教育最新K122018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：3.2.1 第1课时 对数函数的图象及性质

3.2.2 对数函数
第1课时 对数函数的图象及性质
[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质
.
[知识链接]
1.作函数图象的步骤为列表、描点、连线.另外也可以采取图象变换法.
2.指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象与性质.
[1.对数函数的概念
把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
3.对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数.
要点一 对数函数的概念
例1 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1
解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数. (3)自变量在底数位置上，不是对数函数. (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数.
规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件 (1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x .
跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A.y ＝log 2x
B.y ＝2log 4x
C.y ＝log 2x 或y ＝2log 4x
D.不确定
答案 A
解析 设对数函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2， ∴a 2＝4，∴a ＝2，
∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x . 要点二 对数函数的图象
例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，3
5，
1
10
，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( ) A.3、43、35、1
10
B.3、43、110、3
5
C.43、3、35、110
D.43、3、110、35 答案 A
解析 方法一 观察在(1，＋∞)上的图象，先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图象靠近x 轴的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、4
3.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，
当x ＜1时图象靠近x 轴的底小，c 3、c 4对应的a 分别为35、1
10.综合以上分析，可得c 1、c 2、
c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、1
10
.故选A.
方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、1
10
，故选A.
规律方法 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响.
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象越靠近x 轴，0＜a ＜1时a 越小，图象越靠近x 轴.
(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(－2,1)
D.(－1,1)
(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( ) A.0＜a ＜b ＜1 B.0＜b ＜a ＜1 C.a ＞b ＞1 D.b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B
解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，
故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1).
(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三 对数函数的定义域
例3 (1)函数f (x )＝1
1－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )
A.(－∞，－1)
B.(1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞)
D.(－∞，＋∞)
(2)若f (x )＝1
log 2
1(2x ＋1)
，则f (x )的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 B.⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－1
2，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 答案 (1)C (2)C
解析 (1)由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x ＞0，
1－x ≠0，
解得x ＞－1且x ≠1.
(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1＞0，
2x ＋1≠1，
解得x ＞－1
2
且x ≠0.
规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数
大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] (2)函数y ＝lg (x ＋1)
x －1的定义域是( )
A.(－1，＋∞)
B.[－1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞)
D.[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.
(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＞0，x －1≠0，
解得x ＞－1且x ≠1，
故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.
1.下列函数是对数函数的是( ) A.y ＝log a (2x ) B.y ＝log 22x C.y ＝log 2x ＋1 D.y ＝lg x
答案 D
解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合. 2.函数f (x )＝
1
1－x
＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.(－1
3，＋∞)
B.(－∞，－1
3)
C.(－13，13)
D.(－1
3，1)
答案 D
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－1
3
＜x ＜1.
3.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
答案 A
解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，y ＝－log a x 为增函数，排除D 项，故A 项正确.
4.若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________. 答案 (2,1)
解析 函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0， ∴x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1). 5.比较下列各组数的大小： (1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 3
14________0.
答案 (1)＜ (2)＜ (3)＜
解析 (1)底数相同，y ＝log 2x 是增函数， 所以log 22＜log 2 3. (2)log 32＜log 33＝1. (3)log 3
14＜log 3
11＝0.
1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a＞0且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.。