2019届一轮复习人教A版 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布10.6 课件
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第十章 第一章
集合与常用逻辑用语 计数原理、概率、随机变量及其分布
10．6 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量 来表示， 那么这样的变量叫做____________， 随机变量常用字母 X， Y， ξ ，η 等表示． (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A．0.28 C．0.79 B．0.88 D．0.51
解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22 ＝0.79.故选 C.
在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中 任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便 4 6 C7C8 的村庄数，下列概率中等于 10 的是( ) C15 A．P(X＝2) C．P(X＝4) B．P(X≤2) D．P(X≤4)
解：依题意，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2. 1 C2 C1 2 3C2 则 P(X＝0)＝ 2＝0.1，P(X＝1)＝ 2 ＝0.6， C5 C5 C2 3 P(X＝2)＝ 2＝0.3，故 X 的分布列为 C5 X P 故填 X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 0 0.1 1 0.6 2 0.3
类型一
随机变量的概念与性质
(1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求：(Ⅰ)2X＋1 的分布列； (Ⅱ)|X－1|的分布列．
解：由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得 m＝0.3，则 X 2X＋1 |X－1| 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3
1 1 1 解：由分布列的性质，a＝1－ － ＝ ， 2 6 3 1 1 1 1 所以 E(X)＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ ， 2 6 3 6 2 2 因此 E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝ .故填 . 3 3
从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其 中有 X 个红球，则随机变量 X 的概率分布列为________．
3．常用的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布(又称 0－1 分布、伯努利分布) 随机变量 X 的分布列为(0<p<1) X P 1 p 0
则称 X 服从两点分布，并称 p＝P(X＝1)为成功概率． (2)二项分布 如果随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，„，n，且 X 取值的概率 P(X＝k)＝__________(其中 k＝0，1，2，„，n，q＝1－p)，其概率分布为 X P 0
【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解 所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应 的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基 础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0， i＝1，2，„，n；pi＝1.③随机变量可能取某一区间内
i＝1 n
任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型 随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布 即是一种重要的连续型随机变量的分布．
自查自纠
1．(1)随机变量 2．(1)概率分布列 (2)①pi≥0，i＝1，2，3，„，n ② pi＝1
i＝1 k n k k k n 3．(1)1－p (2)Ck p q C n np q n－k Ck C M N －M (3) 超几何分布 n CN
－ －k
(2)一一列出
n
X～B(n，p)
某射手射击所得环数 X 的分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 ) 10 0.22
0 0 n Cn pq
1
1 1 n Cn pq
－1
Hale Waihona Puke „ „k„ „n
n n 0 Cn pq
则称 X 服从二项分布，记为____________． (3)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率 为__________________(k＝0，1，2，„，m)，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N ∈N*.此时称随机变量 X 的分布列为超几何分布列，称随机变量 X 服从______________．
解：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c. 1 2 又 a＋b＋c＝1，所以 b＝ ，所以 P(|ξ|＝1)＝a＋c＝ . 3 3 1 1 1 2 又 a＝ －d， c＝ ＋d， 根据分布列的性质， 得 0≤ －d≤ ， 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 1 0≤ ＋d≤ ，所以－ ≤d≤ .故填 ； －3，3 . 3 3 3 3 3
k 10－k C7C8 P(X＝k)＝ ，故 C10 15
解：X 服从超几何分布 故选 C.
k＝4.
随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1，2，3，„， 10， 且 P(ξ＝k)＝ak(k＝1， 2， „， 10)， 则 a 的值为( 1 1 A. B. C．110 D．55 110 55 )
解： 因为随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1， 2， 3， „， 10，且 P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，„，10)，所以 a＋2a＋3a 1 ＋„＋10a＝1，则 55a＝1，即 a＝ .故选 B. 55
从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X＋1 的分布列： 2X＋1 P |X－1| P 1 0.2 0 0.1 3 0.1 1 0.3 5 0.1 2 0.3 7 0.3 3 0.3 9 0.3
(Ⅱ)|X－1|的分布列：
(2)随机变量 ξ 的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c
其中 a， b， c 成等差数列， 则 P(|ξ|＝1)＝____________， 公差 d 的取值范围是____________．
设随机变量 X 等可能取值 1， 2， 3， „， n， 如果 P(X<4)＝0.3，那么 n＝________．
集合与常用逻辑用语 计数原理、概率、随机变量及其分布
10．6 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量 来表示， 那么这样的变量叫做____________， 随机变量常用字母 X， Y， ξ ，η 等表示． (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A．0.28 C．0.79 B．0.88 D．0.51
解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22 ＝0.79.故选 C.
在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中 任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便 4 6 C7C8 的村庄数，下列概率中等于 10 的是( ) C15 A．P(X＝2) C．P(X＝4) B．P(X≤2) D．P(X≤4)
解：依题意，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2. 1 C2 C1 2 3C2 则 P(X＝0)＝ 2＝0.1，P(X＝1)＝ 2 ＝0.6， C5 C5 C2 3 P(X＝2)＝ 2＝0.3，故 X 的分布列为 C5 X P 故填 X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 0 0.1 1 0.6 2 0.3
类型一
随机变量的概念与性质
(1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求：(Ⅰ)2X＋1 的分布列； (Ⅱ)|X－1|的分布列．
解：由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得 m＝0.3，则 X 2X＋1 |X－1| 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3
1 1 1 解：由分布列的性质，a＝1－ － ＝ ， 2 6 3 1 1 1 1 所以 E(X)＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ ， 2 6 3 6 2 2 因此 E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝ .故填 . 3 3
从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其 中有 X 个红球，则随机变量 X 的概率分布列为________．
3．常用的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布(又称 0－1 分布、伯努利分布) 随机变量 X 的分布列为(0<p<1) X P 1 p 0
则称 X 服从两点分布，并称 p＝P(X＝1)为成功概率． (2)二项分布 如果随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，„，n，且 X 取值的概率 P(X＝k)＝__________(其中 k＝0，1，2，„，n，q＝1－p)，其概率分布为 X P 0
【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解 所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应 的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基 础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0， i＝1，2，„，n；pi＝1.③随机变量可能取某一区间内
i＝1 n
任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型 随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布 即是一种重要的连续型随机变量的分布．
自查自纠
1．(1)随机变量 2．(1)概率分布列 (2)①pi≥0，i＝1，2，3，„，n ② pi＝1
i＝1 k n k k k n 3．(1)1－p (2)Ck p q C n np q n－k Ck C M N －M (3) 超几何分布 n CN
－ －k
(2)一一列出
n
X～B(n，p)
某射手射击所得环数 X 的分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 ) 10 0.22
0 0 n Cn pq
1
1 1 n Cn pq
－1
Hale Waihona Puke „ „k„ „n
n n 0 Cn pq
则称 X 服从二项分布，记为____________． (3)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率 为__________________(k＝0，1，2，„，m)，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N ∈N*.此时称随机变量 X 的分布列为超几何分布列，称随机变量 X 服从______________．
解：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c. 1 2 又 a＋b＋c＝1，所以 b＝ ，所以 P(|ξ|＝1)＝a＋c＝ . 3 3 1 1 1 2 又 a＝ －d， c＝ ＋d， 根据分布列的性质， 得 0≤ －d≤ ， 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 1 0≤ ＋d≤ ，所以－ ≤d≤ .故填 ； －3，3 . 3 3 3 3 3
k 10－k C7C8 P(X＝k)＝ ，故 C10 15
解：X 服从超几何分布 故选 C.
k＝4.
随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1，2，3，„， 10， 且 P(ξ＝k)＝ak(k＝1， 2， „， 10)， 则 a 的值为( 1 1 A. B. C．110 D．55 110 55 )
解： 因为随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1， 2， 3， „， 10，且 P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，„，10)，所以 a＋2a＋3a 1 ＋„＋10a＝1，则 55a＝1，即 a＝ .故选 B. 55
从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X＋1 的分布列： 2X＋1 P |X－1| P 1 0.2 0 0.1 3 0.1 1 0.3 5 0.1 2 0.3 7 0.3 3 0.3 9 0.3
(Ⅱ)|X－1|的分布列：
(2)随机变量 ξ 的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c
其中 a， b， c 成等差数列， 则 P(|ξ|＝1)＝____________， 公差 d 的取值范围是____________．
设随机变量 X 等可能取值 1， 2， 3， „， n， 如果 P(X<4)＝0.3，那么 n＝________．