高考数学一轮复习第五章平面向量第4节平面向量的应用举例市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

的中点，
故O→N·O→Q－M→O·O→Q＝O→Q·(O→M＋O→N)＝2O→Q2＝4. [答案] 4
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考点三 向量在三角函数中的应用 ——共研型
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角度 1：向量与三角恒等变换结合 (2016·山东临沂模拟)已知向量 m＝(sinα－2，
－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中 α∈R. (1)若 m⊥n，求角 α； (2)若|m－n|＝ 2，求 cos2α 的值．
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[解] (1)向量 m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)， 若 m⊥n，则 m·n＝0， 即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0， 即 sinα＝12，可得 α＝2kπ＋π6或 2kπ＋56π，k∈Z.
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(2)若|m－n|＝ 2，即有(m－n)2＝2， 即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2， 即为 4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2， 即有 8－8sinα＝2，可得 sinα＝34， 即有 cos2α＝1－2sin2α＝1－2×196＝－18.
)
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(4) 在△ABC 中 ，若 A→B·B→C <0，则 △ABC 为 钝角 三角
形．(
)
(5)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间
的转化的主要手段是向量的坐标运算．(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
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2 ． (2016·湖 南 长 沙 模 拟 ) 如 图 ， 正 方 形
题型突破
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考点一 向量在平面几何中的应用 ——互动型
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(1)(2016·河 南 中 原 名 校 第
一次联考)如图，在直角梯形 ABCD 中，
AB＝2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点，B→C
＝3E→C，F 为 AE 中点，则B→F＝(
)
A.23A→B－13A→D
B.13A→B－23A→D
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2．在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 Q(1,1)的直线 l 与
曲线
y
＝
x x－1
交
于
M、N
两 点 ， 则 O→N ·O→Q － M→O ·O→Q ＝
__________. [解析] ∵曲线 C：y＝x－x 1＝1＋x－1 1，
∴曲线 C 的图象关于点(1,1)成中心对称，∴Q 是线段 MN
[答案] D
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4．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若 p∥q，则角 C 的
大小为(
)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
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[解析] 由 p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 整理得 b2＋a2－c2＝ab， 由余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝12， 又 0°<C<180°，∴C＝60°. [答案] B
＝
A→B
·A→D
＋
1 λ
A→B ·D→C
＋13B→C·A→D＋31λB→C·D→C＝|A→B||A→D|cos120°＋1λ
|A→B|2＋13|B→C|2＋31λ|B→C|·|D→C|·cos120°＝－2＋4λ ＋43－32λ＝130λ －23
＝1，
∴λ＝2. [答案] 2
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2．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ BC 的中点，点
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(2)设圆心为 O，半径为 r，则 OD⊥AC， OE⊥BC，∴3－r＋4－r＝5，解得 r＝1.
连接 DE，则当 x＋y＝1 时，P 在线段 DE 上，不满足题意，故排除 A；在 AC 上 取点 M，在 CB 上取点 N，使得 CM＝2CD， CN＝2CE，连接 MN，∴C→P＝2xC→M＋2yC→N，
E 在线段 AB 上运动，则E→C·E→M的最大值为________．
[解析] 以点 A 为坐标原点，AB，
AD 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直
角坐标系，则 C(1,1)，M1，12，设 E(x,0)，
x∈[0,1]，则E→C·E→M＝(1－x,1)·1－x，12＝(1－x)2＋12，x∈[0,1]
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3．(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝
60°，则B→D·C→D＝(
)
A．－32a2
B．－34a2
C.34a2
D.32a2
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[解析] 在菱形 ABCD 中，B→A＝C→D，B→D＝B→A＋B→C，所 以 B→D ·C→D ＝ ( B→A ＋ B→C )·C→D ＝ B→A ·C→D ＋ B→C ·C→D ＝ a2 ＋ a×a×cos60°＝a2＋12a2＝32a2.
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5．(2016·甘肃天水一中第三次月考)若 O 是△ABC 的重
心，A→B·A→C＝－2，A＝120°，则|A→O|的最小值为(
)
A.
3 3
C.23
B.
2 2
D.34
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[解析] ∵A→B·A→C＝－2，A＝120°，∴|A→B||A→C|＝4. ∵O 是△ABC 的重心，∴A→O＝13(A→B＋A→C)． ∴A→O2＝19(A→B2＋A→C2－4)≥19(2|A→B||A→C|－4)＝49(当且仅当 |A→B|＝|A→C|＝2 时等号成立)． ∴|A→O|≥23，∴|A→O|的最小值为23.故选 C. [答案] C
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1．(2016·云南昆明三中第三次综
合测试)如图，半圆的直径 AB＝4，O
为圆心，C 为半圆上不同于 A，B 的任
意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，
则(P→A＋P→B)·P→C的最小值是(
)
A．2
B．0
C．－1
D．－2
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[解析] 因为 O 为 AB 的中点，所以P→A＋P→B＝2P→O， 从而(P→A＋P→B)·P→C＝2P→O·P→C＝－2|P→O|·|P→C|. 又|P→O|＋|P→C|＝|O→C|＝2 为定值，所以当且仅当|P→O|＝|P→C| ＝1， 即 P 为 OC 的中点时，(P→A＋P→B)·P→C取得最小值，是－2. 故选 D. [答案] D
第五章 平面向量 第四节 平面向量的应用举例
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1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向 量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
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知识
梳理诊断
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1．向量在几何中的应用 (1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b⇔__a＝__λb______ ⇔a1b2－a2b1＝0(b≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔__a·_b__＝0⇔a1b1＋a2b2＝0.
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1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)若A→B∥A→C，则 A，B，C 三点共线．(
)
(2)若A→B与C→D共线，则 A，B，C，D 四点在一条直线
上．(
)
(3) 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | A→B | ＝
x2－x12＋y2－y12.(
设点 P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)， 则A→B＝(1,0)，A→P＝(x，y)， 所以A→P·A→B＝(x，y)·(1,0)＝x. 因为点 P 在圆 x2＋(y－5)2＝25 上， 所以－5≤x≤5，即－5≤A→P·A→B≤5.所以应填[－5,5]． [答案] [－5,5]
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考点
C．－23A→B＋13A→D
D．－13A→B＋23A→D
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(2)已知在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ 2，点 P 是斜边 AB 上的中点，则C→P·C→B＋C→P·C→A＝________.
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[解析] (1)取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，则 DG∥BC，所以B→C＝G→D＝ A→D－A→G＝A→D－12A→B，故A→E＝A→B＋B→E ＝A→B＋23B→C＝A→B＋23A→D－12A→B＝23A→B＋23A→D，于是B→F＝A→F－ A→B＝12A→E－A→B＝1223A→B＋23A→D－A→B＝－23A→B＋13A→D.故选 C.
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6．如图，A 是半径为 5 的圆 C 上的一个 定点，单位向量A→B在 A 点处与圆 C 相切，点 P 是圆 C 上的一个动点，且点 P 与点 A 不重合， 则A→P·A→B的取值范围是________．
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[解析] 如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，AC 所在的 直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．
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则点 P 在线段 MN 上时，2x＋2y＝1，故 x＋y＝2.同理，当 x＋y＝4 或 x＋y＝8 时，P 点不在三角形内部．排除 C，D.故 选 B.
[答案] (1)B (2)B
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向量在解析几何中的作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包 装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向 量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关 距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． (2)工具作用：利用 a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)， 可解决垂直、平行问题．特别地，向量垂直、平行的坐标表 示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的 方法．
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1．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC＝3BE，DC＝λDF.若A→E·A→F＝1， 则 λ 的值为________．
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[解析] A→E·A→F＝(A→B＋B→E)·(A→D＋D→F)＝
A→B＋13B→C
·A→D＋1λD→C
单调递减，当 x＝0
[答案]
3 2
时，E→C·E→M取得最大值32.
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考点二 向量在解析几何中的应用 ——互动型
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(1)(2016·四川卷)已知正三角形 ABC 的边长为
2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|A→P|＝1，P→M＝M→C，则
|B→M|2 的最大值是(
)
43 A. 4
ABCD 中，E 为 DC 的中点，若A→E＝λA→B＋μA→C，
则 λ＋μ 的值为(
)
1 A.2
B．－12
C．1
D．－1
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[解析] 如图所示，建立平面直角 坐标系，
设 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E12，1， 则 A→E ＝ 12，1 ， A→B ＝ (1,0) ， A→C ＝ (1,1)， 由A→E＝λA→B＋μA→C，得 λ＋μ＝12. [答案] A
49 B. 4
37＋6 3 C. 4
37＋2 33
D.
4
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(2)(2016·浙江杭州一模)在 Rt△ABC
中，∠C 是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC
的内切圆交 CA，CB 于点 D，E，点 P 是
图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若
C→P＝xC→D＋yC→E，则 x＋y 的值可以是
(
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(3)平面几何中夹角与线段长度计算：
a·b ①cos〈a，b〉＝__|_a|_|b_|__＝
aa21＋ 1b1a＋ 22 ab221b＋ 2 b22，
②|AB|＝|A→B|＝ A→B2＝___x_2－ __x_1_2_＋ ___y_2－ __y_1_2_.
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2．向量在解析几何中的应用 (1)向量 a＝(a1，a2)平行于直线 l，则直线 l 的斜率 k＝aa21 (a1≠0)． (2)若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直 线 l 垂直，向量(－B，A)与直线 l 平行．
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(2) 由 题 意 可 建 立 如 图 所 示 的 平 面直角坐标系，可得 A(2,0)，B(0,2)， P(1,1)，C(0,0)，则C→P·C→B＋C→P·C→A＝ (1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.
[答案] (1)C (2)4
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向量与平面几何综合问题的解法 (1)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系， 利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． (2)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点 与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和 向量运算，从而使问题得到解决．
)
A．1
B．2
C．4
D．8
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[解析] (1)如图，由|A→P|＝1 知点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以 1 为半径的 圆．由P→M＝M→C知点 M 为 PC 的中点， 取 AC 的中点为 N，连接 MN，则|MN|＝12 |AP|＝12，所以点 M 的轨迹是以 N 为圆心，以12为半径的圆．因 为|B→N|＝3，所以|B→M|的最大值为 3＋12＝72，|B→M|2 的最大值为449. 故选 B.