)(,)(,)m m m m m m m ααααααααααααβββαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，要证det 0≠即证12,,,m βββ线性无关
充分性（反证法）：假设12,,
,m ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得
11220m m k k k ααα++
+=
分别用12,,,m ααα与上式左右两端做内积，得
111212112122221122(,)(,)(,)0
(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0
m m m m
m m m m m k k k k k k k k k αααααααααααααααααα+++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 即存在不全为零的数12,,
,m k k k ，使得11220m m k k k βββ+++=成立，矛盾，所以
12,,,m ααα线性无关。

必要性：因为，12,,...m ααα线性无关，所以该向量组的秩为m 。

()
()
()()()()()()
()()11121121222212
1
2,,,,,,,,,m m m m m m m m αααααααααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭， (1)
令()1
2
m A ααα=，()()
()()
()()()()
()1112121
2221
2,,,,,,,,,m m m m m m B αααααααααααααααααα⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
，则T
B A A =. 由
于方程组（Ⅰ）0T
A Ax =和（Ⅱ）0Ax =同解。

所以，()()r A r
B m ==，所以
()()
()()()()()()
()1112121
2221
2,,,,,,det 0,,,m m m m m m αααααααααααααααααα⎛⎫
⎪ ⎪
≠ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
（“方程组（Ⅰ）0T
A Ax =和（Ⅱ）0Ax =同解”：如果α是（Ⅱ）的解，则0A α=，显然0T
A A α=，即α是（Ⅰ）的解，故（Ⅱ）的解全是（Ⅰ）的解；若α是（Ⅰ）的解，即0T
A A α=，那么 0T
T
A A αα=，即()()0T
A A αα=，即
2
A α
=，故0A α=，所以
α必是（Ⅱ）的解，即（Ⅰ）的解全是（Ⅱ）的解，从而方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解。

）。