周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性 课后答案

謲 Proof. 设A ∩ B = ∅， 若A B ， 记U = A ∩ B ， 则U 为A的 非 空 真 子 集 ． 又B 为X 中既开又闭的子集，所以U 为A中既开又闭的非空真子集，这与A为X 的 连通子集矛盾，故A ⊆ B ． 练 习0.8. 拓扑空间的既开又闭的非空连通子集是连通分支． Proof. 证一： 设A是拓扑空间X 中即开又闭的非空连通子集，C 为x ∈ A的连通分支，则由 第謰謮謷题知C ⊆ A．再根据连通分支的极大性有C = A，即A为X 的连通分支． 证二： 如果它不是连通分支，则必定是某个连通分支的非空真子集，且在这个连通 分支中也是既开又闭的，因而此连通分支是不连通的，矛盾． 练 习0.9. 证明局部连通空间在连续开映射下的像是局部连通的．举例说明局部 连通空间在连续映射下的像不必是局部连通的． Proof. 设f : X → Y 是 连 续 的 开 映 满 射 ． 对 于Y 中任一 点y ， 设V 是y 的 任一 个 开 邻 域 ， 由 于f 是 满 射 并 且 连 续 ， 存 在x ∈ X ， 以 及x的 一个 开 邻 域U ， 使 得f (x) = y ，且f (U ) ⊆ V ．由于X 局部连通，故存在x的一个连通开邻域W ， 使 得x ∈ W ⊆ U ． 于 是 ，y = f (x) ∈ f (W ) ⊆ f (U ) ⊆ V ． 但 是 ，f 是 开 映 射，W 是X 的开集，故f (W )是Y 的开集．又由于f 连续，W 连通，故f (W )是Y 的 连 通 子 集 ． 因 此 ， 对 于Y 中任一 点y ， 以 及y 的 任一个 开 邻 域V ， 存 在y 的 开 邻 域f (W )使得f (W )连通，且y ∈ f (W ) ⊆ V ．由定义，Y 在y 点局部连通．由y 的 任意性，空间Y 也是局部连通空间． 设T1 是Q上的离散拓扑，T2 是Q上的通常拓扑，f : (Q, T1 ) → (Q, T2 )是恒等 映射，则f 是连续的满射．但(Q, T1 )局部连通，而(Q, T2 )却不是． 练 习0.10. 局部连通空间X 的开子集U 作为子空间是局部连通的． Proof. 设V 是U 的 开 集 ， 则 它 也 是X 的 开 集 ， 因 此 它 的 连 通 分 支 是X 的 开 集 ， 从而也是U 的开集，U 是局部连通的． 练 习0.11. 设X 是局部连通空间，若A是开集U ⊆ X 的连通分支，则Ab ⊆ U b ． Proof. 对任意的x ∈ Ab 以及x的任意邻域Ux ，有Ux ∩ A = ∅，且Ux ∩ Ac = ∅． 如果x ∈ / U b ，则存在邻域Ux （不妨设为连通的）使得Ux ∩ U = ∅或者Ux ∩ c U = ∅． 若 是 前 者 ， 则Ux ⊆ U c ⊆ Ac ， 这 与Ux ∩ A = ∅矛 盾 ； 若 是 后 者 ， 则Ux ⊆ U ， 于 是(Ux ∪ A) ⊆ U ， 且Ux ∪ A连 通 ， 这 与A是U 的 连 通 分 支 矛 盾． 练 习 0.12. 謪设X 是局部连通空间，A ⊆ X ．若Ab 是局部连通的，则A也是局部 连通的． ¯ = Ab ∪ Ai Proof. 因A ¯)即x在A ¯中的邻域系，∃W ∈ Ux （x在X 中的邻 （謱）∀x ∈ Ai ，∀W ∈ Ux (A ¯． 因W ∩ Ai ∈ Ux 及X 局 部 连 通 ， 所 以∃U ∈ Ux ， 域 系 ）， 使 得W = W ∩ A ¯．所以有U = U ∩ A ¯ ∈ Ux (A ¯)． 且U 连通，使得U ⊆ W ∩ Ai ⊆ A ¯)謬∃W ∈ Ux 使得W = W ∩ A ¯．令W = W ∩ Ab ， （謲）∀x ∈ Ab 謬∀W ∈ Ux (A 则W ∈ Ux (Ab )即x在Ab 中的邻域系．
謴 练 习0.18. 实直线R的子集A路连通当且仅当A连通． Proof. 对R的 任一 路 连 通 子 集A， 则A是R连 通 子 集 ． 反 之 ， 若A是 连 通 的 ， 当 A是 单 点 集 时 ， A时 路 连 通 的 ； 当 A不 是 单 点 集 时 ， A是 区 间 ， 从 而 是 路 连 通 的． 练 习0.19. 证明有限个路连通空间的积是路连通的． Proof. 仅对n = 2的情形进行证明 设x = (x1 , x2 )，y = (y1 , y2 ) ∈ X1 ×X2 ，对i = 1, 2，由于Xi 是路连通空间， 故在Xi 中又从xi 到yi 的一条道路fi : [0, 1] → Xi ．定义映射f: [0, 1] → X1 × X2 ， 其 中 对 任 何 的t ∈ [0, 1]， 有f (t) = (f1 (t), f2 (t))， 则f 是 从x到y 的 一 条 道 路 ． 故X1 × X2 是路连通空间． 练 习0.20. 证明有限个局部路连通空间的积是局部路连通的． Proof. 设X1 , X2 是局部路连通的，则对任意的(x1 , x2 ) ∈ X1 ×X2 ，以及对(x1 , x2 )的 任 意 的 基 开 集 邻 域U1 × U2 ， 存 在xi 的 路 连 通邻 域Vi ⊆ Ui ． 于 是V1 × V2 ⊆ U1 × U2 是(x1 , x2 )的路连通邻域． 练 习0.21. 设X 为拓扑空间，若{Yλ }λ∈Λ 为X 的路连通子集族，并且满足∀λ, µ ∈ Λ，存在Λ中的有限个元素r1 = λ, r2 · · · , rn , rn+1 = µ，使得Yri ∩ Yri+1 = ∅，i = 1, · · · , n，则 Yλ 为路连通子集．

¯连通．（因P ∩ A ¯ ⊆ W） 下面只需证明P ∩ A ¯ 用 反 证 法 ． 否 则 ， 存 在P ∩ A的 非 空 不交 的 既 开 又 闭 的 子 集W1 与W2 使P ∩ ¯ = W1 ∪ W2 ． 由 （謱） 得B ⊆ P ∩ A ¯ = W1 ∪ W2 ． 因B 连 通 ， 所 以不 妨 A i 设B ⊆ W1 ， 则W2 ⊆ A ∩ P ， 所 以W2 在Ai ∩ P 中 是 开 集 ，Ai ∩ P 在P 中 是 开 集，故W2 在P 中是开集． 又可知W2 在P 中是闭集，故在P 中既开又闭，这与P 连通矛盾． 练 习0.13. 设X1 , · · · , Xn 是局部连通的，则X1 × · · · × Xn 也是局部连通的． Proof. 仅证n = 2的情形． 设Bi 是Xi {i = 1, 2}由连通开集构成的拓扑基，则B1 × B2 是X1 × X2 的连通 开集构成的拓扑基，因此X1 × X2 是局部连通的． 练 习 0.14. 路连通空间在连续映射下的像是路连通的，因此路连通性是拓扑性 质． Proof. 设X 路连通，f : X → f (X ) ⊆ Y 连续．∀y1 , y2 ∈ f (X )，取xi ∈ f −1 (yi )（i = 1, 2）， 由 于X 路 连 通 ， 存 在 道 路α : I → X ， 使α(0) = x1 ，α(1) = x2 ． 令β = f ◦ α， 则β : I → f (X )是f (X )的 道 路 ， 且β (0) = f (x1 ) = y1 ，β (1) = f (x2 ) = y2 ，所以f (X )路连通． 练 习0.15. 设x0 , x1 ∈ X ，J = [t0 , t1 ]是一个闭区间．如果存在连续映射f : J → X ， 使 得f (t0 ) = x0 ，f (t1 ) = x1 ， 则 必 定存 在 道 路γ : I → X ， 使 得γ (0) = x0 ，γ (1) = x1 ． Proof. 提示：令h : [0, 1] → [t0 , t1 ]，其中h(x) = (t1 − t0 )x + t0 ，则 γ = f ◦ h : [0, 1] → X 即为所求． 练 习0.16. 证明欧氏空间的球是路连通的． Proof. 提示：证明球内连接任意两点的直线段仍在球内． 练 习 0.17. 设X 是局部路连通空间，f : X → Y 是连续开满射，则Y 也是局部路 连通空间． Proof. 设y ∈ Y = f (X )， 则 存 在x ∈ X ， 使 得y = f (x)， 对y 的 任一 邻 域U ， 由f 连 续 ， 知f −1 (U )为x的 邻 域 ， 又X 为 局 部 路 连 通 空 间 ， 存 在x的 路 连 通邻 域V ⊆ f −1 (U )， 而f 为 连 续 开 映 射 ， 所 以f (V ) ⊆ f (f −1 (U )) = U 为y 在Y 中 的 路连通邻域，即Y 为局部路连通空间．
第四章连通性练习题
November 12, 2012
謱 练 习 0.1. 若空间(X, T )是连通的，T ⊆ T 是X 的拓扑，则空间(X, T )也是连通 的． Proof. 如果(X, T )不连通，则存在既开又闭的非空真子集A．因T ⊆ T ，所以 它又是(X, T )的既开又闭的非空真子集，从而(X, T )不连通，矛盾． ¯ = ∅，Y ∩ Z c = ∅， 练 习 0.2. 设Y 是X 的连通子集，设Z 是X 的子集，若Y ∩ Z b 则Y ∩ Z = ∅． ¯ ∪ Z c ，所以 Proof. 因为X = Z ∪ Z c = Z ¯ ∪ Z c ) = (Y ∩ Z ¯ ) ∪ (Y ∩ Z c ). Y = Y ∩ X = Y ∩ (Z ¯ ) ∩ (Y ∩ Z c ) = ∅，则Y = (Y ∩ Z ¯) 若Y ∩ Z b = (Y ∩ Z 矛盾． ˜n ∼ 练 习0.3. 证明R = Rn ． ˜ n 作为子空间，其基开集为U1 × · · · × Un × {0} × · · · 。 Proof. 提示：R 练 习0.4. 设ξ : S 1 → S 1 是 同 胚 ， 满 足ξ ◦ ξ = idS 1 ． 证 明 对 任 意 连 续 映 射f : S 1 → R，存在点z ∈ S 1 ，使得f (z ) = f (ξ (z ))． Proof. 令F (z ) = f (z ) − f (ξ (z ))，z ∈ S 1 ，则F : S 1 → R为连续映射． 取点z0 ∈ S 1 ，若F (z0 ) = 0则结论已真．若F (z0 ) = 0，不仿设F (z0 ) > 0， 由ξ 的定义ξ (z0 ) ∈ S 1 且 F (ξ (z0 )) = f (ξ (z0 )) − f (ξ (ξ (z0 ))) = f (ξ (z0 )) − f (z0 ) = −F (z0 ) < 0, 由介值定理及S 1 的连通性存在z ∈ S 1 ，使得F (z ) = 0，即f (z ) = f (ξ (z ))． 练 习0.5. 设X 是无限集，T = {∅} ∪ {U |U c 有限}，则(X, T )是连通的． Proof. 如果不连通，则存在既开又闭的非空真子集A．由于A开，则Ac 有限， 从而A无限；由于A闭，则Ac 开，从而A = Acc 有限；矛盾． 练 习0.6. 设Y 为不少于两点的离散拓扑空间，那么，X 连通的充要条件是每个 连续映射f : X → Y 是常值的． Proof. 必 要 性 ． 设X 是 连 通 空 间 ，f : X → Y 为 连 续 映 射 ， 则f (X )为 连 通 子 集 ． 若f 不 是 常 值 的 ， 则f (X )多 于一 点 ， 设y ∈ f (X )． 由 于Y 是 离 散 空 间 ， 所 以{y }，Y − {y }皆 为Y 的 非 空 开 集 ， 且 它 们 无 交 ， 这 与f (X )连 通 矛 盾 ． 故f (X )是单点集，即f 为常值映射． 充 分 性 ． 设 每 一 连 续 映 射f : X → Y 都 是 常 值 映 射 ． 若X 不 连 通 ， 则 存 在 非 空 开 集A, B ， 使 得A ∪ B = X 謬A ∩ B = ∅， 定 义 映 射f : X → Y ， 使 得f (A) = {0}，f (B ) = {1}，显然f 为连续映射，但f 非常值，矛盾． 练 习 0.7. 设A是X 的 连 通 子 集 ，B 是X 的 既 开 又 闭 的 子 集 ， 若A ∩ B = ∅， 则A ⊆ B ． (Y ∩ Z c )．这与Y 连通
謳 因Ab 局部连通，所以存在连通集B ∈ Ux (Ab )，使得B ⊆ W ⊆ W ⊆ W ． 所以存在X 的开集U ，使B = U ∩Ab ．再令U = U ∩W ，显然有B = U ∩Ab 且 ¯=U ∩W ∩A ¯=U ∩W ⊆W . U ∩A 设P = [x]是U 的 含x的 连 通 分 支 ， 则P 在U 中 是 开 集 ， 故 在X 中 也 是 开 集 ． 因x ∈ P ∩ B 及B 连通，有B ⊆ P ，从而有 ¯) ∩ Ab . B = P ∩ Ab = (P ∩ A 謨謱謩