山东省临邑县数学中考复习资料《与二次函数有关的综合问题》备课

与二次函数有关的综合问题
二次函数是中考的重点和热点问题,而二次函数综合问题是中考中难中之难,要求考生不但对二次函数的特点要牢固掌握,而且还要善于将二次函数和其他的有关知识(方程、不等式以及几何等知识)联系在一起。

解决这类问题的关键就是要认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理,有条不紊地进行"抽丝剥茧",最终解决问题。

下面就近
五年德州中考题谈一谈二次函数综合题常见类型及
应对策略。

一：常见题型： 2011年23． (本题满分12分)
在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x x y =
图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．
（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：
①求出点A ，B ，C 的坐标．
②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．
A P 23y x = x y K
O 图1
本题考查了二次函数的综合运用，关键是用菱形、圆的性质，形数结合解题。

2012年23．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
2013年：24．(本题满分12分)
如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线2
=++经过点A、B、C．
y ax bx c
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标．
②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用。

2014年：24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解
第24题备用图 x y C O D A B 第24题图
x y C O D A B l E
析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
2015年：24．（12分）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
此题主要以二次函数为载体考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．二:复习策略
根据大纲要求本章的学习目标主要有以下五点：
（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。

（2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。

（3）会用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，并能由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题。

（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

（5）求二次函数的解析式。

结合大纲要求及近五年的中考命题的特点和规律，主要是考查学生综合运用知识的能力，以二次函数为载体，对几何进行考查,主要涉及二次函数与三角形、四边形等综合考查。

从学生的解题情况来看，考生对二次函数压轴题不得其法，普遍畏惧压轴题，得分率偏低，这往往导致中考高分不多。

为此，我们对中考试卷二次函数命题方向及解题策略进行了一些探索，希望能帮助学生在中考中提高解二次函数压轴题的能力。

首先：帮助学生了解并掌握二次函数综合题常见的类型
1.函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。

3.存在性问题：存在性问题则主要考查分类讨论的数学思想，常见的存在性是：是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形、是否存在三角形相似，是否存在平行四边形等。

有些题在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。

4.最值型问题：这类题则需要根据条件，创设函数，利用函数性质（一般是二次函数）求解。

同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。

解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动
和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。

其次：在复习教学中应做到以下几点：
1.课本知识系统化
立足基础知识，要充分体现教材的基础作用，深入挖掘教材的考评价值。

二次函数综合题所考察知识点源于课本，都能在初中数学课本找到原型，我们的复习教学要注重对这些原型的加工、组合、类比、使分散在各章节的知识点一一过关，形成知识系统，为解二次函数压轴题奠定知识基础。

2.解题思路经验化
引导学生探索解题思路的规律，形成解题经验。

3.思想方法渗透化
二次函数压轴题渗透了数学的重要的思想方法，教师在教学中不能以解决问题作为教学的终结点，而应将数学思想方法渗透在教学的整个过程中。

它应以例题、习题为载体，使学生在学好基础知识的同时掌握数学的思想方法，并通过不断的积累、运用，内化为自己的知识经验，以此应对变化万千的各种类型的综合题。

4.解题格式规范化
我们发现有部分学生知道解题思路却不会写过程；有部分考生因解题过程不规范，证明时语言不准确而失分，都是十分可惜的。

在复习过程中，我们要帮助学生建立二次函数常见题型的书写模型，明确告诉学生哪些过程可以简化，哪些关键的步骤是不可少的，常加练习形成固定模式。

最后:解题过程中应注意以下两点
1.抓住“关键点”——利用面积和周长公式、三角形相似、勾股定理、特殊等式等手段建构二次函数关系。

2.突破“难点”——（1）求最值的常见方法：利用“两点之间线段最短”的性质求一动点到两定点的距离之和的最小值；利用二次函数的性质求最值。

（2）分类讨论的常见形式：等腰三角形问题常按已知线段是底还是腰来分类；直角三角形问题常按哪个角是直角来分类；平行四边形问题常按已知线段是边还是对角线来分类；相似三角形问题常按对应边不同来分类；动点问题常按动点运动的分界点来分类。

总之，二次函数是中考的压轴题，学生的学习情况也参差不齐，我们应该因人而异，不要把过多的精力放在压轴题上（特别是第三问上），毕竟考试的最理想效果就是在有限的时间内得到尽可能高的分数，因此对大部分学生来说第一问必须做对，第二问是中等以上学生最好做对，第三问不作要求但要鼓励有能力的学生在保证不影响前面题的基础上尽量去做。