事件的关系和运算课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

问题6
记事件B为“点数为奇数”，事件F为“点数为偶数”， 事件H为“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事 件B和事件F有什么关系？
提示 事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，
且在一次试验中，B与F一定有一个发生.
知识梳理
事件A与事件B互斥
一般地，如果事件A与事件B不能 同时发生，也就是说A∩B是一个不 可能事件，即 A∩B＝∅ ，则称事 件A与事件B 互斥 (或互不相容)，
跟踪训练3
对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A， 显然不互斥； 对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C， 显然不互斥.
课堂小结
1. 知识清单： (1)事件的包含关系与相等关系. (2)并事件和交事件. (3)互斥事件和对立事件.
2. 方法归纳：列举法、Venn图法.
利用Venn图
借助集合间运算的思想，分析同一 条件下的试验所有可能出现的结果， 把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2 对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，
B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击
中目标}，下列关系不正确的是
A.A⊆D
B.B∩D＝∅
包含关系或相等关系
(1)B___⊆___H；(2)D__⊆___J；(3)E__⊆____I；(4)A__＝___G.
解析 因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点， 出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H； 同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
事件A(或事件A包含于事件B)；如果事件B包含事件A，事 件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等.
知识梳理
包含关系
一般地，若事件A发生， 则事件B 一定 发生， 称事件B 包含 件A(或 事件A包含于事件B)
图示
符号 B⊇A(或A⊆B)
知识梳理
相等关系
如果事件B包含事件A， 事件A也包含事件B，
样本点表示为___{_1_0_,2_0_,_30_,_4_0,_5_0_,3_2_,4_2_,5_2_,5_4_}___.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时 发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互 斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
互斥的概念适用于两个 或多个事件，但对立的 概念只适用于两个事件.
跟踪训练3 (1)某中学心理咨询室有3位男老师和2位女老师，从中任选2位老师 去为高三学生进行考前心理辅导，则事件“至少有1位女老师”与事件“全是男
√C.A∪C＝D
D.A∪C＝B∪D
解析 对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝∅正确； 对于选项C，由题意知正确； 对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件； 而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确.
3
互斥事件与对立事件
1234
某人在打靶中，连续射击2次，下列事件与事件“至少有一次中靶”互为对立
事件的是
A.至多一次中靶
√C.两次都不中靶
B.两次都中靶 D.只有一次中靶
解析
由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，且其 并事件为必然事件，所以它们互为对立事件.
1234
甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则
事件A与事件B互为对立
一般地，如果事件A和事件B在任 何一次试验中有且 仅有 一个发 生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅， 那么称事件A与事件B互为对立，
事件A的对立事件记为__A__.
例3 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为
“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，
解 由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球， 3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球、 2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球， 2个红球、1个白球}＝D.
反思感悟
事件间的运算方法
利用事件间运算的定义
列出同一条件下的试验所有可 能出现的结果，分析并利用这 些结果进行事件间的运算.
所以需要研究事件之间的关系和运算
1
事件的关系
问题1 在掷骰子试验中，事件A“点数为1”，事件B“点数为 奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？A与B事件 有什么关系？
提示 集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.
问题2
你能给出事件的包含关系和相等关系的定义吗？
提示 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含
3. 常见误区：互斥事件和对立事件之间的 关系易混淆.
4
随堂演练
1234
掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，
则事件A与事件B的关系是
A.A⊆B
√B.A∩B＝{出现的点数为6}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
解析
由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6. 故A∩B＝{出现的点数为6}.
提示 集合C是集合D与集合E的并集；当事件D和事件E至少有一个
发生，相当于事件C发生.
问题4 记事件F为“点数为2”，则集合F与集合D，E有什么关 系？事件F与事件D，E有什么关系？
提示 集合F是集合D与集合E的交集，当事件D与事件E同时发生时，
相当于事件F发生.
问题5
怎样从集合的角度理解并事件和交事件？
图示
符号
A∩B (或AB)
例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球
中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件
C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
列出事件D的 所有情况即可
(3)B与D；
解 事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就 是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件.
例3 (4)B与C；
解 事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、 乙两种报纸”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只 订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是 互斥事件.
提示 事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解.
知识梳理
并事件(或和事件)
一般地，事件A与事件B 至少 有 一个发生，这样的一个事件中的 样本点或者在事件A中，或者在 事件B中，我们称这个事件为事 件A与事件B的并事件(或和事件)
图示
符号
A∪B (或A＋B)
知识梳理
交事件(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在 事件A中，也在事件B中，我们称 这样的一个事件为事件A与事件B 的交事件(或积事件)
事件而不是对立事件的是
√A.“恰有一个奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
跟踪训练3 解析 从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，在该试验中， 设A＝“两个都是奇数”，B＝“一个奇数一个偶数”，C＝“两个都是偶数”， 则事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω(Ω为样本空间). 对于A，“恰有一个奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A，因为事件A和事件B 不可能同时发生，所以是互斥事件，因为事件C发生时，事件A与B都不发生， 所以A和B不是对立事件； 对于B，“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C， 显然不互斥；
事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每组事件是不是互斥事件；如果
是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；
关键看能不能同时发生
解 由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C 有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
例3 (2)B与E；
解 事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的， 故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件.
即 B⊇A且 A⊇B ，则
称事件A与事件B相等
图示
符号
A＝B
例1 在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出
现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小
于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}. 请判断下列两个事件的关系：
(5)C与E.
解 由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所 以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
反思感悟
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从发生的角度看
(2)从事件个数的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发 生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
10.1.2
事件的关系和运算
第十章 概 率
学习目标
1.理解事件的关系和运算. 2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.
在一个随机试验中可以定义很多随机事件，这些事件有的简单，有的复杂 例如盒子里有8个红球，2个黄球，现 从中任取3个球 我们希望从简单事件的概率推算出复杂 事件的概率
反思感悟
判断事件之间的关系
判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
跟踪训练1 同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是
正面为事件B，则有
√A.A⊆B
系
分析A和B图示关系即可
2
事件的运算
问题3
记事件C为“点数不大于3”，事件D为“点数为2或3”， 事件E为“点数为1或2”，则集合C与集合D，E有什么关系？ 事件C与事件D，E有什么关系？
A B∪A B 表示的含义是__只__有__一__人__破__译__出__密__码___，事件“密码被破译” 可表示为_A__B_∪___A__B_∪___A_B__.
1234
从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是 偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用
老师”
A.是互斥事件，不是对立事件
√C.既是互斥事件，也是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件 D.既不是互斥事件，也不是对立事件
解析 事件“至少有1位女老师”包含“1位女老师和1位男老师”与“2位都是女 老师”两个事件，其对立事件是“全是男老师”.
跟踪训练3 (2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各组事件是互斥
解 对于事件D，
可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，
故D＝A∪B.
例2 (2)事件C与A的交事件是什么事件？
列出事件C的 所有情况即可
解 对于事件C， 可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球， 故C∩A＝A.
延伸探究 在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个 白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什 么事件？