广西桂林市奎光学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

广西桂林市奎光学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学综合测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）一组数据11、12、15、12、11，下列说法正确的是（）A ．中位数是15B ．众数是12C ．中位数是11、12D ．众数是11、122、（4分）一天李师傅骑车上班途中因车发生故除，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（）A ．李师傅上班处距他家200米B ．李师傅路上耗时20分钟C ．修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍D ．李师傅修车用了5分钟3、（4分）甲、乙两班分别由10名选手参加健美比赛，两班参赛选手身高的方差分别是S 甲
2=1.5，S 乙2
=2.5，则下列说法正确的是（）
A ．甲班选手比乙班选手的身高整齐
B ．乙班选手比甲班选手的身高整齐
C ．甲、乙两班选手的身高一样整齐
D ．无法确定哪班选手的身高整齐
4、（4分）一次函数与图象如图：则下列结论①k<0;②a>0;③不等式x+a<kx+b 的解集是x<3;④a −b=3k −3中,正确的个数是()
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个5、（4分）已知点M 的坐标为（3，﹣4），则与点M 关于x 轴和y 轴对称的M 1、M 2的坐标分别是（）A ．（3，4），（3，﹣4）B ．（﹣3，﹣4），（3，4）C ．（3，﹣4），（﹣3，﹣4）D ．（3，4），（﹣3，﹣4）6、（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字14，12，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b ．若a ，b 能使关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（）A ．23B ．59C ．49D ．137、（4分）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s （m ）关于时间t （min ）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（）A B C D
8、（4分）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－3x －2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到直线l 2，则直线l 2的解析式为()
A ．y ＝－3x －9
B ．y ＝－3x －2
C ．y ＝－3x ＋2
D ．y ＝－3x ＋9
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）把我们平时使用的一副三角板，如图叠放在一起，则∠α的度数是___度．10、（4分）把抛物线2531y x x =-+沿y 轴向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为______.11、（4分）将一个有80个数据的一组数分成四组，绘出频数分布直方图，已知各小长方形的高的比为3:4:2:1，则第二小组的频数为______.12、（4分）如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PD ＝3cm ，则PC 的长为_____cm ．13、（4分）如图，点A 在双曲线1y=x 上，点B 在双曲线3y=x 上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在直角坐标系中，直线l 1经过（2，3）和（-1，-3）：直线l 2经过原点O，且
与直线l 1交于点P（-2，a）.
（1）求a 的值；
（2）（-2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？
15、（8分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 分别交射线AD 与射线CB 于点E 和点F ，联结CE 、AF ．
学校_____________
__
_班级__
___
__
__
___姓名_
__
__
_____
__考场_
_____
___
__
_准考证号…
…
…
……
…
…
…
……
密…
…
…
…
封…
……
…
线
…
…
…
…内
…
…
…
…不
…
…
…
…
要
……
……
答
…
…
…
…
题
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）当点E 、F 分别在边AD 和BC 上时，如果设AD ＝x ，菱形AFCE 的面积是y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ODE 是等腰三角形，求AD 的长度．16、（8分）计算化简(1)0111()()5232-+--(2)221()a b a b a b b a -÷-+-17、（10分）（1）计算：32722-⨯（2）解方程：260x x +=.18、（10分）如图所示，直线334y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点,A B ．点C 是y 轴负半轴上一点，.
BA BC =（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）求经过点A 和C 的一次函数的解析式．
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）外角和与内角和相等的平面多边形是_______________．20、（4分）函数y=kx+b 的图象平行于直线y=-2x ，且与y 轴交于点（0，3），则k=______，b=____.21、（4分）不等式组123122x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的所有整数解的积是___________．22、（4分）如图，矩形ABCD 中，1, 2AB CB ==,连接AC ,以对角线AC 为边按逆时针方向作矩形11ACC
B ，使矩形11AC
C B 矩形ADCB ；再连接AC ,
以对角线1AC 为边，按逆时针方向作矩形，使矩形22ACC B 矩形11ACC B ,..按照此规律作下去，若矩形ABCD 的面积记作1S ,矩形11ACC B 的面积记作2S ,矩形22ACC B 的面积记作3S ,...则2019S 的值为__________．23、（4分）如图P (3,4)是直角坐标系中一点，则P 到原点的距离是________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 和CD 于点P ，Q ．
（1）求证：△ABP ∽△DQR ；（2）求BP QR 的值．25、（10分）先化简24
43111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，然后从22x -≤≤中选择所有合适的整数作为x 的值分别代入求值．26、（12分）解不等式组，并将不等式组的解集在下面的数轴上表示出来：27521142
x x x x -<-⎧⎪⎨--≤⎪⎩．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据中位数、众数的概念求解．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：11、11、1、1、15，则中位数是1，众数是11、1．故选D ．本题考查了中位数、众数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．2、A 【解析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断．【详解】A ．李师傅上班处距他家2000米，此选项错误；B ．李师傅路上耗时20分钟，此选项正确；C ．修车后李师傅骑车速度是=200米/分钟，修车前速度为=100米/分钟，∴修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍，此选项正确；D ．李师傅修车用了5分钟，此选项正确．故选A ．本题考查了学生从图象中读取信息的能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分
析各图象的变化趋势．
3、A
【解析】
∵2S 甲=1.5，2
S 乙=2.5，
∴2S 甲＜2
S 乙，
故选A．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4、C
【解析】
根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用两函数图象的位置对③进行判断，联立方程解答即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，
∴k<0，所以①正确；
∵一次函数y=x+a的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴a<0，所以②错误；
∵x<3时,一次函数y=kx+b的图象都在函数y=x+a的图象下方，
∴不等式kx+b<x+a的解集为x<3，所以③正确。

∵a=y−x，b=y−kx，
∴a−b=3k−3，正确；
故选C
本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题关键.
5、D
【解析】
直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出答案．
【详解】
∵点M的坐标为（3，﹣4），∴与点M关于x轴和y轴对称的M1、M2的坐标分别是：（3，4），（﹣3，﹣4）．
故选D．
本题考查了关于x，y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题的关键．
6、C 【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率.【详解】（1）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数， 乙获胜的概率为49，故选C ．本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
7、C 【解析】试题分析：由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S 是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S 变化也加快变小，由此即可作出选择．解：因为开始以正常速度匀速行驶,所以s 随着t 的增加而增加,随后由于故障修车,此时s 不发生改变,再之后加快速度匀驶，s 随着t 的增加而增加,综上可得S 先缓慢增加，再不变，再
加速增加．
故选：C ．
考点：函数的图象．
8、B
【解析】
根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答.
【详解】直线y=-3x-1的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的直线的解析式是：y=-3（x+1）-1+3=-3x-1，即y=-3x-1．故选B ．本题考查了一次函数图象的平移规律，熟练运用一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解决问题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、105【解析】根据三角板上的特殊角度，外角与内角的关系解答．【详解】根据三角板角度的特殊性可知∠AEB=45°,∠B=60°，∵∠α是△BDE 的外角，∴∠α=∠AEB+∠B=45°+60°=105°故答案为：105.此题考查三角形的外角性质，解题关键在于掌握其性质定义和三角板的特殊角.10、2532y x x =-+【解析】抛物线图像向上平移一个单位，即纵坐标减1，然后整理即可完成解答.
【详解】
解：由题意得：21531y x x -=-+，即2532
y x x =-+本题主要考查了函数图像的平移规律，即“左右横,上下纵,正减负加”的理解和应用是解题的关键.
11、2
【解析】各小长方形的高的比为3：3：2：3，就是各组频率的比，也是频数的比，根据一组数据中，各组的频率和等于3；各组的频数和等于总数，即可求解．【详解】∵各小长方形的高的比为3：3：2：3，∴第二小组的频率=3÷（3+3+2+3）=0.3．∵有80个数据，∴第二小组的频数=80×0.3=2．故答案为：2.本题是对频率、频数意义的综合考查．注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于3．12、1【解析】如图，作PH ⊥OB 于H ．由角平分线的性质定理推出PH ＝PD ＝3cm ，再证明∠PCH ＝30°即可解决问题．【详解】解：如图，作PH ⊥OB 于H ．∵∠POA ＝∠POB ，PH ⊥OB ，PD ⊥OA ，∴PH ＝PD ＝3cm ，∵PC ∥OA ，
∴∠POA ＝∠CPO ＝15°，
∴∠PCH ＝∠COP +∠CPO ＝30°，
∵∠PHC ＝90°，
∴PC ＝2PH ＝1cm ．
故答案为1．
本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度
角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13、2【解析】如图，过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ，∵点A 在双曲线1y=x 上，∴四边形AEOD 的面积为1∵点B 在双曲线3y=x 上，且AB ∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3－1＝2三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）a=-5;（2）可以看作二元一次方程组212.5y x y x =-⎧⎨=⎩的解.【解析】（1）首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后直接把P 点坐标代入可求出a 的值；（2）利用待定系数法确定l 2得解析式，由于P （-2，a ）是l 1与l 2的交点，所以点（-2，-5）可以看作是解二元一次方程组212.5y x y x =-⎧⎨=⎩所得．【详解】.解：（1）设直线1l 的解析式为y=kx+b ，将（2，3），（-1，-3）代入，23
3k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得2
1k b =⎧⎨=-⎩，所以y=2x-1.
将x=-2代入，得到a=-5；
（2）由（1）知点（-2，-5）是直线1l 与直线2l 交点，则2l ：y=2.5x ；
因此（-2，a ）可以看作二元一次方程组21
2.5y x y x =-⎧⎨=⎩的解.
故答案为：（1）a=-5;（2）可以看作二元一次方程组
21
2.5
y x
y x
=-
⎧
⎨
=
⎩
的解.
本题综合考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与二元一次方程组．
15、（1）见解析；（2）
2
1(1)
2
x
y x
x
+
=≥；（
3）AD或
3.
【解析】
（1）由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，∵OB=OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可．
（2）由cos∠DAC=
AD OA
AC AE
=，求出AE即可解决问题；
（3）分两种情形分别讨论求解即可.
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
EDO FBO
OD OB
EOD BOF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△DOE≌△BOF，
∴EO＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．（2）由题意可知：AC =，1OA OC 2==，∵AD OA cos DAC AC AE ∠==，∴21x AE 2x +=，∴21x y AE CD 2x +=⋅=，∵AE≤AD ，∴212x x x + ，∴x 2≥1，∵x ＞0，∴x≥1．即21x y 2x +=（x≥1）．（3）①如图2中，当点E 在线段AD 上时，ED ＝EO ，则Rt △CED ≌Rt △CEO ，
∴CD ＝CO ＝AO ＝1，
在Rt △ADC 中，AD ＝==如图3中，当的E 在线段AD 的延长线上时，DE ＝DO ，
∵DE ＝DO ＝OC ，EC ＝CE ，∴Rt △ECD ≌Rt △CEO ，∴CD ＝EO ，∵∠DAC ＝∠EAO ，∠ADC ＝∠AOE ＝90°，∴△ADC ≌△AOE ，∴AE ＝AC ，∵EO 垂直平分线段AC ，∴EA ＝EC ，∴EA ＝EC ＝AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AD ＝CD•tan30°＝3，综上所述，满足条件的AD 或3．本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题．
16、（1）6（2）1
a b
-+【解析】
(1)原式第一项利用零指数公式化简,第二项利用负指数公式化简,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分即可得到结果.
【详解】(2)原式=()()()a a b a b a b a b b ----⋅+-=1()()b a b a b a b b a b --⋅=-+-+本题考查了分式的混合运算,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时,分式的分子分母出现多项式,应将多项式分解因式后再约分.17、（1）（2）x 1＝0，x 2＝﹣1．【解析】（1）先算乘法，根据二次根式化简，再合并同类二次根式即可；（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）原式＝（2）x 2+1x ＝0，x （x+1）＝0，x ＝0，x+1＝0，x 1＝0，x 2＝﹣1．本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，能正确运用运算法则进行化简是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．18、（1）A 点坐标为()4,0，B 点坐标为()0,3；（2）122y x =-【解析】（1）分别令y=0和x=0即可求出A ，B 两点坐标；
（2）根据等腰三角形的性质得出点C 的坐标，再利用待定系数法求出直线AC 的解析式即可．
【详解】
（1）由图可知:A 点纵坐标为0，将0y =代人3
34y x =-+，得4x =，
所以A 点坐标为()
4,0
B 点横坐标为0，将0x =代入23y x =-+得3y =，所以B 点坐标为()0,3；（2）∵A （4，0），B （0，3）∴AO=4，BO=3，∴5BA ===,BA B
C =5,BC ∴=532OC BC BO =-=-=C ∴点坐标为()0,2-设过点,A C 的一次函数的解析式为y kx b =+，将A（4，0），C（0，-2）分别代入y kx b =+，得，402k b b +=⎧⎨=-⎩解得，122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴经过点A 和C 的一次函数的解析式为122y x =-此题主要考查了一次函数解析式以及与坐标轴交点的求法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、四边形【解析】
设此多边形是n 边形，根据多边形内角与外角和定理建立方程求解．
【详解】
设此多边形是n 边形，由题意得：
()2180360n -⋅︒=︒
解得4
n =
故答案为：四边形．本题考查多边形内角和与外角和，熟记n 边形的内角和公式()()21803-⋅︒≥n n ，外角和都是360°是解题的关键．20、-23【解析】试题解析：∵y =kx +b 的图象平行于直线y =−2x ，∴k =−2，则直线y =kx +b 的解析式为y =−2x +b ，将点(0,3)代入得：b =3，故答案为：−2，3.21、1【解析】先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的积即可．【详解】由1-2x ＜3，得：x ＞-1，由12x +≤2，得：x≤3，所以不等式组的解集为：-1＜x≤3，它的整数解为1、1、2、3，所有整数解的积是1．故答案为1．此题考查了一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
22、2018
4035
52【解析】
首先根据矩形的性质，求出AC ，根据边长比求出面积比，依次类推，得出规律，即可得解.
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ⊥DC ，∴==，∵按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，∴矩形AB 1C 1C 的边长和矩形ABCD 2∴矩形AB 1C 1C 的面积和矩形ABCD 的面积的比5：4，∵矩形ABCD 的面积=2×1=2，∴矩形AB 1C 1C 的面积=52，依此类推，矩形AB 2C 2C 1的面积和矩形AB 1C 1C 的面积的比5：4∴矩形AB 2C 2C 1的面积=2352∴矩形AB 3C 3C 2的面积=3552，按此规律第n 个矩形的面积为：2152n n -则20182018220181401935205522S ⨯-==故答案为：2018403552．本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．23、5【解析】
根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解：PO==5，
故选：C ．
本题考查了点的坐标，利用勾股定理是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）
3=
2 BP QR．
【解析】
（1）根据平行线的性质可证明两三角形相似；
（2）根据平行四边形的性质及三角形中位线定理得：BP＝PR，则CP＝1
2RE，证明
△CPQ∽△DRQ，可得
1
2
CQ CP
DQ DR
==，由（1）中的相似列比例式可得结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AB∥CD，AC∥DE，
∴∠BAC＝∠ACD，∠ACD＝∠CDE，
∴∠BAC＝∠QDR，
∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠DQR，
∴△ABP∽△DQR；
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC，AD＝CE，
∴BC＝CE，
∵CP∥RE，
∴BP＝PR，
∴CP＝1
2RE，∵点R为DE的中点，
∴DR＝RE，
∴
1
2 PC
DR=，
∵CP∥DR，
∴△CPQ∽△DRQ，
∴
1
2 CQ CP
DQ DR
==，
∴
2
3 DQ
DC=，
由（1）得：△ABP ∽△DQR ，∴32BP AB QR DQ ==．此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题有难度，注意掌握数形结合思想的应用．25、22x x ---，13．【解析】将原式括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后从已知不等式解集中找出合适的整数解代入化简后的式子中，即可求出原式的值．【详解】2443111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭22(2)31111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪+++⎝⎭22(2)411x x x x --=÷++2(2)11(2)(2)x x x x x -+=⨯+--+22x x -=--.不等式22x -≤≤中的所有整数为2-，1-，0，1，2，要使分式有意义，则1x ≠-，2x ≠±，
∴当1x =时，原式1
3=.
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则与分式有意义的条件是解题的关键．
26、23x -≤<，将不等式组的解集在数轴上表示见解析.
【解析】
分别解两个不等式得两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法确定解集，最后利用数轴表示其解集．
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号……
……………………密…………封…………线……
……内…………不…………要…………答………
…题…………………………【详解】2752(1)11(2)42x x x x -<-⎧⎪⎨--≤⎪⎩由（1）可得3x <由（2）可得2x ≥-∴原不等式组解集为23x -≤<本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．。