§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式

P ( A B) 0.8 ,求 P( B ) ．
解 因为 A 与 B 互不相容，所以 P( A B) P( A) P( B) ,
P ( B) P ( A B) P ( A) 0.8 0.6 0.2 ,
P( B ) 1 P( B) 1 0.2 0.8 .
§1.3 概率的公理化定义
及概率的加法公式
1
事件的频率
定义 在相同的条件下进行n 次试验,其中事件A 发 生的次数nA称为频数,比值nA/n称为频率,记为fn(A).
我们知道随机事件A，在大量的重复试验中，频 率fn(A)具有稳定性. 也就是它的统计规律性. 为此, 先 看看频率的有关性质．
2
首先，频率具有非负性：
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
4 15 7 15 1 10 19 30 .
11
从而，由概率的加法公式得所求概率为
定理1.2 (关于三个事件的概率的加法公式) 对任意三个事件A，B，C 有
n i 1 i 1 1 i j n

n



1 i j k n

P Ai Aj Ak


An .
13

1
n 1
P A1 A2
我们也பைடு நூலகம்这个公式为“多除少补原理”．
例3 设 事 件 A 与 B 互 不 相 容 ， 且 P ( A) 0.6 ，
P AB 0, P AC 0.1 ,
P BC 0.2, 求事件A，B，C中至少有一
个发生的概率． 解 问题归结于求 P A B C .
0 P ABC P AB 0 P ABC 0,
17
由概率的加法公式得所求概率为
f n ( A) 0 ；
其次， 对 必 然 事件 Ω ， 必 有 f n ( Ω) 1 ；
还 有 ，若 A 和 B 是两个互斥的事件，则应有
f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
这个性质称为频率的有限可加性.
3
一 概率的公理化定义
定义 如果对任意事件A，都有一个实数 P(A)，满足 以下条件： (1) 非负性 (2) 正则性
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .

12
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
15
例5 设 P ( A) 1 ，P ( B ) 1 ， P ( BA ) ； (1) 若AB Φ ， 求
3
2
1 P ( BA ) ． (2) 若 A B ,求P ( BA ) ；(3) 若 P ( AB ) ,求 8 解 (1) 因为 AB Φ ，所以
1 P( B A) P( B) P( AB) P ( B ) ; 2 (2) 因为 A B ，所以
14
例4 假设 A 发生的概率为 0.6， A 与 B 都发生的概率 为 0.1， A 与 B 都不发生的概率为 0.15，求： (1)A 发生 但 B 不发生的概率; (2)A 不发生但 B 发生的概率 ; (3) A 与 B 至少发生一个的概率． 解 已知： P ( A ) 0.6 ， P ( AB ) 0.1 ， P ( A B ) 0.15 ，
移项得所需结论．
概率的有限可加性
8
由真差的概率公式可得下面三条性质： 性质1.5(概率的单调性) 若 A B , 则
P A P( B) .
性质1.6 对任意事件A，有
0 P A 1 .
性质1.7 (概率的减法公式) 对任意两 个事件A和B，有
P A B P( A) P( AB) .
P A B C P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P( ABC )
0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0 0.6.
18
(1) A发生但B不发生的概率为 P ( A B) P ( A) P ( AB ) 0.6 0.1 0.5 ,
(2) B发生但A不发生的概率为
P ( B A) P( BA ) P ( A A B ) P( A ) P( A B ) 0.4 0.15 0.25 . (3) A与B至少有一个发生的概率为 P( A B) 1 P( A B) 1 P( A B ) 1 0.15 0.85 .
1 1 1 P ( B A) P ( B ) P ( A) 2 3 6 1 1 3 (3) P ( B A) P ( B ) P ( AB ) ． 2 8 8
16
例1.7 设 P A 0.2 , P B 0.3 ,
P C 0.4 ,
,
利用概率的可列可加性与正则性，有
P () P () P (Φ) P(Φ)
即
1 1 P(Φ) P(Φ)
,
从而， P (Φ ) 0 .
5
性质1.2 (概率的有限可加性)
若 事 件 A1 ,, An 两两互不相容 , 则有
P ( Ai ) P ( Ai )
可以通过计算其对立事件的概率来完成，这种 “绕圈子”的方式在概率计算问题中经常被采 用．
7
性质1.4 (真差概率公式) 若 A B , 则
P B A P( B) P( A) .
证 当 A B 时，
B A B A .
A与B-A互不相容，
BB A
A B
P( B) P( A) P B A ,
P ( A) 0 ；
P ( ) 1；
(3) 可列可加性
对 两 两 互 不 相 容 的 事件 A1 ,, An ，有
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1


则称 P(A)为事件A的概率.
4
二、概率的基本性质
性质1.1
证
P (Φ) 0
ΦΦ ,
i 1
i 1
6
n
i 1 n
n
性质1.3 (对立事件的概率公式) 对任何事 件A，有
P ( A) 1 P A .
证 注意，A与 A 互不相容，且 A A ,
概率的有限可加性

1 P P A A P ( A) P A .



☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，
i 1 i 1
n
n
证
A1 An A1 An Φ ，
而 A1 ,, An , Φ, 也显然两两互不相容，
由可列可加性及性质1，得
P ( Ai ) P ( A1 An Φ )
P ( Ai ) P (Φ) P ( Ai ) .
P A P B P AB .
10
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率． 解 在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
9
三、概率的加法公式
定理1.1 (关于两个事件的概率的加法公式) 对任意两个事件A和B，有
P A B P( A) P( B) P( AB) .

A
证
AB
B
A B A B A A B AB
所以
P A B
而且 A B AB , P A P B AB