江西省景德镇二校联考 中考数学二模试卷(含答案)
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江西省景德镇二中、昌河中学联考中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,每题只有一个正确的选项)
1.7的平方根等于()
A.B.49 C.±49 D.±
2.已知一次函数y=kx+b的图象如图,则k、b的符号是()
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
3.小明在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时,发现它的主视图、左视图、俯视图均为如图,则构成该几何体的小立方块的个数可能是()
A.4 B.5 C.6 D.9
4.如图,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()
A.点B到AO的距离为sin54°
B.点B到AO的距离为tan36°
C.点A到OC的距离为sin36°sin54°
D.点A到OC的距离为cos36°sin54°
5.如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=()
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,M是抛物线的顶点,三角形AMB的面积等于1,则下列结论:
①<0 ②ac﹣b+1=0 ③(2﹣b)3=8a2④OA•OB=﹣
其中正确的结论的个数是()
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题
7.计算2.016×109﹣2.015×109结果用科学记数法表示为.
8.因式分解:x3﹣4xy2=.
9.关于x的一元二次方程mx2+(2m﹣1)x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围
是.
10.已知对任意锐角α、β均有:cos(α+β)=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ,则cos75°=.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标
为.
12.如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠ABO=40°,∠BCD=112°,E是AD中点,则∠DOE的度数为.
13.已知哎平面直角坐标系xOy中,过P(1,1)的直线l与x轴、y轴正半轴交于点A,点B,若三角形AOB的面积等于3,直线l的解析式为.
14.如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E是AD中点,P在射线BD上运动,若△BEP为等腰三角形,则线段BP的长度等于.
三、解答题(本大题共4小题,每小题各6分,共24分)
15.先化简,再求值:÷﹣,其中x是不等式组的整数解.
16.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,请分别在边AB,AC上找到点E,F,使四边形PEFQ的周长最小.
17.某市努力改善空气质量,近年来空气质量明显好转,根据该市环境保护局公布的2010﹣202X 这五年各年全年空气质量优良的天数如表所示,根据表中信息回答:
2010 2011 2012 2013 202X
234 233 245 247 256
(1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是,平均数是;
(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比增加最多的是年(填写年份);(3)求这五年的全年空气质量优良天数的方差.
18.在3×3的方格纸中,点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
(1)从A、D、E、F四个点中任意取一点,以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是;
(2)从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率是(用树状图或列表法求解).
四、解答题(本大题共4小题,每小题8分,共32分)
19.某地区202X年投入教育经费1000万元,至三年总计投入教育经费3640万元,假设202X年至该地区投入教育经费的平均增长率相同,根据这个年平均增长率,预计202X年该地区将投入教育经费多少万元?
20.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的纵坐标分别为7和1,直线AB与y轴所夹锐角为60°.(1)求线段AB的长;
(2)求经过A,B两点的反比例函数的解析式.
21.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:点A与C关于直线BD对称.
(2)若∠ADC=90°,求证四边形MPND为正方形.
22.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km,一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km).(参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50,≈1.41,≈2.24)
五、解答题(本大题共1小题,每小题10分,共10分)
23.关于x的二次函数y=x2+(2n+1)x+n,它的图象为抛物线C n,顶点为M n.
(1)求顶点M n的坐标(用含n的代数式表示).
(2)设纵坐标值最大的抛物线顶点为M,该抛物线记为C,(如图)C与x轴的两个交点为A,B,A在B的左侧,C的对称轴l与x轴交于点D,l上是否存在点P使△ADP与△MDO相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)我们知道n取不同的值,二次函数的解析式就不同,图象自然也不同了,是否存在定点T,无论n取什么实数,T都在它的图象上?若存在,求点T坐标;若不存在请说明理由.
六、解答题(本大题共1小题,每小题12分,共12分)
24.如图a,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的⊙O1的圆心为坐标原点,一块直角三角板ABC 的斜边AB在x轴上,A(﹣6,0),B(﹣5,0),∠BAC=30°,该三角板沿x轴正方向以每秒1个长度单位的速度运动,设运动时间为t
(1)当AC边所在直线与⊙O1相切时,求t的值;
(2)当顶点C恰好在⊙O1上时,求t的值;
(3)如图b,⊙O2的圆心为坐标原点,半径为,点T是第一象限内的动点,以T为顶点作矩形TP1QP2,使得点P1、P2在⊙O1上,点Q在⊙O2的内部,直接写出线段OT的取值范围.
江西省景德镇二中、昌河中学联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,每题只有一个正确的选项)
1.7的平方根等于()
A.B.49 C.±49 D.±
【考点】平方根.
【分析】根据平方根的定义,即可解答.
【解答】解:∵=7,
∴7的平方根是±.
故选:D.
【点评】本题考查了平方根,解决本题的关键是熟记正数的平方根有两个.
2.已知一次函数y=kx+b的图象如图,则k、b的符号是()
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】由图可知,一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限,根据一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系作答.
【解答】解:由一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限,
又有k<0时,直线必经过二、四象限,故知k<0,
再由图象过三、四象限,即直线与y轴负半轴相交,所以b<0.
故选D.
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限;k<0时,
直线必经过二、四象限;b>0时,直线与y轴正半轴相交;b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.
3.小明在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时,发现它的主视图、左视图、俯视图均为如图,则构成该几何体的小立方块的个数可能是()
A.4 B.5 C.6 D.9
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
【解答】解:从俯视图发现有4个立方体,从左视图发现第二层最多有2个立方块,
则构成该几何体的小立方块的个数有6个;
故选C
【点评】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案.
4.如图,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()
A.点B到AO的距离为sin54°
B.点B到AO的距离为tan36°
C.点A到OC的距离为sin36°sin54°
D.点A到OC的距离为cos36°sin54°
【考点】解直角三角形;点到直线的距离;平行线的性质.
【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长,过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A 到OC的距离,根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°,即可判断A、B;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°,AO=AB•sin54°,求出AD,即可判断C、D.
【解答】解:
B到AO的距离是指BO的长,
∵AB∥OC,
∴∠BAO=∠AOC=36°,
∵在Rt△BOA中,∠BOA=90°,AB=1,
∴sin36°=,
∴BO=ABsin36°=sin36°,
故A、B选项错误;
过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,
∵∠BAO=36°,∠AOB=90°,
∴∠ABO=54°,
∵sin36°=,
∴AD=AO•sin36°,
∵sin54°=,
∴AO=AB•sin54°,
∵AB=1,
∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°,故C选项正确,D选项错误;
故选:C.
【点评】本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用,解此题的关键是①找出点A到OC 的距离和B到AO的距离,②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式,题目较好,但是一道比较容易出错的题目.
5.如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=()
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】菱形的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2,然后求出△AFN和△AEM相似,再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可.
【解答】解:在菱形ABCD中,∠1=∠2,
又∵ME⊥AD,NF⊥AB,
∴∠AEM=∠AFN=90°,
∴△AFN∽△AEM,
∴=,
即=,
解得AN=4.
故选B.
【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质,相似三角形的判定与性质,关键在于得到△AFN和△AEM相似.
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,M是抛物线的顶点,三角形AMB的面积等于1,则下列结论:
①<0 ②ac﹣b+1=0 ③(2﹣b)3=8a2④OA•OB=﹣
其中正确的结论的个数是()
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线的顶点坐标即可判断①;由OA=OC可得到C点坐标为(0,c),A点坐标为(﹣c,0),把它们代入解析式解得ac﹣b+1=0,即可判断②;由ac﹣b+1=0得出b=ac+1<1,c=,根据三角形面积公式求得(2﹣b)3=8a2,即可判断③;根据交点坐标和系数的关系即可判断④.【解答】解:∵抛物线的顶点在第一象限,
∴>0,
∴<0,所以①正确;
∵OA=OC,
∴C点坐标为(0,c),A点坐标为(﹣c,0),
代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,
∴ac﹣b+1=0,所以②正确;
∵ac﹣b+1=0,
∴ac=b﹣1,b=ac+1<1,
∴c=,
设A(x1,0),B(x2,0),
∵AB=|x1﹣x2|====
∴AB•y M=××=1,
∴×=2,
∴(2﹣b)3=8a2,所以③正确;
∴OA=﹣x1,OB=x2,
∴OA•OB=﹣x1x2=﹣,所以④正确;
故选A.
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
二、填空题
7.计算2.016×109﹣2.015×109结果用科学记数法表示为106.
【考点】因式分解-提公因式法.
【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案.
【解答】解:2.016×109﹣2.015×109
=109×(2.016﹣2.015)
=109×0.001
=106.
故答案为:106.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
8.因式分解:x3﹣4xy2=x(x+2y)(x﹣2y).
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】计算题.
【分析】先提公因式x,再利用平方差公式继续分解因式.
【解答】解:x3﹣4xy2,
=x(x2﹣4y2),
=x(x+2y)(x﹣2y).
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后继续进行二次因式分解是关键,注意分解因式要彻底.
9.关于x的一元二次方程mx2+(2m﹣1)x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是m <且m≠0.
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】由二次项系数不为0,且根的判别式大于0,求出m的范围即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程mx2+(2m﹣1)x+m=0有两个不相等的实数根,
∴m≠0且△=(2m﹣1)2﹣4m×m=﹣4m+1>0,
则m的范围为m<且m≠0.
故答案为:m<且m≠0.
【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
10.已知对任意锐角α、β均有:cos(α+β)=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ,则cos75°=.【考点】特殊角的三角函数值.
【专题】新定义.
【分析】直接利用已知公式将原式变形,进而结合特殊角的三角函数值求出答案.
【解答】解:∵cos(α+β)=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ,
∴cos75°=cos(30°+45°)
=cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°
=×﹣×
=.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确将原式变形是解题关键.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为(1,﹣1).
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【分析】连接AA′,CC′,线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P.【解答】解:连接AA′、CC′,
作线段AA′的垂直平分线MN,作线段CC′的垂直平分线EF,
直线MN和直线EF的交点为P,点P就是旋转中心.
∵直线MN为:x=1,设直线CC′为y=kx+b,由题意:,∴,
∴直线CC′为y=x+,
∵直线EF⊥CC′,经过CC′中点(,),
∴直线EF为y=﹣3x+2,
由得,
∴P(1,﹣1).
故答案为(1,﹣1).
【点评】本题考查旋转的性质,掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心,是解题的关键.
12.如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠ABO=40°,∠BCD=112°,E是AD中点,则∠DOE的度数为62°.
【考点】圆周角定理;垂径定理;圆内接四边形的性质.
【分析】首先连接OA,由等腰三角形的性质与圆的内接四边形的性质,求得∠BAO与∠BAD的度数,则可求得∠DAO的度数,又由垂径定理,即可求得答案.
【解答】解:连接OA,
∵OA=OB,∠ABO=40°,
∴∠OAB=∠ABO=40°,
∵∠BCD=112°,
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=68°,
∴∠OAE=∠BAD﹣∠OAB=28°,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD=28°
∵E是AD中点,
∴OE⊥AD,
∴∠DOE=90°﹣∠ODA=62°.
故答案为:62°.
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
13.已知哎平面直角坐标系xOy中,过P(1,1)的直线l与x轴、y轴正半轴交于点A,点B,若三角形AOB的面积等于3,直线l的解析式为y=(﹣2+)x+3﹣或y=(﹣2﹣)x+3+.【考点】待定系数法求一次函数解析式.
【分析】设直线l的解析式为y=kx+b,得出交点A(0,b),B(﹣,0),把P(1,1)代入得出b=1﹣k,根据三角形面积公式列出关于b、k的方程,进而转化为k的方程,解方程即可求得相似k和b.
【解答】解:设直线l的解析式为y=kx+b,
∵过P(1,1),
∴1=k+b,
∴b=1﹣k,
∵直线l与x轴、y轴正半轴交于点A,点B,若三角形AOB的面积等于3,
∴交点A(0,b),B(﹣,0),
当k>0时,b>0,﹣>0,
∴•b•(﹣)=3,
解得b2=﹣6k,
∴(1﹣k)2+6k=0,
解得k=﹣2+,
∴直线l的解析式为y=(﹣2+)x+3﹣;
当k<0时,b<0,﹣>0,
∴•(﹣b)•(﹣)=3,
解得b2=6k,
∴(1﹣k)2﹣6k=0,
解得k=﹣2﹣,
∴直线l的解析式为y=(﹣2﹣)x+3+;
故答案为y=(﹣2+)x+3﹣或y=(﹣2﹣)x+3+.
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,设出解析式表示出交点坐标以及表示出k与b的关系式是解题的关键.
14.如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E是AD中点,P在射线BD上运动,若△BEP为等腰三角形,则线段BP的长度等于或或.
【考点】勾股定理;矩形的性质.
【专题】动点型;分类讨论.
【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°,AE=DE=1,那么△ABE是等腰直角三角形,BE=AB=.再分三种情况讨论:①BP=BE;②PB=PE;③EB=EP.
【解答】解:∵矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E是AD中点,
∴∠BAD=90°,AE=DE=1,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AB=.
若△BEP为等腰三角形,则分三种情况:
①当BP=BE时,显然BP=;
②当PB=PE时,如图,连结AP.
∵PB=PE,AB=AE,
∴AP垂直平分BE,
∵△ABE是等腰直角三角形,
∴∠BAP=∠EAP=45°.
作PM⊥AB于M,设PM=x,
∵S△ABD=S△ABP+S△APD
∴×1•x+×2•x=×1×2,
解得x=,
∴PM=,
∴BP===;
③当EB=EP时,如图,过A作AF⊥BD于F,过E作EG⊥BD于G.
在Rt△ABF中,AF=AB•sin∠ABF=1×=,
∵AE=ED,EG∥AF,
∴EG=AF=.
在Rt△BEG中,∵BE=,EG=,
∴BG==.
∵EB=EP,EG⊥BP,
∴BP=2BG=.
综上所述,线段BP的长度等于或或.
故答案为或或.
【点评】本题考查了勾股定理的应用,矩形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数的定义等知识,综合性较强,有一定难度.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.
三、解答题(本大题共4小题,每小题各6分,共24分)
15.先化简,再求值:÷﹣,其中x是不等式组的整数解.
【考点】分式的化简求值;一元一次不等式组的整数解.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=•﹣
=﹣
=,
解不等式组得,﹣2≤x≤1,
当x=0时,原式=.
【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
16.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,请分别在边AB,AC上找到点E,F,使四边形PEFQ的周长最小.
【考点】轴对称-最短路线问题.
【分析】根据轴对称图形的作法得出对称点,进而解答即可.
【解答】解:分别作P关于AB,Q关于AC的对称点P'Q',连接P'Q',交AB于E,交AC于F,则E,F即为所求.
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换,熟知轴对称的性质是解答此题的关键.
17.某市努力改善空气质量,近年来空气质量明显好转,根据该市环境保护局公布的2010﹣202X 这五年各年全年空气质量优良的天数如表所示,根据表中信息回答:
2010 2011 2012 2013 202X
234 233 245 247 256
(1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是245,平均数是243;
(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比增加最多的是2012年(填写年份);(3)求这五年的全年空气质量优良天数的方差.
【考点】方差;算术平均数;中位数.
【分析】(1)将数据从小到大重新排列,正中间的数即为中位数,将所有数据相加的和除以5可得平均数;
(2)分别计算每一年的优良天数与它前一年相比增长率可知;
(3)根据(1)中计算的平均数,利用方差公式计算即可.
【解答】解:(1)将这组数据重新排列为:233,234,245,247,256,故中位数为245,
平均数为:(233+234+245+247+256)÷5=243;
(2)2011年优良天数与它前一年相比减少,
2012年优良天数与它前一年相比增长×100%=5.15%,
2013年优良天数与它前一年相比增长×100%=0.82%,
202X年优良天数与它前一年相比增长×100%=3.64%,
故这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比增加最多的是2012年;
(3)这五年的全年空气质量优良天数的方差为:×[(234﹣243)2+(233﹣243)2+(245﹣243)2+(247﹣243)2+(256﹣243)2]=74.
故答案为:(1)245,243;(2)2012.
【点评】本题主要考查数据的中位数、平均数、方差,熟练掌握计算中位数、平均数和方差公式是关键.
18.在3×3的方格纸中,点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
(1)从A、D、E、F四个点中任意取一点,以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是;
(2)从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率是(用树状图或列表法求解).
【考点】列表法与树状图法;等腰三角形的判定;平行四边形的判定.
【分析】(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点,一共有4种可能,只有选取D点时,所画三角形是等腰三角形,即可得出答案;
(2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点,一共有12种可能,进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形,即可求出概率.【解答】解:(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点,一共有4种可能,只有选取D点时,所画三角形是等腰三角形,
故P(所画三角形是等腰三角形)=;
(2)用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果:
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形,
∴所画的四边形是平行四边形的概率P==.
故答案为:(1),(2).
【点评】此题主要考查了利用树状图求概率,根据已知正确列举出所有结果,进而得出概率是解题关键.
四、解答题(本大题共4小题,每小题8分,共32分)
19.某地区202X年投入教育经费1000万元,至三年总计投入教育经费3640万元,假设202X年至该地区投入教育经费的平均增长率相同,根据这个年平均增长率,预计202X年该地区将投入教育经费多少万元?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),202X年要投入教育经费是1000(1+x)万元,在的基础上再增长x,就是的教育经费数额,即可列出方程求解.利用求得的增长率来求202X 年该地区将投入教育经费.
【解答】解:设增长率为x,根据题意可得:1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3640,
化简得:25x2+75x﹣16=0,
解得:(舍去),
所以该地区投入教育经费为,
根据所得的年平均增长率,预计202X年该地区将投入教育经费为1440×1.2=1728万元.
答:202X年该地区将投入教育经费1728万元.
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.
20.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的纵坐标分别为7和1,直线AB与y轴所夹锐角为60°.(1)求线段AB的长;
(2)求经过A,B两点的反比例函数的解析式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥AC,垂足分别为点C,D,根据A、B两点纵坐标求AD,解直角三角形求AB;
(2)根据A点纵坐标设A(m,7),解直角三角形求BD,再表示B点坐标,将A、B两点坐标代入y=中,列方程组求k的值即可.
【解答】解:(1)分别过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥AC,垂足分别为点C,D,
由题意,知∠BAC=60°,AD=7﹣1=6,
∴AB===12;
(2)设过A,B两点的反比例函数解析式为y=(k≠0),A点坐标为(m,7)
∵BD=AD•tan60°=6,
∴B点坐标为(m+6,1),
∴,
解得k=7,
∴所求反比例函数的解析式为y=.
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用.关键是明确点的坐标与直角三角形的三边关系,反比例函数图象上点的坐标特点.
21.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:点A与C关于直线BD对称.
(2)若∠ADC=90°,求证四边形MPND为正方形.
【考点】正方形的判定;轴对称的性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD,然后在△ABD和△CBD中,根据SAS 证明两个三角形全等,进而得到∠ADB=∠CDB,AD=CD,根据等腰三角形的性质可得BD垂直平分AC,进而可得点A与C关于直线BD对称;
(2)首先证明四边形PMDN是矩形,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN,进而可得四边形MPND为正方形.
【解答】证明:(1)连接AC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,DA=DC,
∴BD垂直平分AC,
∴点A与C关于直线BD对称;
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形PMDN是矩形,
∵∠ADB=∠CDB,
∴BD平分∠ADC,
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN,
∴四边形MPND为正方形.
【点评】此题主要考查了正方形的判定,以及等腰三角形的性质,关键是掌握等腰三角形三线合一,邻边相等的矩形是正方形.
22.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km,一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km).(参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50,≈1.41,≈2.24)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】根据在Rt△ADB中,sin∠DAB=,得出AB的长,进而得出tan∠BAH=,求出BH 的长,即可得出AH以及CH的长,进而得出答案.
【解答】解:
在Rt△ADB中,sin∠DAB=,sin53.2°≈0.8,
所以AB==20,
如图,过B作BD⊥AD于点D,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于H,
在Rt△AHB中,∠BAH=∠DAC﹣∠DAB=79.8°﹣53.2°=26.6°,
tan∠BAH=,
∵tan26.6°≈0.50,
∴0.5=,
AH=2BH,
BH2+AH2=AB2,BH2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8,
∵货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后达到C处,
∴BC=40×=10km,
∴CH===2(km)
在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,CH=2km,
所以AC=AH﹣CH=8﹣2=6≈13.4km,
答:此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km.
【点评】此题主要考查了解直角三角形中方向角问题,根据已知构造直角三角形得出BH的长是解题关键.
五、解答题(本大题共1小题,每小题10分,共10分)
23.关于x的二次函数y=x2+(2n+1)x+n,它的图象为抛物线C n,顶点为M n.
(1)求顶点M n的坐标(用含n的代数式表示).
(2)设纵坐标值最大的抛物线顶点为M,该抛物线记为C,(如图)C与x轴的两个交点为A,B,A在B的左侧,C的对称轴l与x轴交于点D,l上是否存在点P使△ADP与△MDO相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)我们知道n取不同的值,二次函数的解析式就不同,图象自然也不同了,是否存在定点T,无论n取什么实数,T都在它的图象上?若存在,求点T坐标;若不存在请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式,即可求解;
(2)先根据题意确定n的值,求出点A,M,D的坐标,根据相似分类讨论即可求出符合条件的点P坐标;
(3)由题意分析,“与n的值无关”即解析式中n的系数为0,即可求解.
【解答】解:(1)y=x2+(2n+1)x+n=+,
∴M n(,);
(2)如图1,
当n=0时,的值最大,此时=﹣,
此时抛物线的解析式为:y=x2+x,
令y=0,解得:x=0,或x=﹣1,
∴点A(﹣1,0),B(0,0),
易求抛物线的对称轴l:x=,点M(,﹣),
此时,DM=,DO=,AD=,
当△ADP与△MDO相似时,
,
解得:DP=1,
此时,P2(,1),P3(,﹣1);
当△ADP与△ODM相似时,
,
解得:DP=,
此时,P1(,),P4(,﹣);
综上所述:满足条件的点P的坐标为:
P2(,1),P3(,﹣1),P1(,),P4(,﹣);
(3)由y=x2+(2n+1)x+n,
整理得:(2x+1)n+x2+x﹣y=0,
由题意,2x+1=0,且x2+x﹣y=0,
解得:x=,y=﹣;
将x=,y=﹣代入抛物线解析式恒成立,
所以符合条件的点T存在,其坐标为:T(,﹣).
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题,会把抛物线配方为顶点式,会根据相似三角形的性质分类解决点的存在性问题,知道抛物线恒过某一点的条件是解题的关键.
六、解答题(本大题共1小题,每小题12分,共12分)
24.如图a,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的⊙O1的圆心为坐标原点,一块直角三角板ABC 的斜边AB在x轴上,A(﹣6,0),B(﹣5,0),∠BAC=30°,该三角板沿x轴正方向以每秒1个长度单位的速度运动,设运动时间为t
(1)当AC边所在直线与⊙O1相切时,求t的值;
(2)当顶点C恰好在⊙O1上时,求t的值;
(3)如图b,⊙O2的圆心为坐标原点,半径为,点T是第一象限内的动点,以T为顶点作矩形TP1QP2,使得点P1、P2在⊙O1上,点Q在⊙O2的内部,直接写出线段OT的取值范围.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)画出图形求出点A运动的路程即可.
(2)有两种情形,画出图形求出点A运动的路程即可.
(3)如图4中,当P1Q与⊙O2相切于点Q时,连接OP1,求出OT,如图5中,当Q与O重合时,四边形OP2TP1是正方形,求出此时是OT,由此即可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,直线AC与⊙O相切于点T,
在RT△AOT中,∵∠ATO=90°,OT=1,∠TAO=30°,
∴AO=2OT=2,
∴t=6﹣2=4秒.
(2)①如图2中,连接CO,作CM⊥OA垂足为M.
∵在RT△ABC中,AB=1,∠CAB=30°,
∴BC=,AC=,
∵•AB•CM=•AC•CB,
∴CM==,AM=,
在RT△COM中,OM===,
∴AO=AM+OM=+,
∴t=6﹣(+)=.
②如图3中,由①可知,OA=OM﹣AM=﹣,
∴t=6+(﹣).
综上所述t=时,点C在⊙上.
(3)如图4中,当P1Q与⊙O2相切于点Q时,连接OP1,∵∠OQP1=∠OP2T=90°,
∴O、Q、P2共线,
在RT△OQP1中,QP1==,
∵四边形TP1QP2是矩形,
∴P2T=P1Q=,
优质资料
在RT△OP2T中,OT==,
如图5中,当Q与O重合时,四边形OP2TP1是正方形,此时OT=,
综上所述,当点Q在⊙O2的内部时,≤OT <.
【点评】本题考查圆的有关性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确画出图形,第三个问题需要找到两个特殊位置确定OT的取值范围,注意点Q在⊙O2内部这个条件,属于中考压轴题.
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