2017-2018学年高中数学人教A版必修4练习：2-3-1 平面

1．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 等于( )
A.12
(a －b ) B ．a ＋b C.12(b －a ) D.12
(b ＋a ) 解析：AD ＝12(AB ＋AC )＝12
(a ＋b )． 答案：D
2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AE ＝( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23
b
解析：如图，∵AE ＝1
2(AO ＋AD )，且AO ＝12
a ，AD ＝AO ＋OD ＝12a ＋12
b ， ∴AE ＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14
b . 答案：C
3．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：如图，AD 与CD 的夹角为∠ADC ＝150°.
答案：D
4．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2满足的关系为__________．
解析：∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB ＝k AC (k ≠0)．
∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .
又∵a ，b 不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝k ，1＝kλ2.∴λ1λ2＝1. 答案：λ1λ2＝1
5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .
故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b
＝23a ＋⎝⎛⎭
⎫－13b . 答案：23 －13
6．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB
＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .
解：如图，
因为AB ＝e 2，DC ∥AB 且DC
AB
＝k ，所以DC ＝k AB ＝ke 2. 因为AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，
所以BC ＝－AB －CD －DA ＝－AB ＋DC ＋AD
＝e 1＋(k －1)e 2.。