新教材高中数学第四章对数函数的图象和性质课后篇巩固提升含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.若函数f (x )=log 2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f (x )的值域为( )
A.[0,1] B .(0,1)
C .(-∞,1]
D .[1,+∞)
0≤x ≤1,∴1≤x+1≤2,∴log 21≤log 2(x+1)≤log 22,即0≤log 2(x+1)≤1,故函数f (x )的值域为[0,1],故选A .
2.已知函数f (x )=log a (x-m )(a>0,且a ≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f (x )在定义域上是( ) A.增函数 B .减函数 C .奇函数 D .偶函数
(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有{0=log a (4-m ),
1=log a (7-m ),解得a=4和m=3,则有f (x )=log 4(x-3).由于定
义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f (x )在定义域上是增函数.
3.已知函数f (x )=log (a-1)(2x+1)在-1
2,0内恒有f (x )>0,则a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B .(0,1) C .(0,2) D .(1,2)
-1
2<x<0,得0<2x+1<1.若f (x )>0恒成立,则0<a-1<1.故1<a<2.
4.已知log a 13
>log b 1
3
>0,则下列关系正确的是( )
A.0<b<a<1 B .0<a<b<1 C .1<b<a D .1<a<b
log a 13
>log b 13
>0,则由对数换底公式可得
-lg3lga
>
-lg3lgb
>0,即
lg3
lga
<
lg3lgb
<0,结合lg3>0可得
lg a<0,lg b<0且lg a>lg b ,因此0<b<a<1.故选A .
5.若函数y=f (x )是函数y=a x (a>0,且a ≠1)的反函数,其图象经过点(√a ,a ),则f (x )=( ) A.log 2x B .lo g 12
x C .1
x D .x 2
y=a x的反函数为y=log a x,又此函数经过点(√a,a),因此log a√a=a,解得a=1
2
,
所以f(x)=lo g1
2
x.
6.已知a=2-1
3,b=log2
1
3
,c=lo g1
2
1
3
,则()
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
0<a=2-1
3<20=1,b=log2
1
3
<log21=0,c=lo g1
2
1
3
>lo g1
2
1
2
=1,∴c>a>b.故选D.
7.(2021江苏南京六校高一期中)已知函数f(x)=log a(a-a x)(a>1),则f(x)的定义域为,值域为.
-∞,1)R
a-a x>0,即a x<a.
因为a>1,所以x<1.
因为a-a x>0,所以f(x)=log a(a-a x)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R.
8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=log a9=2,故a2=9,
解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo g1
3
x.
等级考提升练
9.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=log a x,y=a x,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是()
函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,又函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确,故选ABD .
10.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )
A.先向上平移1个单位长度
B.先向右平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度
D.先向下平移1个单位长度
log 2(x+1)的反函数是y=2x -1,所以将y=2x 先向下平移1个单位长度,得y=2x -1.
11.在同一平面直角坐标系中,函数y=g (x )的图象与y=e x 的图象关于直线y=x 对称,而函数y=f (x )的图象与y=g (x )的图象关于y 轴对称,若f (m )=-1,则m 的值是( ) A.-e B .-1
e
C .e
D .1
e
函数y=g (x )的图象与y=e x 的图象关于直线y=x 对称,∴函数y=g (x )与y=e x 互为反函数,则g (x )=ln x ,又由y=f (x )的图象与y=g (x )的图象关于y 轴对称,则f (x )=ln(-x ).又f (m )=-1,
∴ln(-m )=-1,m=-1
e ,故选B .
12.(多选题)(2020山东滕州一中高一月考)已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1)图象经过点(4,2),则下列命题正确的有( ) A.函数为增函数 B .函数为偶函数 C .若x>1,则f (x )>0 D .若0<x 1<x 2,则f (x 1)+f (x 2)
2
<f
x 1+x 22
2=log a 4,a=2,故f (x )=log 2x.
函数为增函数,故A 正确; f (x )=log 2x 不为偶函数,故B 错误;
当x>1时,f (x )=log 2x>log 21=0成立,故C 正确; 因为f (x )=log 2x 往上凸,故若0<x 1<x 2,则
f (x 1)+f (x 2)
2
<f
x 1+x 22
成立,故D 正确.
13.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,
3x ,x ≤0,直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围
是 .
f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.
14.已知实数a ,b 满足等式log 2a=log 3b ,给出下列五个关系式:
①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能正确的关系式是 .
a ,
b 满足等式log 2a=log 3b ,即y=log 2x 在x=a 处的函数值和y=log 3x 在x=b 处的函数值相等,当a=b=1时,log 2a=log 3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log 2a=log 3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log 2a=log 3b=-1,可得a=1
2,b=1
3,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关系式为②④⑤.
15.(2021安徽黄山高一期末)设f (x )=a x (a>0,且a ≠1),其图象经过点12
,√10,g (x )的图象与f (x )的图象
关于直线y=x 对称.
(1)若f (2m )=4,f (n )=25,求2m+n 的值;
(2)若g (x )在区间[√10,c ]上的值域为[m ,n ],且n-m=3
2,求c 的值.
解(1)因为f (x )=a x
(a>0,且a ≠1)的图象经过点
1
2
,√10,所以√10=a 1
2
,所以a=10,所以f (x )=10x
. 因为f (2m )=4,f (n )=25,所以102m =4,10n =25, 所以102m ·10n =100,
所以102m+n =102,所以2m+n=2.
(2)因为g (x )的图象与f (x )的图象关于直线y=x 对称,所以g (x )=lg x (x>0),且为增函数, 所以g (x )在区间[√10,c ]上的值域为[lg √10,lg c ]=[m ,n ]. 因为n-m=3
2
,所以lg c-lg √10=3
2
,
所以lg c=2,则c=100.
新情境创新练
16.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M. (1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围; (2)若M=R ,求实数a 的取值范围.
由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.
由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,
化简得{2a +2≤0,5a +4>0,解得-4
5<a ≤-1.
所以a 的取值范围为(-4
5,-1]. (2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;
当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a ×a<0,且a>0,即{4-4a 2<0,a >0,化简得{a 2>1,
a >0,解得a>1.
所以a 的取值范围为(1,+∞).。