2020-2021学年辽宁省鞍山市鞍钢中学高三数学文月考试题含解析

2020-2021学年辽宁省鞍山市鞍钢中学高三数学文月考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数
的图象是（）
]
参考答案：
A
略
2. 若定义在R上的函数满足且时，，则方程
的根的个数是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
参考答案：
A
【分析】
由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程
的根的个数.
【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数. 又时，，所以函数的图象如图所示.
再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．
【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.
3. 在下列命题中，不是公理的是（）
A．两条相交直线确定一个平面；
B．不在同一条直线上的三点确定一个平面；
C．如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上；
D．如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.
参考答案：
A
由五个公理可知，A选项是B选项公理的推论，所以选A
4. 复数的共轭复数的虚部是（）
A．B．C．﹣1 D．1
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出原复数的共轭复数得答案．
【解答】解：∵=，
∴复数的共轭复数为﹣i，虚部为﹣1．
故选：C．
5. 当时，关于x,y的方程组有（）
A、唯一解
B、无解或无穷多解
C、唯一解或无穷多解
D、唯一解或无解
参考答案：
C
6. 如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算方式可求．
【解答】解：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A，
硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π，
无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2cm，以纸板的圆心为圆心，作一个半径2cm的圆，
硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共交点．
所以有公共点的概率为，
无公共点的概率为P（A）=1﹣=，
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何概率的计算公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
7. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点且在第一象限，
，垂足为，，则直线的倾斜角等于（）
A． B. C．
D.
参考答案：
B
略
8. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）
参考答案：
C
略
9. 是双曲线的左焦点,是抛物线上一点,直
线与圆相切于点，且，若双曲线的焦距为,则双曲线的实轴长为( )
A.4
B.2
C.
D.
参考答案：
A
10. 已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知关于的不等式的解集为，集合．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．
参考答案：
【知识点】充分必要条件A2
解析：由题得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以
，即.故答案为.
【思路点拨】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，列式求解即可.
12. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为
参考答案：
13. 一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为．
参考答案：
169π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，再求球的表面积．
【解答】解：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC=12，AA1=5
它外接球直径2R=，
外接球的表面积为．
故答案为：169π．
【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球的半径的求法、球内接多面体、球的表面积，考查计算能力和空间想象能力．
14. 设x，y满足约束条件则的最小值是. 参考答案：
－6
作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当直线过点时，取得最小值.
15. 已知数列的前项和满足，则数列的通项公式
________．
参考答案：
16. 下图展示了一个由区间到实数集的变换过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图2），
再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，
点的坐标为（如图3），若图3中直线与轴
交于点，则点的变换结果就是点，
记作.现给出以下命题：
①；②的图象的对称中心为；
③为偶函数；④关于的不等式的解集为；
⑤若数列，则为等比数列．
其中所有正确命题的番号应是．
参考答案：
①②⑤
17. 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为。

参考答案：
36
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=cos2x﹣sin x cos x+2sin2x﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．
参考答案：
（Ⅰ）∵=
=． (5)
∴其最小正周期为． (6)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵x∈[0，]，
在区间上是减函数，在区间上是增函数． (8)
又f(0)＝，， (11)
∴函数的值域为． (12)
19. （本小题满分12分）
已知数列的前项和，满足。

（Ⅰ）求数列的前三项；
（Ⅱ）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式。

参考答案：
解：(Ⅰ)在中分别令得：
解得：
(Ⅱ)由得：
两式相减得：Ks5u
故数列是以为首项，公比为2的等比数列。

所以
略
20. 在锐角中，.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
参考答案：
（1）因为，
所以，
则，即，
由为锐角三角形得.
（2）在中，，即，化简得，解得（负根舍去），
所以.
21. （12分）某站针对2014年中国好声音歌手三人进行上投票，结果如下
支持支持支持
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.
（2）在支持的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率.
参考答案：
【知识点】离散型随机变量及其分布列K6
【答案解析】（1）40（2）（2）
（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴=，解得n=40，
（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，
年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），
其中恰好有1人在20岁以下的事件有：，（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率
P=．
【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．
（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案
【题文】19(12分)如图，在几何体中，四边形
均为边长为1的正方形.
(1)求证：.
(2)求该几何体的体积.
【答案】
【解析】
【知识点】空间中的垂直关系G5
【答案解析】（1）略；（2）
（1）证明：连结AC、BD交于O，
在几何体ABCD-A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．
A1D1∥AD D1C1∥DC∠ADC和∠A1D1C1方向相同所以：平面ACD∥平面A1D1C1
AA1∥CC1且AA1=CC1四边形A1ACC1是平行四边形
由四边形ABCD是正方形得到：AC⊥BD所以：BD⊥A1C1DD1⊥A1C1
所以：A1C1⊥平面BDD1BD1⊥A1C1
（2）该几何体的体积是
V=V正方体A B C D-A1B1C1D1-V三棱锥B-A1B1C1=13- ? ?12?1= ．
【思路点拨】（1）首先通过线线平行进一步证得面面平行，再得到线线垂直，利用线线垂直得到线面垂直．
（2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，得出几何体的体积．
22. 已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，求的值域．
参考答案：
解：（Ⅰ）∵
．………3分
∴令，………4分
∴的递减区间是，；………5分
令，………6分
∴的递增区间是，．………7分（Ⅱ）∵，∴，………9分
又，所以，根据三角函数图像可得．…12分
略。