高中数学2.2.1 椭圆及其标准方程学案(1)新人教A版选修2-1

高 二 年级 数学 学科第 1周第 1 课时教学要点
=课题: 选修2-1 §2.2.1椭圆及其标准方程 主备人:_
一． 学习目标：
1.理解并掌握椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导方法；
2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程；
3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.
二、教学重点与难点
重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用 三、教学过程分析
1、椭圆定义的理解
椭圆定义中，平面内动点与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在. 2、椭圆的标准方程
对于两种标准方程对应的图形是全等图形，要注意焦点位置确定的讨论. 3、典型例题
例1、（1）求椭圆14222=+y x 的焦距与焦点坐标；（2）求焦点为)0,3(),0,3(21F F -，且过点)5
16
,
3(-的椭圆的标准方程. [分析]先把方程化为标准型方程再求解,(1))0,21(),0,21(,1221F F c -=;(2)
116
252
2=+y x . 例2、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，21,F F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，
θ=∠21PF F 求证：θ=∆21PF F 的面积2
tan 2θ
b S =.
[分析]方法：应用椭圆的定义与余弦定理、面积公式.
例3、已知动圆P 过定点A (-3,0)，并且在定圆B : (x -3)2+y 2=64的内部与其相切，求动圆圆心P 的轨迹方程.
[分析]应用定义法求得:
.17
162
2=+y x 例4、在ABC ∆中，BC =24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39，求ABC ∆的重心的轨迹
方程。

［剖析］：有一定长线段BC ，两边上的中线长也均与定点B 、C 和ABC ∆的重心有关，因此需考虑以BC 的中点为坐标原点建立直角坐标系。

但需注意点A 不能在BC 的所在的直线上。

[分析]如图所示，以线段BC 所在直线为x 轴、线段BC 的中垂线为y
轴建立直角坐标系。

设M 为ABC ∆的重心，BD 是AC 边上的中线，CE 是AB 边上的中线，由重心的性质知||32||BD BM =
，||3
2
||CE CM =，于是=+||||MC MB ||32BD ||32CE +=|(|32BD |)|CE +=26393
2
=⨯.
根据椭圆的定义知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆.
=a 2 =+||||MC MB 26，13=∴a ，又24||2==BC c ，12=∴c ，
2512132
2
2
2
2
=-=-=∴c a b ，故所求的椭圆方程为
)0(125
1692
2≠=+y y x . [注] 在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为
)0(1251692
2≠=+y y x ，应考虑若0=y 时，A 、B 、C 三点在同一条直线上，不可能构成三角形，所以应将0=y 去掉。

另外，平面内一动点与两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ，
当2a ＞| F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=| F 1F 2|时动点的轨迹是线段F 1F 2；当2a<| F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。

高二年级（上）数学学科一课一练（1）
选修2-1第二章§2.2.1椭圆及其标准方程（1） 命题人：黄洋隆
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题：（6分⨯4） 1.椭圆3222=+y x 的焦距为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.6
2.若椭圆132
22=+m y m
x 的焦距为4，则m = ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3.焦点为(0,-1)，(0,1)的椭圆方程可以是 ( ) A.11
2
22
2=++
a y a
x B.
11
2
22
2=+
+a
y a x C.
11
2
22
2=-+
a y a
x D.
112
22
2=+
-a
y a
x
4.椭圆125
22
=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题（8分⨯5）
5.如果方程162
22=++
a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是__________. 6.已知21,F F 为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若12||||22=+B F A F ，则.____||=AB .
7.椭圆124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点21,F F 的连线互相垂直，则21F PF ∆的面积__. 8.椭圆12
92
2=+y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若,4||1=PF 则_____,||2=PF .____21=∠PF F
9.已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数166)(2--=x x x f 的零点，则椭圆的标准方程为__________________________________. 三、解答题（共3题，每题12分，共36分）
10.线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，|AB |=5，点M 是线段AB 上一点，
且|AM |=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.
11.已知圆B ：16)1(22=++y x 的圆心为点B ，又有定点C A ),0,1(为圆B 上任意一点，求
AC 的垂直平分线与线段CB 的交点P 的轨迹方程.
12.已知椭圆C 与椭圆373722=+y x 的焦点21,F F 相同，且椭圆C 过点)6,2
7
5(-. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若C P ∈，且3
21π
=∠PF F ，求21PF F ∆的面积.
参考简答:
1. D.
2. D.
3. A.
4. D.
5. 3>a 或26-<<-a .
6. 8
7. 24
8. 2, ︒120
9.
19
25,19252
222=+=+x y y x 10. 1492
2=+y x 11. 13
42
2=+y x 12. 3
364,
16410022=+y x。