天津市北辰区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷含解析

天津市北辰区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为（ ）
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．1∶6
D ．1∶6 2．关于反比例函数y=
2x
，下列说法中错误的是（ ） A ．它的图象是双曲线
B ．它的图象在第一、三象限
C ．y 的值随x 的值增大而减小
D ．若点（a ，b ）在它的图象上，则点（b ，a ）也在它的图象上
3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB=30°，⊙O 的半径为6，则»AB 的长等于（ ）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
4．如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠∠=，添加以下条件之一，仍不能证明ABC V ≌DEF V 的是( )
A ．E ABC ∠∠=
B ．AB DE =
C ．AB//DE
D ．DF//AC
5．已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，已知AB ∥CD ，DE ⊥AF ，垂足为E ，若∠CAB=50°，则∠D 的度数为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
7．已知二次函数y ＝ax 1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 1﹣4ac ＝0；③a ＞1；④ax 1+bx+c ＝﹣1的根为x 1＝x 1＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 1）为函数图象上的两点，则y 1＞y 1．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是( )
A ．10
B ．12
C ．20
D ．24
9．下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）
A ．y ＝x 2
B ．y ＝x ﹣1
C ．34y x =
D ．1y x
= 10．正方形ABCD 和正方形BPQR 的面积分别为16、25，它们重叠的情形如图所示，其中R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点，则四边形RBCS 的面积为（ ）
A ．8
B ．172
C ．283
D ．778
11．如图，在Rt ABC ∆中，90,ABC BA BC ∠=︒=．点D 是AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG CD ⊥，分别交CD CA 、于点E F 、，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ．给出以下四个结论：①AG FG AB FB =；②点F 是GE 的中点；③2AF AB =；④6ABC BDF S S ∆∆=，其中正确的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A ．1234a a a ÷=
B ．()32639a a =
C ．()222a b a b +=+
D ．2236a a a ⋅=
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b=a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．
14．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数k y x
=
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为(422-)的圆内切于△ABC ，则k 的值为________．
16．用48米长的竹篱笆在空地上,围成一个绿化场地,现有两种设计方案,一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形场地.现请你选择,围成________(圆形、正方形两者选一)场在面积较大.
17．长城的总长大约为6700000m ，将数6700000用科学记数法表示为______
18．如果抛物线y=ax 2+5的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点M 的坐标．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BC＝a，AC＝b．若a＝3，
b＝4，求DE的长；直接写出：CD＝（用含a，b的代数式表示）；若b＝3，tan∠DCE=1
3
，求a
的值．
21．（6分）佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x ﹣3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象．
x …﹣3 ﹣5
2
﹣2 ﹣
3
2
﹣
1
﹣
1
2
1
2
1
3
2
2 …
y …﹣8 ﹣21
8
5
8
m ﹣
9
8
﹣2 ﹣
15
8
35
8
12 …
（1）直接写出m的值，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有个，分别为；（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝k
x
相交于A，B两点，
已知A（2，5）．求：b和k的值；△OAB的面积．
23．（8分）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？
24．（10分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；以原点O为位似中心，将
△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
25．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，且∠B=45°，AD=DC=1，点M为边BC上一动点，联结AM并延长交射线DC于点F，作∠FAE=45°交射线BC于点E、交边DCN于点N，联结EF．
（1）当CM：CB=1：4时，求CF的长．
（2）设CM=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（3）当△ABM∽△EFN时，求CM的长．
26．（12分）计算：4cos30°﹣12+20180+|1﹣3|
27．（12分）如图，AB是半圆O的直径，D为弦BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC，求证：CF为⊙O的切线；若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
解：设正三角形的边长为1a，则正六边形的边长为1a．过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°，
3
3，∴S△ABC=1
2
BC•AD=
1
2
×1a×331．
连接OA、OB，过O作OD⊥AB．
∵∠AOB=360
6
︒
=20°，∴∠AOD=30°，∴
3
3，
∴S△ABO=1
2
BA•OD=
1
2
×1a×331，∴正六边形的面积为：3a1，∴边长相等的正三角形和正
3a1：31=1：2．故选C．
点睛：本题主要考查了正三角形与正六边形的性质，根据已知利用解直角三角形知识求出正六边形面积是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数y=2
x
的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答．
【详解】
A．反比例函数
2
y
x
=的图像是双曲线，正确；
B．k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误；
D．∵ab=ba，∴若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上，故正确．故选C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．3．B
【解析】
【分析】
根据圆周角得出∠AOB ＝60°，进而利用弧长公式解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB ＝30°，
∴∠AOB ＝60°，
∴»AB 的长＝606180
π⨯＝2π， 故选B ．
【点睛】
此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB ＝60°．
4．B
【解析】
【分析】
由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．
【详解】 A.添加E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC V ≌DEF V ，故A 选项不符合题意．
B.添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC V ≌DEF V ，故B 选项符合题意；
C.添加AB//DE ，可得E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC V ≌DEF V ，故C 选项不符合题意；
D.添加DF//AC ，可得DFE ACB ∠∠=，根据AAS 能证明ABC V ≌DEF V ，故D 选项不符合题意， 故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．D
【解析】
试题分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可.
试题解析：画树状图如下：
共有12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为.
故选D.
考点：列表法与树状法.
6．B
【解析】
试题解析：∵AB ∥CD ，且50CAB ∠=︒，
50ECD ∴∠=︒，
ED AE Q ，
⊥ 90CED ∴∠=︒，
∴在Rt CED V 中，905040D ．
∠=︒-︒=︒ 故选B ．
7．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -
<， ∴0ab >，
由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，
∴0c >，
∴0abc >，故①正确；
②抛物线与x 轴只有一个交点，
∴0∆=，
∴240b ac -=，故②正确；
③令1x =-，
∴20y a b c =-++=， ∵12b a
-=-， ∴2b a =，
∴220a a c -++=，
∴2a c =+，
∵22c +>，
∴2a >，故③正确；
④由图象可知：令0y =，
即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,
∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124
-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；
故选D ．
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
8．B
【解析】
【分析】
根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出BC 与AC 的长度．
【详解】
解：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，
由图象可知：点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为5，即BC=5，
由于M 是曲线部分的最低点，
∴此时BP 最小，即BP ⊥AC ，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC 的面积为：
12×4×6=12. 故选：B.
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意结合图象求出BC 与AC 的长度，本题属于中等题型． 9．D
【解析】
A 、、∵y ＝x 2，∴对称轴x=0，当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；而在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减小，故此选项错误
B、k＞0，y随x增大而增大，故此选项错误
C、B、k＞0，y随x增大而增大，故此选项错误
D、y=1
x
（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，故此选项正确
10．D
【解析】
【分析】
根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根据面积公式求出即可．【详解】
∵正方形ABCD的面积为16，正方形BPQR面积为25，
∴正方形ABCD的边长为4，正方形BPQR的边长为5，
在Rt△ABR中，AB=4，BR=5，由勾股定理得：AR=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠BRQ=90°，
∴∠ABR+∠ARB=90°，∠ARB+∠DRS=90°，
∴∠ABR=∠DRS，
∵∠A=∠D，
∴△ABR∽△DRS，
∴AB AR DR DS
=，
∴43
1DS =，
∴DS=3
4
，
∴∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD-S△ABR-S△RDS=4×4-1
2
×4×3-
1
2
×
3
4
×1=
77
8
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR和△RDS的面积是解此题的关键．11．C
【解析】
【分析】
用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证
△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的
【详解】
解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
设AB＝BC＝2，则AC＝
，
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝1，
在Rt△DBC中，DC
（勾股定理）
∵BG⊥CD，
∴∠DEB＝∠ABC＝90°，又∵∠CDB＝∠BDE，
∴△CDB∽△BDE，
∴∠DBE＝∠DCB，BD CD CB
DE BD BE
==,
即
12
DE BE
==
∴DE
，BE
在△GAB和△DBC中，
DBE DCB
AD BC
GAB DBC ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△GAB≌△DBC(ASA) ∴AG＝DB＝1，BG＝CD
∵∠GAB+∠ABC＝180°，∴AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴
1
2
AG AF GF
CB CF BF
===，且有AB＝BC，故①正确，
∵GB
AC＝
∴AF
＝
3
＝
3
AB，故③正确，
GF
FE＝BG﹣GF﹣BE
，故②错误，
S△ABC＝1
2
AB•AC＝2，S△BDF＝
1
2
BF•DE＝
1
2
1
3
，故④正确．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度,注意合理的运用特殊值法是解题关键． 12．D 【解析】 【分析】
利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式即可判断． 【详解】
A 、12394a a a a ÷=≠，该选项错误；
B 、()
3
2
663279a a a =≠，该选项错误；
C 、()2
22222a b a ab b a b +=++≠+，该选项错误； D 、2236a a a ⋅=，该选项正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．2 【解析】 【分析】
根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程，解方程即可得解. 【详解】
由题意得，（x+2）2﹣（x+2）（x ﹣2）=6， 整理得，3x+3=6， 解得，x=2， 故答案为2． 【点睛】
本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．
14． 【解析】
【分析】根据旋转的性质知AB=AE ，在直角三角形ADE 中根据勾股定理求得AE 长即可得. 【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴AE=22
AD DE
=32，
∴AB=32，
故答案为32.
【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键. 15．1
【解析】
试题解析：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N；
设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函数y＝k
x
经过正方形AOBC对角线的交点，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形HQEC是正方形，
∵半径为（2）的圆内切于△ABC，
∴DO=CD，
∵HQ2+HC2=QC2，
∴2HQ2=QC2=2×（2）2，
∴QC22=（2-1）2，
∴2-1，
∴2-1+（2）2，
∴2，
∵NO2+DN2=DO2=（2）2=8，
∴NO2=1，
∴DN×NO=1，
即：xy=k=1．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及三角形内切圆的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据已知求出CD的长度，进而得出DN×NO=1是解决问题的关键．
16．圆形
【解析】
【分析】
根据竹篱笆的长度可知所围成的正方形的边长，进而可计算出所围成的正方形的面积；根据圆的周长公式，可知所围成的圆的半径，进而将圆的面积计算出来，两者进行比较．
【详解】
围成的圆形场地的面积较大．理由如下：
设正方形的边长为a，圆的半径为R，
∵竹篱笆的长度为48米，
∴4a=48，则a=1．即所围成的正方形的边长为1；2π×R=48，
∴R=24
π
，即所围成的圆的半径为
24
π
，
∴正方形的面积S1=a2=144，圆的面积S2=π×（24
π
）2=
576
π
，
∵144＜576π
，
∴围成的圆形场地的面积较大．
故答案为：圆形．
【点睛】
此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
17．6.7×106
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：6700000用科学记数法表示应记为6.7×106，故选6.7×106.
本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
18．a＞1
【解析】
根据二次函数的图像，由抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，知a＞1，
故答案为a＞1．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）y=﹣x2+2x+1；（2）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，8
3
）或（1，﹣
2
3
）．
【解析】
【分析】
（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点M的坐标为（1，m），则，
分∠ACM=90°和∠CAM=90°两种情况，利用勾股定理可得出关于m的方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．
【详解】
（1）将A（﹣1，0）、C（0，1）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：
10 {
3
b c
c
--+=
=
，
解得：
2 {
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+1．
（2）∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+4，
设点M的坐标为（1，m），
则，
分两种情况考虑：
①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣1）2，
解得：m=8
3
，
∴点M的坐标为（1，8
3）；
②当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣1）2=4+m2+10，
解得：m=﹣2
3
，
综上所述：当△MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为（1，8
3）或（1，﹣23
）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的点的坐标特征以及勾股定理等知识点．
20．（1）710；（2）22
22
ab a b a b
++；（3）101-.
【解析】 【分析】
（1）求出BE ，BD 即可解决问题． （2）利用勾股定理，面积法求高CD 即可． （3）根据CD ＝3DE ，构建方程即可解决问题． 【详解】
解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝91°，a ＝3，b ＝4， ∴223
5,cos 5
BC AB a b B AC ∴=
+==
=． ∵CD ，CE 是斜边AB 上的高，中线， ∴∠BDC ＝91°，15
BE AB 22
==． ∴在Rt △BCD 中，
39
cos 355BD BC B =⋅=⨯=
597
2510
DE BE BD ∴=-=-=（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝91°，BC ＝a ，AC ＝b ，
2222AB BC AC a b ∴=+=+ABC 11
S AB CD AC BC 22
=
⋅=⋅V Q 222222AC BC ab a b CD AB a b a b
⋅+∴===++22
22a b a b ++． （3）在Rt △BCD 中，22
2
2
2
cos BD BC B a a b
a b
=⋅==
++
∴222
222222122DE BE BD a b a b a b
=-=+=++，
又1
tan 3
DE DCE CD ∠=
=， ∴CD ＝3DE 223=．
∴2a＝9﹣a2，即a2+2a﹣9＝1．
由求根公式得110
a=-±（负值舍去），
即所求a的值是101
-．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（1）2；（2）3，﹣2，或﹣1或1．（3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1．
【解析】
试题分析：（1）求出x=﹣1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；
（2）利用图象以及表格即可解决问题；
（3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于2的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题.
试题解析：（1）由题意m=﹣1+2+1﹣2=2．
函数图象如图所示．
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为﹣2，或﹣1或1．
（3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于2的自变量的取值范围．
观察图象可知，﹣2＜x＜﹣1或x＞1．
22．（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=21
．
（1）由直线y=x+b 与双曲线y=
k
x
相交于A 、B 两点，A （2，5），即可得到结论； （2）过A 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，根据y=x+3，y=10
x
，得到（-5，-2），C （-3，0）．求出OC=3，
然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
解：（1）把()2,5A 代入y x b =+．∴52b =+∴3b =． 把()2,5A 代入k y x =，∴52
k
=， ∴10k =． （2）∵10
y x
=，3y x =+． ∴
10
3x x
=+时，2103x x =+， ∴12x =，25x =-．∴()5,2B --． 又∵()3,0C -，
∴AOB AOC BOC S S S =+V V V 3532
22
⨯⨯=
+ 10.5=． 23．A 车行驶的时间为3.1小时，B 车行驶的时间为2.1小时． 【解析】 【分析】
设B 车行驶的时间为t 小时，则A 车行驶的时间为1.4t 小时，根据题意得：700t ﹣
700
1.4t
=80，解分式方程即可，注意验根. 【详解】
解：设B 车行驶的时间为t 小时，则A 车行驶的时间为1.4t 小时， 根据题意得：
700t ﹣
700
1.4t
=80， 解得：t=2.1，
经检验，t=2.1是原分式方程的解，且符合题意， ∴1.4t=3.1．
答：A 车行驶的时间为3.1小时，B 车行驶的时间为2.1小时． 【点睛】
本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程. 24．（1）见解析；（2）图见解析；1
4
. 【解析】 【分析】
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【详解】
解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为1
2
．
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（1
2
）2=
1
4
．
25．(1) CF=1；（2）y=22x
x
-
，0≤x≤1；（3）CM=22．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．首先证明四边形AHCD是正方形，求出BC、MC的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=12+（1+y）2，由△EAM∽△EBA，可得AE EM
EB EA
=，推出AE2=EM•EB，
由此构建函数关系式即可解决问题；
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，连接MN，在HB上取一点G，使得HG=DN，连接AG．想办法证明CM=CN，MN=DN+HM即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵CD⊥BC，AD∥BC，
∴∠BCD=∠D=∠AHC=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∵AD=DC=1，
∴四边形AHCD是正方形，
∴AH=CH=CD=1，
∵∠B=45°，
∴AH=BH=1，BC=2，
∵CM=BC=，CM∥AD，
∴=，
∴=，
∴CF=1．
（2）如图1中，在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=12+（1+y）2，
∵∠AEM=∠AEB，∠EAM=∠B，
∴△EAM∽△EBA，
∴=，
∴AE2=EM•EB，
∴1+（1+y）2=（x+y）（y+2），
∴y=，
∵2﹣2x≥0，
∴0≤x≤1．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，连接MN，在HB上取一点G，使得HG=DN，连接AG．
则△ADN≌△AHG，△MAN≌△MAG，
∴MN=MG=HM+GH=HM+DN，
∵△ABM∽△EFN，
∴∠EFN=∠B=45°，
∴CF=CE，
∵四边形AHCD是正方形，
∴CH=CD=AH=AD，EH=DF，∠AHE=∠D=90°，
∴△AHE≌△ADF，
∴∠AEH=∠AFD，
∵∠AEH=∠DAN，∠AFD=∠HAM，
∴∠HAM=∠DAN，
∴△ADN≌△AHM，
∴DN=HM，设DN=HM=x，则MN=2x，CN=CM=x，
∴x+x=1，
∴x=﹣1，
∴CM=2﹣．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.熟练运用平行线分线段成比例定理是解（1）的关键；证明△EAM∽△EBA是解（2）的关键；综合运用全等三角形的判定与性质是解（3）的关键.
263
【解析】
【分析】
先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【详解】
原式＝
3
423131
-
=2323131
-++-
=3
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．
27．(1)见解析;(2)1 3 .
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根据垂径定理得到OF⊥BC，根据余角的性质得到∠OCF=90°，于是得到结论；
（2）过D作DH⊥AB于H，根据三角形的中位线的想知道的OD=1
2
AC，根据平行四边形的性质得到
DF=AC，设OD=x，得到AC=DF=2x，根据射影定理得到CD=2x，求得BD=2x，根据勾股定理得到AD=226
AC CD
+=x，于是得到结论．
【详解】
解：（1）连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠OCB=∠F，
∵D为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CF为⊙O的切线；
（2）过D作DH⊥AB于H，
∵AO=OB，CD=DB，
∴OD=12
AC ， ∵四边形ACFD 是平行四边形，
∴DF=AC ，
设OD=x ，
∴AC=DF=2x ，
∵∠OCF=90°，CD ⊥OF ，
∴CD 2=OD•DF=2x 2，
∴x ，
∴x ，
∴=，
∵OD=x ，x ，
∴，
∴DH=CD BD OB ⋅=x ， ∴sin ∠BAD=
DH AD =13
． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，射影定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．。