广西壮族自治区南宁市、河池市2024届高三教学质量监测二模数学试题及答案

广西壮族自治区南宁市、河池市2024届高三教学质量监测二
模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知{}
2
10A x x ax =−+≤，若2A ∈，且3A ∉，则a 的取值范围是（ ）
A ．510,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭
B ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．10,3⎛
⎫−∞ ⎪⎝
⎭
2．已知复数12z i =−，且2i z az b ++=，其中,a b 为实数，则i a b +=（ ） A
B
C
D ．4
3．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型
011e rt M
y M y −=
⎛⎫+− ⎪⎝⎭
进行估计．其中y 为第t
年底新能源汽车的保有量，r 为年增长率，M 为饱和量，0y 为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：ln 0.8870.12≈−，ln 0.30 1.2≈−）（ ） A ．62万
B ．63万
C ．64万
D ．65万
4．有2男2女共4名大学毕业生被分配到,,A B C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A ．12
B ．14
C ．22
D ．24
5．
已知某棱长为则该球的表面积为（ ） A ．4π
B ．2π
C ．
4π
3
D ．π
6．已知函数()()lg 122x x
f x x −=−++，则满足不等式()()12f x f x +<的x 的取值范围
为（ ） A ．()2,1−− B ．()1,2 C ．()
()1
,1,3
−∞−⋃+∞
D ．()
(),21,−∞−+∞
7．如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,//,33ABCD FB ED AB ED FB ===，则
A ．12
B ．6
C D
8．已知直线()0y kx m km =+≠与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，且AB =C 满足CA CB ⊥，则当k ，m 变化时，点C 到点()1,1D 的距离的最大值为（ ）
A
．B ．C ．D
二、多选题
9．若0>>>a b c ，则下列结论正确的是（ ） A ．a a c b
> B ．22a a b c >
C ．
a b b
a c c
−>− D ．a c −≥10．设12,F F 分别为椭圆22
1259x y +=的左、右焦点，()()000,4P x y x ≠为椭圆上第一象限
内任意一点，12,PF PF k k 分别表示直线12,PF PF 的斜率，则（ ）
A ．存在点P ，使得17PF =
B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒
C ．存在点P ，使得217PF PF k k =
D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=
11．已知函数()()
22sin cos 2,N k k f x x x k k *
=+≥∈，则下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的图象关于直线5π
2
x =
对称 C ．()f x 在ππ,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
D ．()f x 的值域为11,12k −⎡⎤
⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
三、填空题
12．已知向量,a b 满足(
)
2,2,1,1a b a b ==−+=，则a 在b 上的投影向量的坐标
为 ．
2π
BC 于D ，1AD =，则ABC 面积S 的最小值为
；若a =，则ABC 的面积
为 ．
14．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y
a b
−=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线
右支上任意一点，若2
12
PF
PF 的最小值为2c
，c =，则该双曲线的离心率是 ．
四、解答题
15．记n S 为公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，542188a a a a −=−+，621S =． (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设2
2log n n b a =，若由{}n a 与{}n b 的公共项从小到大组成数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项
和n T ．
16．如图，在三棱锥−P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面
,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N =在棱BC 上，且满足2BN NC =，
连接GN ．
(1)求证：GN ∥平面PAC ；
(2)设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值．
17．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分k 的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中
11a <<．
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记X 为其中二级品的个数，求X 的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
18．已知抛物线2:4C x y =，00(,)P x y 是x 轴下方一点，,A B 为C 上不同两点，且,PA PB 的中点均在C 上.
(1)若AB 的中点为Q ，证明：PQ x ⊥轴；
(2)若P 在曲线y =PAB 面积的最大值.
19．记函数()()y f x x D =∈在D 上的导函数为()y f x '=，若()0f x ''>（其中
()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦）恒成立，则称
()y f x =在D 上具有性质M ． (1)判断函数log a y x =（0a >且1a ≠）在区间()0,∞+上是否具有性质M ？并说明理由； (2)设,a b 均为实常数，若奇函数()32
2b g x x ax x
=++在1x =处取得极值，是否存在实数c ，
使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设Z k ∈且0k >，对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()
1ln 11
x k
x
x ++>
+成立，求k 的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得4210a −+≤且9310a −+>，解得51023
a ≤<． 故选：A 2．C
【分析】根据复数的运算，结合复数相等得2
3a b =⎧⎨=−⎩
，进而再求复数模即可.
【详解】解；因为复数12z i =−， ,a b 为实数，
所以()()12i 12i 122i 2i z az b a b a b a ++=−+++=+++−=， 所以10222a b a ++=⎧⎨−=⎩，解得2
3a b =⎧⎨=−⎩
，
所以i 23i a b +=−==. 故选：C 3．C
【分析】把已知数据代入阻滞型模型
011e rt M
y M y −=
⎛⎫+− ⎪⎝⎭
，求出对应的值即可．
【详解】根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值， 则2031年底该省新能源汽车的保有量为 1.20.121013001300
1300164e 11e 20y −−⨯=
=
+⎛⎫+− ⎪⎝⎭
， 因为ln 0.30 1.2≈−，所以 1.20e 0.3−≈， 所以 1.213001300
64164e 1640.30
y −=
≈≈++⨯
故选：C 4．B
【分析】按A 工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案. 【详解】按A 工厂接收的女生人数分类，
第一类：A 工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有1
2C 种选择， 再把剩余的3人分为两组，和,B C 两工厂进行全排列，有2
2
32C A 种选择，
故有122
232C C A 12=种分配方法；
第二类：A 工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，
有22
22C A 2=种分配方法．
综上，不同的分配方法有12214+=种． 故选：B 5．A
【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为A BCD −，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为A BCD − ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径1r =， 则该球的表面积为24π4πS r ==． 故选：A ．
6．D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得()f x 的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于x 的不等式组，解之即可得解. 【详解】由10x −>，得()f x 的定义域为()(),11,−∞−⋃+∞，
又()()()lg 122x x
f x x f x −−=−++=，故()f x 为偶函数，
而当1x >时，易知()()lg 1lg 1y x x =−=−单调递增，
而对于22x x y −=+，()
0222ln 22x x x x
y −−'=+=>+在()1,+∞上恒成立，
所以22x x y −=+在()1,+∞上也单调递增， 故()f x 在()1,+∞上单调递增，
则由()()12f x f x +<，得1211x x
x ⎧+<⎪⎨+>⎪⎩
，解得1x >或2x <−.
故选：D. 7．B
【分析】连接BD 交AC 于点M ，证得AC ⊥平面BDEF ，得到四边形BDGF 为矩形，分别
求得,,EM FM EF 的长，利用余弦定理求得cos EMF ∠=sin EMF ∠=，结合面积公式和锥体的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ， 因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 又因为ED ⊥平面,ABCD AC 平面ABCD ，所以ED AC ⊥，
因为,,ED
BD D ED BD =⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，
又因为12BM DM BD ==
=
F 作F
G DE ⊥于G ，可得四边形BDGF 为矩形，则
2FG BD EG ===，
所以EM =2FM ==，EF =
由余弦定理得222cos 2ME MF EF EMF ME MF +−∠==⋅
所以sin EMF ∠=
所以1
sin 2
EMF S ME MF EMF =⋅∠=△
所以1
63
F ACE A EFM C EFM EFM V V V AC S −−−=+=⋅=△．
故选：B ．
8．B
【分析】先求得A ，B 两点坐标，根据AB =2
2()8m m k
−
+=，再结合CA CB ⊥可得到C 轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由(0)y kx m km =+≠，得(,0),(0,)m
A B m k
−
，由AB =22()8m m k −+=，
由CA CB ⊥，得0AC BC ⋅=，设(,)C x y ，则(,)(,)0m
x y x y m k
+
⋅−=， 即22
222()()22244
m m m m x y k k ++−=+=，因此点C 的轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为(,)x y '' ，即有,22
m m x y k ''=−=，则2,2m x m y k ''=−=代入22
()8m m k −+=，
整理得：222x y ''+= ，即C 轨迹的圆心在圆222x y ''+=上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点()1,1D 与圆222x y ''+=上点(1,1)−−连线的距离加上圆C 的半径即为点C 到点()1,1D 的距离的最大值，
=. 故选：B
【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F 上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F 上的点与圆心距离加或减圆半径求解. 9．ACD
【分析】由不等式的性质判断.
【详解】∵0>>>a b c ，则0b c −>，0bc >，∴()
a a a
b
c c b bc −−=
0>，即a a c b
>，A 正确； 例如1a =，2b =−，3c =−，22(2)4a b =−=，22(3)9a c =−=， 显然49<，B 错误； 由0>>>a b c 得0c b −<，0a c −>，∴()0()
a b b a c b a c c c a c −−−=>−−，即a b b a c c −>−，C 正确；
易知0a c −>，0a b −>，0b c −>，
2()()0a c a b b c −−=−+−−=≥，
∴a c −≥D 正确；
故选：ACD ． 10．ABD
【分析】利用椭圆的性质以及坐标运算逐一确定选项中0x 的范围，进而判断存在性. 【详解】由已知得：()()12005,3,4,4,0,4,0,05,4a b c F F x x ===−<<≠
对于A ，由()()000,4P x y x ≠为椭圆上第一象限内任意一点可得1a PF a c <<+，
159PF <<，A 正确；
对于B ，由a c b >>，得以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点P 使得1290F PF ∠=︒，B 正确；
对于C ，由()()000,4P x y x ≠为椭圆上第一象限内任意一点可得005x <<， 又由217PF PF k k =可得
0000744y y
x x =⋅−+，解得0163
x =，与005x <<矛盾，C 错误； 对于D ，由已知()()()()()0012100200,,4,0,4,0,4,,4,P x y F F PF x y PF x y −=−−−=−−，
因为2
2
222
012
01616169172525x PF PF x y x x ⎛⎫⋅=−+−+−=− ⎪⎝⎭
=， 而2
0025x <<，所以()127,9PF PF ⋅∈−，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=，D 正确．
故选：ABD ． 11．BCD
【分析】计算π
()()2f x f x +=是否成立可判断A 项，运用周期性计算5π5π()()
22
f x f x +=−+是否成立即可判断B 项，对于C 项，运用导数判断()f x '在ππ
(,)42上的符号即可，对于D 项，
运用导数研究()f x 在一个周期内的单调性进而可求得值域.
【详解】对于A 项，因为2222πππ()sin ()cos ()cos sin ()222
k k k k
f x x x x x f x +=+++=+=，
所以π不是()f x 的最小正周期，故A 项错误；
对于B 项，由A 项知，()f x 的一个周期为π
2
，
又因为225π
()()sin cos 2
k k f x f x x x +
==+，22225π
()()sin ()cos ()sin cos 2
k k k k f x f x x x x x −+
=−=−+−=+，
所以5π5π()()22
f x f x +
=−+， 所以()f x 关于5π
2
x =
对称，故B 项正确； 对于C 项，由题意知，
21212222()2sin cos 2cos (sin )2sin cos (sin cos )k k k k f x k x x k x x k x x x x −−−−'=⋅+⋅−=−，
当ππ
(,)42x ∈时，sin cos 0x x >>，则2222sin cos 0k k x x −−>>，即：2222sin cos 0k k x x −−−>，所
以()0f x '>，
所以()f x 在ππ
(,)42
上单调递增，故C 项正确；
对于D 项，由A 项知，()f x 的一个周期为π
2
，
由C 项知，2222()2sin cos (sin cos )k k f x k x x x x −−'=−，
当π
(0,)4
x ∈时，0sin cos x x <<，则2222cos sin 0k k x x −−>>，即：2222sin cos 0k k x x −−−<，所
以()0f x '<，
所以()f x 在π
(0,)4
上单调递减，
又因为22221πππ1
()sin cos ()4442
k k k k k f −=+=+=，(0)1f =，π()12f =，
所以max ()1f x =，1
min 1()()2
k f x −=，
所以()f x 的值域为1
1[(),1]2
k −，故D 项正确.
故选：BCD.
12．()
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得3a b ⋅=−，结合cos b a b b
a b
b b
θ⋅⋅=
⋅，即可求解.
【详解】因为(
)
2,2,1a b ==
−，可得3b =，
又因为1a b +=，可得2
2
224231a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=，解得3a b ⋅=−， 所以a 在b 上的投影向量为()
cos 2,1b a b b
a b
b b
θ⋅⋅
=
⋅=−．
故答案为：()
. 13．
【分析】由ABC
ABD
ACD
S
S S
=+，求得bc b c =+，利用基本不等式4bc ≥，求得ABC 面积
的最小值ABC 的最小值，再由余弦定理，求得5bc =，求得ABC 的面积. 【详解】由题意，2π
,3
BAC AD ∠=平分BAC ∠交BC 于D 且1AD =， 可得ABC
ABD
ACD
S
S
S
=+，即12π1π1π
sin
sin sin 232323
bc c AD b AD =⋅+⋅， 整理得bc b c =+，
所以bc b c =+≥所以4bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以ABC 面积的最小值(
)
min
142ABC S
=⨯= 因为2222cos a b c bc A =+−，即()2
2220b c bc b c bc =++=+−， 又因为b c bc +=，所以()2
200bc bc −−=，即()()540bc bc −+=，
因为0bc >，解得5bc =
，因此1sin 2ABC S bc BAC =∠==
△．
.
14
．2
2
【分析】设2PF m =，则m c a ≥−，根据双曲线的定义12PF m a =+，故2
2
1244PF a m a PF m =++，分2a c a ≥−与2a c a <−讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率. 【详解】设2PF m =，则m c a ≥−，由双曲线的定义知122PF PF a −=，
∴12PF m a =+，
()22
2
12244PF m a a m a PF m m
+==++， 当2a c a ≥−，即1
3
a c ≥时，
2
21244PF a m a PF m =+
+8
4823
a a c c ≥=≥>，不符合题意；
当2a c a <−，即3c
e a
=
>时， 2
44a y m a m =++在[),m c a ∈−+∞上单调递增，
所以当m c a =−时2
12
PF
PF 取得最小值，
故2
442a c a a c c a
−++=−，化简得2240c ac a −−=，
即2410e e −−=
，解得2e =
2e =3e >.
综上所述，该双曲线的离心率是2+ 故答案为
:2 15．(1)()112n
n n a −=−⨯
(2)()2413
n n T −=
【分析】（1）设等比数列的公比为q ()1q ≠，由542188a a a a −=−+求出q ，再由等比数列求和公式求出1a ，即可得解；
（2）由（1）可得()21n b n =−，即可得到数列{}n b 的特征，令0n a >，求出n 的取值，即可得到{}n c 为以2为首项，4为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）解：设等比数列的公比为q ()1q ≠，
因为542188a a a a −=−+，即()33
21218a q a q a a −=−−，即38q =−，所以2q =−，
又()6161211a q S q
−=
=−，即
()(
)()
6
1122112a −−=−−，解得1
1a =−，
所以()
()1
11212n n
n n a −−=−⨯−=−⨯.
（2）解：由（1）可得()(
)
()()2
2121
222log log 12log 221n
n n n n
b a n −−==−⨯==−，
则数列{}n b 为0、2、4、6、
，偶数组成的数列，
又()112n
n n a −=−⨯，令0n a >，则n 为正偶数，
所以12c =，3
22c =，532c =，
，21
2n n c −=，
所以{}n c 为以2为首项，4为公比的等比数列，
所以()()21424114
3
n n n T −−=
=
−.
16．(1)证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；
（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接MC ，如图所示．
在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ⋂=， 所以G 为PAB 的重心，所以2BG
GM
=， 又
2NB
CN
=，所以GN MC ∥， 又GN
平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．
（2）连接OC ，因为PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥， 又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面CAB ，
又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥．
因为ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．
以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则)(
)(
,0,1,0,,C
B P G ⎛ ⎝⎭
， 所以(
)
3,1,0,0,CB BG ⎛=−=− ⎝⎭
． 设平面BGN 的法向量(),
,n x y z =，
则30,0,n CB y n BG y
⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩令1x =，解得
3y z
=， 所以平面BGN
的一个法向量()
1,3,3n
=，
(()
11
1333NP CP CN CP CB ⎛=−=−=−−=− ⎝． 设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，
则sin cos ,1n NP n NP n NP
θ−⋅
==
=
=
⋅+， 即直线PN 与平面BGN
17．(1)
3142
(2)①分布列见解析，()1E X =；②乙型号
【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样，计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 3件一级品的概率；
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为
7
10
，二级品的概率为14
，三级品的概率为1
20，若从乙型号减排器随机抽取4件，则二级品数所有可
能的取值为0,1,2,3,4，且14,4X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
～，由此能求出的分布列和数学期望.②由题意分别求出
甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为
0.0850.0450.6⨯+⨯=，
按等级用分层抽样的方法抽取10件， 则抽取一级品为100.66⨯=（件），
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件A ，则()32415
64646
5
10C C C C C 31C 42
P A ++==． （2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为
7
10
， 二级品的概率为14
，三级品的概率为1
20，
由题意，14,,4X B X ⎛⎫
⎪⎝⎭～的所有可能的取值为0,1,2,3,4，
所以()4
04
3181044256P X C ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()3
14
3127
1C 4464
P X ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭， ()22
24
31272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()()304
344
43133113C ,4C 446444256
P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 分布列如下表：
所以()1
414
E X =⨯
=；
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
2213266
235555
E a a a a =⨯+⨯=+；
乙型号减排器的利润率的平均值：
222271147
231042055
E a a a a a =
⨯+⨯+=+； ()22212664
721121555
5555E E a a a a a a a a ⎛⎫−=+−+=−=− ⎪⎝⎭，又1176a <<，
则12E E <，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大． 18．(1)证明见解析 (2)24
【分析】（1）设2(,)4
a A a ，2
(,)4b B b ，()a b ≠，根据题意求出AB 的中点为Q 的横坐标为0x ，
可证PQ x ⊥轴； （2）不妨设b a >，则1
||()2
PAB
S
PQ b a =
⋅−，将||PQ 和b a −表示为0y 的函数，得PAB
S ()
200134424y y ⎡⎤=−+−⎢⎥⎣⎦
，再换元，令20044t y y =−−+， 48t <≤，得PAB
S
324
=，根据32y t =在(4,8]上为增函数，可求出结果. 【详解】（1）设2(,)4
a A a ，2
(,)4b B b ，()a b ≠，
则PA 的中点2
004(,)28
x a y a E ++在抛物线24x y =上， 所以2
2004428x a y a ++⎛⎫=⋅
⎪⎝⎭
，化简得22
000280a x a y x −+−=， 同理由PB 的中点F 在抛物线24x y =上可得22
000280b x b y x −+−=，
因为a
b ，所以,a b 是关于x 的一元二次方程2
2
000280x
x x y x −+−=的两个不等实根，
所以02a b x +=，2
008ab y x =−， 所以AB 的中点Q 的横坐标为02
a b
x +=，它与P 的横坐标相同， 所以PQ ⊥x 轴.
（2）不妨设b a >，则02
a b
a x
b +<=<， 由PQ ⊥x 轴，得1
||()2
PAB
S
PQ b a =
⋅−，
因为P 在曲线y =00(,)P x y 是x 轴下方一点，
所以22
0040x y =−≥，且00y <，所以020y −≤<，
因为AB 的中点Q 的纵坐标为222()288a b a b ab ++−=()2
2
00022(8)
8
x y x −−=
2
00384x y −=
20
038124y y −−+=， 所以2
2
0000038123||(44)44
y y PQ y y y −−+=
−=−+−，
又b a −===
所以1||()2PAB
S
PQ b a =
⋅−()20
0134424y y ⎡⎤=−+−⎢⎥⎣⎦
， 令22
00044(2)8t y y y =−−+=−++，因为020y −≤<，所以48t <≤，
所以1324PAB
S
t =⋅324
=，
因为32
y t =在(4,8]上为增函数，所以当8t =时，PAB S 取最大值3
28244
=.
【点睛】关键点点睛：第（2）中，利用||PQ 和b a −求面积，将||PQ 和b a −表示为0y 的函数，利用0y 的范围求面积的最大值是解题关键. 19．(1)不具有，理由见解析 (2)存在，()0,∞+ (3)3
【分析】（1）根据题意，求得()()211,ln ln f x f x x a x a '''−==，结合新定义，即可求解； （2）根据题意，求得()3
62g x x x
=+，得到()2266g x x x −'=，进而得到()31212g x x x ''=+，进
而新定义，即可求解； （3）根据题意，转化为()()11ln 1x x k x
⎡⎤+++⎣⎦<，令
()()()11ln 1x x F x x
⎡⎤+++⎣⎦=
，求得
()()2
ln 11
x x F x x
−+−=
'，令()()ln 11G x x x =−+−，利用导数求得函数()G x 的单调性，结合
()()20,30G G <>，得到存在()02,3x ∈，使()00G x =，结合函数的单调性，求得()F x 的最
小值为()0F x ，由()00G x =，得到()00ln 11x x +=−，求得()()03,4F x ∈，即可求解. 【详解】（1）解：令()()log ,0,a y f x x x ==∈+∞，则()()211
,ln ln f x f x x a x a
'''−==， 当01a <<时，()210ln f x x a '−=
>'；当1a >时，()
21
0ln f x x a
'−=<'， 所以当01a <<时，函数log a y x =在区间()0,∞+上具有性质M ； 当1a >时，函数log a y x =在区间()0,∞+上不具有性质M ．
（2）解：因为()322b g x x ax x =++，所以()2
262b g x x ax x
'=+−，
因为()g x 在1x =处取得极值，且()g x 为奇函数，
所以()g x 在=1x −处也取得极值，则()()
1620
1620g a b g a b ⎧=+−=⎪⎨−=−−=''⎪⎩，解得0,6a b ==，
所以()3
62g x x x
=+
，可得()2
266g x x x −'=，
当0x >时，令()0g x '>，解得1x >；令()0g x '<，解得01x <<，
故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，满足()g x 在1x =处取得极值，
所以()3
3
12121212g x x x x x −''=+=+
， 当()0,x ∈+∞时，()3
12
120g x x x ''=+
>恒成立， 所以，存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，且c 的取值范围是()0,∞+．
（3）解：因为()0,x ∈+∞，所以
()
1ln 11x k x x ++>
+，即()()11ln 1x x k x
⎡⎤+++⎣⎦<
， 令()()()11ln 1x x F x x
⎡⎤+++⎣⎦=
，则()()2ln 11x x F x x −+−='，
令()()ln 11G x x x =−+−，则()1111
x G x x x '=−
=++， 当()0,x ∈+∞时，()()0,G x G x '>在区间()0,∞+上单调递增， 又因为()()21ln30,32ln40G G =−<=−>，
所以存在()02,3x ∈，使()()000ln 110G x x x =−+−=，
因为当()00,x x ∈时，()()()0,0,G x F x F x <'<在区间()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()()()0,0,G x F x F x >'>在区间()0,x +∞上单调递增， 所以当()0,x ∈+∞时，()F x 的最小值为()()()0000
11ln 1x x F x x ⎡⎤+++⎣⎦
=
，
由()()000ln 110G x x x =−+−=，有()00ln 11x x +=−， 所以()()()00000
1111x x F x x x ++−⎡⎤⎣⎦
=
=+，
因为()02,3x ∈，所以()()03,4F x ∈， 又因为()()()11ln 1x x k F x x
⎡⎤+++⎣⎦
<
=恒成立，所以()0k F x <，
因为Z k ∈且0k >，所以k 的最大值为3．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。