概率论与数理统计 3.4边缘分布
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y
同理
FY ( y) = F (, y) = lim F ( x, y)
x
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
二维离散型随机变量(X , Y)的联合分布律为
p( X xi , Y y j ) pij p( X xi ) p( X xi ,Y )
p( X X i ,Y y1 )
1 0 x 1,0 y 2 x; f ( x, y ) 0 其他
求( 1) 、 ( X ,Y ) 的边缘密度函数 f X ( x), fY ( y).
(2)、Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z ).
解：第一步，作函数图像 第二步，利用公式
f X ( x)
分布函数;
将 Y 的分布函数FY (y) , 称为(X , Y)关于Y 的边缘 分布函数 .
2
已知二维随机变量(X , Y)的分布函数为 F (x , y),
则有
FX ( x) = P X x = P X x, Y
= F ( x, ) = lim F ( x, y)
7
f ( x , y )dy
1dy 2 x
0
2x
2 x 0 x 1 综合，f X ( x ) 0 其他
fY ( y )
y f ( x , y )dx 1dx 1 y/2 2
1
y 0 y2 1 综合，fY ( y ) 2 0 其他
e2
10
例题3 （98年考研）设平面区域D由曲线y=1/x及直线 y=0,x=1,x=e*2所围成，二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为_ 解 1.画出草图。 所围面积A= 1 e2
1 e2 1 xdx ln x 1 2故f(x,y)=1/A=1/2 1 1 1 x 2.fx ( x) （ f x,y）dy= dy 0 2 2x 1 f X (2) 4
p11 p12
p21 p22
p1 p2 pi
1
p2 j pij
p
j
pi1 pi 2 p1 p 2
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
二维连续型随机变量的密度函数为f(x,y),则X的边缘 密度函数为：
FX ( x ) p( X x , Y ) f ( x , y )dxdy
3.4边缘分布
1、边缘分布函数 2、离散型随机变量的边缘分布律 3、连续型随机变量的边缘密度函数
1
一、边缘分布函数
设二维随机变量(X , Y)的联合分布函数为 F(x ,y) . 由于X 和 Y 都是随机变量, 所以各有其分布函数. 将X 的分布函数FX (x) , 称为(X , Y)关于X 的边缘
(
x
f ( x, y )dy )dx
D
f X ( x ) FX '( x ) fY ( y ) FY '( y )
6
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
同理，Y的边缘密度函数为
例1（05年考研题）、设二维随机变量的概率密度为
8
1 例2、F ( x , y ) 2 ( arctan x )( arctan y ) 2 2
求FX ( x )及FY ( y ) 1 解：FX ( x ) lim 2 ( arctan x )( arctan y ) y 2 2 1 = ( arctan x ) ( x ) 2 1 FY ( y ) lim 2 ( arctan x )( arctan y ) x 2 2 1 = ( arctan y ) ( y ) 2 9
pi 1
j 1
p( X X i ,Y y j )
pij
pij pi
j 1
把 pij 看作pi
4
同理，p(Y y j ) pi2
yj
p1 j
p( X xi )
x1 x2 xi
p(Y y j )
5
同理
FY ( y) = F (, y) = lim F ( x, y)
x
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
二维离散型随机变量(X , Y)的联合分布律为
p( X xi , Y y j ) pij p( X xi ) p( X xi ,Y )
p( X X i ,Y y1 )
1 0 x 1,0 y 2 x; f ( x, y ) 0 其他
求( 1) 、 ( X ,Y ) 的边缘密度函数 f X ( x), fY ( y).
(2)、Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z ).
解：第一步，作函数图像 第二步，利用公式
f X ( x)
分布函数;
将 Y 的分布函数FY (y) , 称为(X , Y)关于Y 的边缘 分布函数 .
2
已知二维随机变量(X , Y)的分布函数为 F (x , y),
则有
FX ( x) = P X x = P X x, Y
= F ( x, ) = lim F ( x, y)
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f ( x , y )dy
1dy 2 x
0
2x
2 x 0 x 1 综合，f X ( x ) 0 其他
fY ( y )
y f ( x , y )dx 1dx 1 y/2 2
1
y 0 y2 1 综合，fY ( y ) 2 0 其他
e2
10
例题3 （98年考研）设平面区域D由曲线y=1/x及直线 y=0,x=1,x=e*2所围成，二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为_ 解 1.画出草图。 所围面积A= 1 e2
1 e2 1 xdx ln x 1 2故f(x,y)=1/A=1/2 1 1 1 x 2.fx ( x) （ f x,y）dy= dy 0 2 2x 1 f X (2) 4
p11 p12
p21 p22
p1 p2 pi
1
p2 j pij
p
j
pi1 pi 2 p1 p 2
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
二维连续型随机变量的密度函数为f(x,y),则X的边缘 密度函数为：
FX ( x ) p( X x , Y ) f ( x , y )dxdy
3.4边缘分布
1、边缘分布函数 2、离散型随机变量的边缘分布律 3、连续型随机变量的边缘密度函数
1
一、边缘分布函数
设二维随机变量(X , Y)的联合分布函数为 F(x ,y) . 由于X 和 Y 都是随机变量, 所以各有其分布函数. 将X 的分布函数FX (x) , 称为(X , Y)关于X 的边缘
(
x
f ( x, y )dy )dx
D
f X ( x ) FX '( x ) fY ( y ) FY '( y )
6
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
同理，Y的边缘密度函数为
例1（05年考研题）、设二维随机变量的概率密度为
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1 例2、F ( x , y ) 2 ( arctan x )( arctan y ) 2 2
求FX ( x )及FY ( y ) 1 解：FX ( x ) lim 2 ( arctan x )( arctan y ) y 2 2 1 = ( arctan x ) ( x ) 2 1 FY ( y ) lim 2 ( arctan x )( arctan y ) x 2 2 1 = ( arctan y ) ( y ) 2 9
pi 1
j 1
p( X X i ,Y y j )
pij
pij pi
j 1
把 pij 看作pi
4
同理，p(Y y j ) pi2
yj
p1 j
p( X xi )
x1 x2 xi
p(Y y j )
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